2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）入学数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）入学数

学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.（5分）己知i是虚数单位，复数Z=（X2-4）+（Λ+2）i是纯虚数，则实数X的值为（〉

A.2B.-2C.±2D.4

2.（5分）若α>6>0,则下列不等式成立的是（）

A.a>b>--ɪ->7αbB.a>—ɪ->7ab>b

C.a>-ɪ-■>b>7abD.”>-"≥7ab>b

3.（5分）平面四边形48。。中成+3=O,{AB-AD）-AC=0,则四边形ABa）是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

4.（5分）《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：”今有

圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长

为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（）

5√l+π25√l+4π25√l+τr25√l+4π2

A.-----------B.-------------C.-----------D.-------------

4π4π2π2π

5.（5分）已知α"是两条不重合直线，α,β是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）

A.若a〃b,b∕∕a,则a〃aB.若&_1_0,a∕∕a,则a_LB

C.若a_L0,«0a,a±β,则q〃aD.若6_1_0（,a∕∕b,β±a,贝!]a"β

6.（5分）在BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-c=ftcosC-灰:osA,

则AABC的形状为（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

Q—Q）2,ɪ≤Q

1一，若/（0）是/（X）的最小值，则。的取值范围是

IXH--X---1-a,x>0

)

A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]

8.（5分）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含

义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，

类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第

一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球的表面上有四个点A,B,C,P,且球心O

在PC上，AC=BC=4,AC.LBC,tan/PAB=tan/PBA=学,则该鞠（球）的表面

积为（）

A.9πB.18πC.36πD.64π

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

（多选）9.（5分）下列选项中，与sin30°的值相等的有（）

A.1-2COS275O

B.sin135ocosl5σ-cos45ocos75o

cos35o√l-sm20o

C.---------------

√f2cos20o

D.ta∏20o+tan250÷ta∏20ota∏250

（多选）10.（5分）某同学在研究函数/（x）=τ⅛p（XeR）时，分别得出下面几个结论，

ɪ'lʌl

其中正确的结论是（）

A.等式/（-χ）+f（Λ）=0在XeR时恒成立

B.函数/（x）的值域为（-1,1）

C.若X1≠X2,则一定有/（xι）≠f（X2~）

D.方程f（x）-X=O在R上有三个根

→T

（多选）11.（5分）已知Q=（2cosωχfsinωx'）,b=（-V3cosωx,2cosωx）fω>0,/（x）=

→→TT

α∙b+√3,且/Xx）的图象的对称中心与对称轴的最小距离为二，则下列说法正确的是

4

（）

A.ω=l

B./（x）的图象关于直线x=-今对称

Tl

C.把/（x）图象向左平移不单位，所得图象关于），轴对称

D.保持f（X）图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平

移孑个单位，得到函数y=2sinx的图象

（多选）12.（5分）已知正方体ABC。-AIBICIDI的棱长为1,如图，点F,G,M分别为

CC∣,BB∖,8∣C∣的中点，则下列说法正确的是（）

A.平面A。IF〃平面AlMG

B.直线ADi与直线AlG所成角的余弦值为丝

10

9

C.平面AFD］截正方体ABCD-A∖B∖C∖D∖所得截面的面积为百

D.点Ci与点G到平面AFDi的距离相等

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（5分）欧拉公式/=COSX+ishu∙（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它

将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数华的共输复数为.

e4l

14.（5分）已知SinG+α）=4，则COs。-2α）=.

15.（5分）己知函数y=3la∏3x+l在,E）内是减函数，则ω的取值范围

是.

16.（5分）已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面

积是不确定的.现有一平面凸四边形ABCD,AB=3,BC=4,CD=5,D4=6,则其面

积最大值为.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.（10分）如图所示，三棱柱4BCTι8ιCι中，CA=a,CB=b,CC1=c,C4=CB=

CCi=L（a,b）=（a,c）=ɪ,（b,c）=≡,N是AB中点.

(1)用α,b,C表示向量4N；

(2)在线段ClBl上是否存在点M,使薪1A；N?若存在，求出M的位置，若不存在,

说明理由.

18.(12分)已知函数/(x)=3一*,函数g(x)的图像与f(x)的图像关于y=x对称.

(1)求g(9)的值;

(2)若函数y=∕(x)-3Ir在Xe［-2,1］上有且仅有一个零点，求实数Z的取值范围;

(3)是否存在实数使得函数y=4-m一%字二?。>0)在［”,句上的值域为［24,

2b］,若存在，求出实数〃?的取值范围；若不存在，说明理由.

.一TT一.

19.(12分)如图所示，已知QoE是半径为遮，中心角为§的扇形，P为弧踮上一动点,

四边形PQΛ∕N是矩形，ZPOD=x(0<x<J).

(1)求矩形PQWN的面积/(x)的最大值及取得最大值时的X值；

(2)在AABC中，/(C)=空，c=2,其面积SAABC=2我，求AABC的周长.

20.(12分)如图所示，四棱锥PTBCZ)中，底面ABC。为矩形，以_1_平面4BCO,PA=

AB=2,Ao=√Σ,点E是P6的中点.

(1)证明：AELPC-,

(2)求二面角CTE-D的大小.

)TT3TC_>T

21.(12分)向量Q=(2,2),向量b与向量Q的夹角为一，且α∙b=-2,

4

(I)求向量b;

-'T-'―>(~,

(2)若t=(1,0),且6_13c=(cosA,2cos2^,其中A,B,C是aABC的内角，

且B=*试求值+占的取值范围.

22.(12分)如图①所示，长方形ABCO中，AO=1,AB=2,点例是边CO的中点，将4

AQM沿AM翻折到△/¾M,连结P8,PC,得到图②的四棱锥P-ABCM.

(1)求四棱锥P-ABCM的体积的最大值;

(2)若棱PB的中点为M求CN的长；

⑶设尸-AM-。的大小为0,若0∈(0,另，求平面∕¾M和平面尸8C夹角余弦值的

最小值.

2022-2023学年湖南省长沙市天心区长郡中学高二（上）入学数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.（5分）已知i是虚数单位，复数2=（/-4）+（》+2*是纯虚数，则实数X的值为（）

A.2B.-2C.+2D.4

【解答】解：W是虚数单位，复数Z=（Λ2-4）+（x+2）i是纯虚数，

.Cx2-4=0.ʌ

•∙i_ʌ,∙∙Λ乙、

（%÷2≠0

故选：A.

2.（5分）若。>〃>0,则下列不等式成立的是（）

A.a>b>∙~ɪ->7abB.。>'>y∕ab>b

C.>babD.Cl>—7ab>b

【解答］解：a>b>0f可得20>"6,可得竽，

并且a>b>0f可得2>y∕~abf

ab>b2.'.>Iab>b,

可得：>y∕ab>b.

故选：B.

3.（5分）平面四边形ABCO中/+C⅛=Ot（AB-AD）-AC=0,则四边形ABe。是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形

【解答】解：∙.∙½⅛+c3=G,

：.AB=-CD^AB=DC,可得线段AB、CQ平行且相等

.∙.四边形ABC。是平行四边形

又：（几一而∙A=0,

：.AB-AD±AC,^DBLAC,四边形ABCQ的对角线互相垂直

因此四边形43CQ是菱形

故选：B.

4.（5分）《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有

圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长

为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（）

5√l+π25√l+4π25√l+π25√l+4π2

A.B.C.-----------D.--------

4π4π2π2π

【解答】解：设圆台的上底面半径为r,下底面半径为R,

贝IJ有2πr=2,2πR=3,

解得）R=急

又圆台的高为1丈,

-------------------/4乃24-1

所以圆台的母线长为I=√l2+（R+r）2=与广，

-1ɔ147124-15/1+4加2

所以圆台的侧面积为S=Tr（R+r）」=TTX。/）X与六=«二.

故选：B.

5.（5分）已知a,b是两条不重合直线,α,β是两个不重合平面,则下列说法正确的是（）

A.若4〃匕，b//α,则a〃aB.若&_1_0,a//a,则aJ_0

C.若al,β,aΦa,a±β,则a〃aD.若/?_1_&,a∕∕b,β±a,贝!]a"β

【解答】解：若a〃〃，h∕∕a,则a〃a或aua,故A错误；

若ot"Lβ,a〃a,则quβ或“〃B或”与β相交，相交也不一定垂直，故B错误；

若a_L|3，a，。,则aua或a〃a,而aCa,则a〃a,故C正确；

若b_La,a//b,则6_La,又β∙La,则auβ或a〃p,故。错误.

故选：C.

6.（5分）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-c=反OSC-匕COSA,

则AABC的形状为（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

【解答】解：Ta-c=bcosC-⅛cosA,

，由正弦定理可得：SinA-sinC=sinBcosC-sinBcosA,

可得：sinA-SinAcosB-CosAsinB=SinBcosC-SinBcosA,

.*.sinΛ-SinAcosB=SinBcosC,可得：SinA=SinBCoSC+sinACoSB,

.*.sinβcosC+cosBsinC=sinβcosC+sinAcosβ,可得：COSBSinC=SinACoS8,

ΛcosB=0,或SinA=SinC,

・・・3为直角，或A=C

•••△43C的形状为等腰三角形或直角三角形.

故选：C.

((x-a)2,X≤0

7.(5分)设f(X)=1,若/(0)是/G)的最小值，则α的取值范围是

a,

v(%4--X---Fx>0

()

A.[-1,2]B.[-I,0]C.[I,2]D.[0,2]

【解答】解：当尤>0时，/(x)=x+^+a≥a+2Jx~^=a+2,此时函数的最小值为

。+2,

若α<0,则函数的最小值为/(a)=0,此时/(O)不是/(x)的最小值，此时不满足

条件，

若“20,则要使/(0)是/(x)的最小值，则满足/(0)=∕≤α+2,

即/-q-2≤0

解得-1≤α≤2;

.∙.0WαW2,

故选：D.

8.(5分)蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含

义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，

类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第

一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠(球的表面上有四个点A,B,C,P,且球心O

在PC上，AC=BC=4,AC.LBC,tan/PAB=tan/PBA=学,则该鞠(球)的表面

积为()

A.9πB.18πC.36πD.64π

【解答】解：如图，取AB的中点连接MP,由AC=BC=4,AC,BC得：AB=4√2,

由tαn∕AB=tanZPBA=ɪ,得：MP=2√2×ɪ=2√3,

连接CM并延长，交球。于点H,连接PH,因为PC球O的直径，

设球的半径为R，则PH±CH,MH=TCH=^AB=2√2,

贝IJPH=√PM2-MH2=√12-8=2,

所以（2R）2=PC2=CH2+PH2=（4√2）2+4=36,

解得：R—3,球的表面积为4πR2=36τr.

故选：C.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

（多选）9.（5分）下列选项中，与sin30°的值相等的有（）

A.1-2COS275O

B.sin135ocosl5o-cos45ocos75o

cos35o√l-sin20o

C.---------------

√F2cos20o

D.ta∏20o+ta∏25o+tan20otan25o

【解答】解：对于A,1-2COS275°=-cos150o=COS30°,故错误;

对于5,sinl35°cosl5o-cos45ocos75o=sin45ocos15o-cos45osinl5o=sin(45

-15o)=sin30σ，故正确;

Ccos35o√l-sin20oCoS(45。-10。)J(COSlO。-Sinl0。-

'√2cos20o-√2cos20o

泉COSl0。+SinI0。)(CoSlO。-SinI0。)ɪ(eos2IOo-Sin210°)号CoS20。

√2cos20o√2cos20o√2cos20o

1

一=sin30o,故正确;

2

对于D,tan200+tan25o+tan20otan25o=tan(25o+20°)(1-tan25otan20o)+tan20o

tan25o=1-tan25σtan20o+tan20otan25o=1,故错误.

故选：BC.

(多选)10.(5分)某同学在研究函数F(X)=占p(XeR)时，分别得出下面几个结论,

ɪ∙IxI

其中正确的结论是()

A.等式ʃ(-x)+f(x)=O在x∈R时恒成立

B.函数/(x)的值域为(-1,1)

C.若X1#X2,则一定有/(xι)≠f(X2)

D.方程F(X)-X=O在R上有三个根

【解答】解：f(x)=γ⅛,(x∈R).

于(-x)V(X)=1二刈+=0,故A正确；

由图象可知函数/(x)是奇函数，且在R上为单调增函数，值域为(-11),所以BC正

确；

因为g(x)=f(ɪ)-JG所以g(O)=f(O)-0=0,

当尤>0时，g(x)=/(%)-X=ɪɪ<0,

当XVO时，g(X)=f(x)-X=-γ->0,

g(x)=∕(x)7在R上只有一个零点，即/(x)的图象与y=x只有一个交点(0,0),

所以D不正确.

故选：ABC.

TT

yy

(多选)11.(5分)已知α=(2cosωχfsinωx),b=(―√3cosω%/2cosωχ),ω>0,/(x)=

α∙∂+√3,且/(x)的图象的对称中心与对称轴的最小距离为巴，则下列说法正确的是

4

()

A.ω=l

B./(x)的图象关于直线X=-4对称

JIz

n

C.把f(X)图象向左平移石单位，所得图象关于J轴对称

D.保持/(x)图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平

Tt

移I个单位，得到函数y=2sinx的图象

T

→y

【解答】解：Va=(2cosωx,sinωχ),b=Q-yj3cosωx,2cosωx)fω>0,

Λ∕(x)=α∙b÷√3=-2V3cos2ωx+2sinωxcosωx÷V3=—2√3X1+笠23"+sin2ωx÷√3

=—V3cos2ωΛ+sin2ωx=2sin(2ωx-

12.71TT

V/(x)的图象的对称中心与对称轴的最小距离为-X—=一,.∙.ω=l,f(x)=2sin

42ω4

(2x-∣),故A正确；

令X=-各可得/(x)=-2,是最小值，故(X)的图象关于直线X=-今对称，故B

正确；

把/(x)图象向左平移石单位，可得)，=2Sin(2x-∣)的图象，

由所得函数为非奇非偶函数，故所得函数的图象不关于y轴对称，故C错误；

保持f(x)图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y=2sin(Λ-∣)

的图象,

Tl

然后把图象向左平移目个单位，得到函数y=2sinx的图象，故。正确，

故选：ABD.

（多选）12.（5分）已知正方体ABCr>-A186P的棱长为1,如图，点凡G,M分别为

CC1,BBi,BlCl的中点，则下列说法正确的是（）

A.平面AAF〃平面AlMG

B.直线Anl与直线4G所成角的余弦值为绊

10

9

C.平面AFDi截正方体ABCD-Aι2ιCIz）I所得截面的面积为百

D.点Ci与点G到平面AFD∖的距离相等

【解答】解：对于A：因为G,M分别为BB∣,BICl的中点，

所以MG〃BCi,

又AQI〃BCI,

所以MG//ADi,

又尸为CCl的中点,

所以AIQI〃GF且4。I=G凡

所以四边形4。IFG是平行四边形,

所以AlG〃。凡

因为MG∩4G=G,ADi∩DiF=Di,

所以平面A。IF〃平面AIMG,故A正确;

对于5：因为正方ABCf）-AlBIcIDi的棱长为1,

所以4O∣=√I,D∖F=Jl+g）2=卓,AF=√½C2+CF2=12+分=|,

/W∕+%尸2一炉_（封+（铲（|）2

√10

CoSNADlF=故正确;

所以24^10^,8

JD1DIF2×√2×^

对于C：取8C的中点N,连接FN,AN,

因为FN〃BCi,又BCi〃AQ1,

所以FN//ADi,

所以FN在平面AfT）I内,

所以平面AFDi截正方体ABCD-AIBICIDI所得截面为等腰梯形ADiFN,

过点N作N0_L4£>i,垂足为Q,

9

r~3√2

1√2X4=-

所以S储礴NFa=2（三+6）8故C正确;

对于£>：因为CIB〃平面AQIF,

所以ClG不会平行于平面ADiF,且线段CIG不与平面AolF相交，

所以点Ci与点G到平面AFf）I的距离不相等，故D不正确；

故选：ABC.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（5分）欧拉公式#=CoSX+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它

√2i

将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数的共粒复数为1-1.

e4t

（解答］解：:e'x=cosx+isinx,

√2t√2i√2i2i2i（l-i）2+2t

∙⅛=CoS:+is*=5ΛF=（l+i）（l-0=彳=1+'

e4422

则复数华的共辗复数为1-i∙

e4l

故答案为：1-i∙

77"1τr7

14.(5分)己知Sin(W+α)=g,则cos(γ-2α)=

【解答】解：Vsin(^+a)=/.cos(—―a)=ɪ,

cos(W—2a)=2cos2(^-a)—1=2×(^)2—1=—

故答案为：—

15.(5分)已知函数y=3tanα)x+l在(一号,引内是减函数,则ω的取值范围是∣-∣,0).

【解答】解：:函数y=3tan(O)X)+1在(—/，/)内是减函数，

.∙.ω<0且函数y=3tan(ωx)+1在(一生~)内也是减函数，

∙∙∙τ弋/一T)=筝

3

Λ∣ω∣≤^,

.3/-3

^^-2≤ω≤2f

又ω<0,

3

；・-2≤3<0.

故答案为：［―参0).

16.(5分)已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面

积是不确定的.现有一平面凸四边形ABCD,A8=3,3C=4,CD=5,DA=6,则其面

积最大值为_6V10_.

【解答】解：设∕4BC=α,ZADC=β,

连接AC,作图如下：

在AABC中，由余弦定理可得，AC2=AB1+BC2-2ABXBCXcosa=25-24cosa,

在AACQ中，由余弦定理可得，AC2=AD2+CD2-2×AD×DCXcosβ=61-60cosβ,

则25-24cosa=61-60cosβ,即5cosβ-2cosa=3,

11

四边形ABCD的面积S=^×AB×BC×sinaΛ-^×AD×CD×sinβ=3(5sinβ+2sina),

令5sinβ+2sina=m,则25sin20+4sin2a+2OsinasinB=，〃2①，

V5cosβ-2cosa=3,

Λ25cos2β+4cos2a-20CoSaCosβ=9②，

①+②可得，29-20COS(a+β)=m2+9,BP∕π2=20-20cos(a+β),

当且仅当α+B=π时，扇取得最大值40,此时机的最大值为2√IU,

四边形ABCQ的面积S=3(5sinβ+2sina)=3，"，其最大值为6√TU.

故答案为：6√Tθ.

四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17.(10分)如图所示，三棱柱ABCT∣B1C1中，CA=a,CB=b,CC1=c,CA=CB=

CCi=I,(a,b)=(a,c)-ɪ,{b,C)=N是AB中点.

(1)用工b,"表示向量4N；

(2)在线段ClBl上是否存在点M,使薪_L4；N?若存在，求出M的位置，若不存在，

说明理由.

TTTTITTITTITlTT

【解答】解：(1)4IN=A^A+AN=ClC+)/B=—CCl+讶(CB—CA)=—IQ+—c；

(2)假设存在点M,使AM,AIM设Ch=入G⅛,(λ∈[0,1]),

显然入CB=λb,AM-AA1+Tl1C1+ClM=c—a+入b,

因为AM_L4N,所以薪_LA：N=0,

→→TITlfT

即(c—a+入b)•(—IQ+—C)=0，

一[C∙Q+c∙b—c~+2Q2—2。"+c∙a--^K,o,9b+3入户—入b∙c=0

TTTT27TTTπ

u

∖CA=CB=CCi=If<a,b>=<a,c>=芋，<b,c>=J,

1∙~÷∙~÷-C111-≠--⅜-⅜1-

-ɔc∙α—c2÷ɔα-^-(一+一入)Q∙b+c∙α+亍入匕=O

22222

即工XlXlX(-ɪ)-12+∣×12-(ɪ+ɪʌ)×1×1×(-ɪ)+¼∙l2=0,

2222222

ɔɔ

解得人=泉所以当ClM=算IBl时，AMLAiN.

18.(12分)已知函数/(x)=3'x,函数g(无)的图像与f(x)的图像关于y=x对称.

(1)求g(9)的值；

(2)若函数y=∕(x)-3∣-k在Xe［-2,1］上有且仅有一个零点，求实数4的取值范围;

(3)是否存在实数m使得函数y=4-m/。引广e(QO)在⑷口上的值域为已小

2b］,若存在，求出实数机的取值范围；若不存在，说明理由.

【解答】解：(1)由题意可得，5(x)=log1x,

所以g(9)=IOgl9=-2；

ɪ

(2)问题转化为关于X的方程&=|3-x-3|在X∈L2,1］上有且仅有一个实根，

作出函数〃(x)=∣3*-3∣在x∈［-2,1］上的图像(如右图),

∕ι(-2)=6,/J(I)=由题意，直线y=左与该图像有且仅有一个公共点，

所以实数k的取值范围是向I<fc≤6Mfc=0｝；

(3)记F(X)=4一m一，。的广4)=4_血+久

其中x>0,因为函数F(X)在［”,切上单调递增，

若存在实数见使得尸(x)的值域为［2m2b］,

则FCa)=2a,F(⅛)=2b,所以F(x)=2x,

BPa,一是/+(Zn-4)x+4=0的两个不等正根,

所以A=(机-4)2-16>0,α+b=4-"z>0,ab=4>0,

解得m<0,

所以实数机的取值范围是(-8,0).

—TC

19.(12分)如图所示，已知。OE是半径为遮，中心角为孑的扇形，P为弧力上一动点,

四边形PQMN是矩形，NPoD=X(OVX<J).

(1)求矩形PQMN的面积/(x)的最大值及取得最大值时的X值；

(2)在AABC中，/(C)=芋c=2,其面积S-BC=2遮，求AABC的周长.

【解答】解：(1)由题意QM=PN=OPSinA=V5si∏Λ,

ON=OPcosx=√3cosx,

πQML√3√3/-

*/tan-=----=Λ∕3>∙*∙OM=FQM=丁X遮StnX=SinJG

3OMɔɔ

：•MN=ON-OM=V3cosx-SirU,

・,.矩形PQMN的面积为：

f(x)=(V3cosx-sinɪ)∙√3siru

=3si∏Λcosx-V3sin2x

3./ʒ■、/l-cos2x

=-^smπλx—√3×-----2-----

=ɜsiɪɪreosɪ-√3sm2x

=∣sin2x—V3×l-cos2x

2

.√3.1_/3

=√r3(—sin2jf÷77cos2x)

22~τ

=y∕3sin(2x+石)--ɪ-,

TCπ5τr

V0<x<≡,—<2x+—V

666

当2x+5=多时，即X=看时T（%）的最大值为

（2）由（1）得。=看，

VSABC=^absi∏γ-=2√3,：.岫=8如,

ΔLO

由余弦定理得C2=α2÷h2-2abcos1τ=4,

O

(α+b)2-(2+√3)"=4,g∣J(α+b)2=28+16√3,

•∙ti+⅛=4+2V3,

∆ABC的周长为α+⅛+c=6+2√3.

20.(12分)如图所示，四棱锥PTBC。中，底面ABC。为矩形，∕¾±¥≡ABCD,PA=

AB=2,AO=VL点E是PB的中点.

(1)证明：AELPC；

(2)求二面角CTE-。的大小.

【解答】（1）证明：，平面ABCZx底面ABCZ）为矩形,

：.PALBC,BClAB,又∕¾∩AB=A,PA,ABc5PffiPAB,

,Be,平面∕¾B,又平面必B,

ΛBC±AE,'：PA=AB,点E是PB的中点，

ΛAE±PB,又PBnBC=B,PB,BCU平面PBC,

ΛAE±5P≡PBC,

：.AElPC.

(2)解：由于AO_LAE,AELEC,故取PC中点M,连接EM,DM,

因为E,M分别为尸8,PC中点，所以EM〃BC,即EM〃AO,故EM_LAE,

则NMEC为二面角C-AE-。的平面角，

又在AEMC中，EC=2,EM=WBC=号,ΛfC=∣PC=ɪ×J22+√62=

所以COSNME1C=(均二冬乂NMECe(0,π),

2xgx2z

所以NMEC=

即二面角C-心力的大小足.

(1)求向量b；

TTTT(",

(2)若t=(1,0),且bJ,t,c=(cosA,2cos2p,其中A,B,C是AABC的内角,

且B=半试求值+占的取值范围.

【解答】解：(1)设％=(x,y),

TT_

a∙b=2x+2y=-2①，

TTTT3τrL,T

a∙b=IaIIbICoS—=-2,解得Ibl=I，

4

22

即x+y=l(2)f

由①②解得｛；:/或｛；二1，

：.b=(-1,0)或(0,-1).

(2)Vt=(1,0),且b_Lt,

：.b=(O,-1),

TTC

.∙.b+c=(cosA,2cos7z2_1)=(COSA,COSe),

∖b÷c∖=∖Jcos2A+cos2C,

VZB=60o,ΛA+C=120o,

∖b+C∣2=COS2A+COS2C

=COS2A+cos2(120o-A)

_l+cos24l+cos(240°-24)

=2+2

=l+%OS(2A+60o),

VOo<A<120o,

Λ60o<2A+60o<300o,

.∙.-l≤cos(2A+60°)<∣,

1→→925

.∙.-≤∣h+c∣<^,

.√2..7,→-√5

.∙-≤∖b÷c∖lVl^.

22.(12分)如图①所示，长方形ABCD中，AO=I,AB=2,点例是边CD的中点，将4

AOM沿AM翻折到4B4M,连结PB,PC,得到图②的四棱锥P-ABCM.

图①图②

(1)求四棱锥尸-ABCM的体积的最大值；

(2)若棱PB的中点为M求CN的长；

(3)设P-AM-