高考数学人教B版一轮复习训练2-2函数的单调性与最值

核心考点·精准研析考点一函数的单调性(区间)

1.下列函数中,在区间(∞,0)上是减函数的是 ()A.y=1x2 B.y=x2+2xC.y=QUOTE D.y=QUOTE2.函数f(x)=ln(x22x8)的单调递增区间是 ()A.(∞,2) B.(∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)3.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是 ()A.y=QUOTE在R上为减函数B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=QUOTE在R上为增函数D.y=f(x)在R上为减函数4.设函数f(x)=QUOTEg(x)=x2f(x1),则函数g(x)的递减区间是()A.(∞,0] B.[0,1)C.[1,+∞) D.[1,0]【解析】1.选D.对于选项A,该函数是开口向下的抛物线,在区间(∞,0]上是增函数;对于选项B,该函数是开口向上的抛物线,在区间(∞,1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数;对于选项C,在区间(∞,0]上是增函数;对于选项D,因为y=QUOTE=1+QUOTE.易知其在(∞,1)上为减函数.2.选D.函数有意义,则x22x8>0,解得:x<2或x>4,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(4,+∞).3.选D.特例法:设f(x)=x,则y=QUOTE=QUOTE的定义域为(∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,A错;则y=|f(x)|=|x|在R上无单调性,B错;则y=QUOTE=QUOTE的定义域为(∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,C错.y=f(x)=x在R上为减函数,所以选项D正确.4.选B.因为g(x)=QUOTE作出函数图象如图所示,所以其递减区间为[0,1).判断函数单调性的方法(1)定义法:取值→作差→变形→定号→结论.(2)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,单调递增;图象逐渐下降,单调递减.(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则.(4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.其中(2)(3)一般用于选择题和填空题.考点二函数的最值(值域)

【典例】1.函数y=QUOTE的值域是________.

2.函数y=x+QUOTE的最小值为________.

3.已知函数f(x)=QUOTEQUOTE(a>0,x>0),若f(x)在QUOTE上的值域为QUOTE,则a=________.

【解题导思】序号联想解题1由QUOTE,想到分离常数2由x+QUOTE,想到利用函数的单调性或换元法求解3由QUOTE,想到反比例函数的单调性【解析】1.(分离常数法)因为y=QUOTE=1+QUOTE,又因为1+x2≥1,所以0<QUOTE≤2,所以1<1+QUOTE≤1,所以函数的值域为(1,1].答案:(1,1]2.方法一:因为函数y=x和y=QUOTE在定义域内均为增函数,故函数y=x+QUOTE在其定义域[1,+∞)内为增函数,所以当x=1时y取最小值,即ymin=1.方法二:令t=QUOTE,且t≥0,则x=t2+1,所以原函数变为y=t2+1+t,t≥0.配方得y=QUOTE+QUOTE,又因为t≥0,所以y≥QUOTE+QUOTE=1.故函数y=x+QUOTE的最小值为1.答案:13.由反比例函数的性质知函数f(x)=QUOTEQUOTE(a>0,x>0)在QUOTE上单调递增,所以QUOTE即QUOTE解得a=QUOTE.答案:QUOTE求函数最值的常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再利用单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.(4)分离常数法:对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域,变成只有分子或分母有变量的情况,再利用函数的观点求最值.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.1.若函数f(x)=QUOTE则函数f(x)的值域是 ()A.(∞,2) B.(∞,2]C.[0,+∞) D.(∞,0)∪(0,2)【解析】选A.当x<1时,0<2x<2,当x≥1时,f(x)=log2x≤log21=0,综上f(x)<2,即函数的值域为(∞,2).2.函数y=QUOTE的值域为________.

【解析】y=QUOTE=QUOTE=3+QUOTE,因为QUOTE≠0,所以3+QUOTE≠3,所以函数y=QUOTE的值域为{y|y≠3}.答案:{y|y≠3}3.函数f(x)=QUOTElog2(x+2)在区间[1,1]上的最大值为________.

【解析】因为y=QUOTE在R上递减,y=log2(x+2)在区间[1,1]上递增,所以f(x)在区间[1,1]上递减.所以f(x)在区间[1,1]上的最大值为f(1)=3.答案:3考点三函数单调性的应用

命题精解读考什么:(1)考查比较大小问题、与抽象函数有关的不等式和已知单调性求参数解不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养.怎么考:与基本初等函数、单调性、最值交汇考查函数的单调性、图象等知识.新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主.学霸好方法1.比较大小问题的解题思路(1)利用函数的单调性判断两个值的大小.(2)寻找中间量比较两个数值的大小,经常利用1,0,1等.2.与抽象函数有关的不等式问题的解题策略判断函数的单调性,并利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式,然后求解即可.3.已知函数单调性求参数值的解题策略依据函数的图象或单调性得出含有所求参数的不等式或方程,解该不等式或方程即可.比较大小问题【典例】(2020·重庆模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)f(x1)](x2x1)<0恒成立,设a=fQUOTE,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为 ()A.c>a>b B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c【解析】选D.因为f(x)的图象关于x=1对称,所以fQUOTE=fQUOTE,又由已知可得f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(2)>fQUOTE>f(e),即f(2)>fQUOTE>f(e).如何比较函数值的大小?提示:应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.与抽象函数有关的不等式问题【典例】函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切x>0,y>0都有fQUOTE=f(x)f(y),当x>1时,有f(x)>0. 导学号(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性并证明;(3)若f(6)=1,解不等式f(x+5)fQUOTE<2.【解析】(1)f(1)=fQUOTE=f(x)f(x)=0.(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数.证明:设0<x1<x2,则由fQUOTE=f(x)f(y),得f(x2)f(x1)=fQUOTE,因为QUOTE>1,所以fQUOTE>0.所以f(x2)f(x1)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)因为f(6)=fQUOTE=f(36)f(6),又f(6)=1,所以f(36)=2,原不等式化为f(x2+5x)<f(36),又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以QUOTE解得0<x<4.如何判断抽象函数的单调性?提示:结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与0的大小,或QUOTE与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形,如x1=x2+x1x2或x1=x2·QUOTE等.深挖已知条件,是求解此类题的关键.已知函数单调性求参数值问题【典例】(2018·全国卷I)设函数fQUOTE=QUOTE则满足fQUOTE<fQUOTE的x的取值范围是 ()导学号A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】方法一:选D.将函数f(x)的图象画出来.观察图象可知QUOTE,解得x<0,所以满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(∞,0).方法二:选D.取x=QUOTE,则化为fQUOTE<f(1),成立,排除A,B;取x=1,则化为f(0)<f(2),成立,排除C.如何利用单调性求解参数问题?提示:先依据函数的图象或单调性的定义确定函数的单调区间,再依据单调性得出含参数的方程或不等式,即可求解.1.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a的值为 ()A.2 B.2 C.6 D.6【解析】选C.由图象易知函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是QUOTE,令QUOTE=3,所以a=6.2.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x8)≤2时,x的取值范围是 ()A.(8,+∞) B.(8,9]C.[8,9] D.(0,8)【解析】选B.2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x8)≤2,可得f[x(x8)]≤f(9),因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,所以有QUOTE解得8<x≤9.3.函数y=f(x)是R上的增函数,且y=f(x)的图象经过点A(2,3)和B(1,3),则不等式|f(2x1)|<3的解集为________.

【解析】因为y=f(x)的图象经过点A(2,3)和B(1,3),所以f(2)=3,f(1)=3.又|f(2x1)|<3,所以3<f(2x1)<3,即f(2)<f(2x1)<f(1).因为函数y=f(x)是R上的增函数,所以2<2x1<1,即QUOTE即QUOTE所以QUOTE<x<1.答案:QUOTE1.已知函数f(x)=QUOTE,如果对于实数a的某些值,可以找到相应的正数b,使得f(x)的定义域与值域相同,那么符合条件的实数a的个数是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.(1)若a=0,则对于每一个正数b,f(x)=QUOTE,其定义域和值域都是[0,+∞),故a=0满足条件.(2)若a>0,b为正数,则f(x)=QUOTE的定义域D=QUOTE∪[0,+∞),f(x)的值域A=[0,+∞),因为D≠A,所以a>0不符合条件.(3)若a<0,b为正数,则f(x)的定义域为D=QUOTE,因为f(x)max=QUOTE,所以f(x)的值域A=QUOTE,则QUOTE=QUOTE⇔QUOTE解得a=4.综上所述,a的值为0或4.2.(2020·北京模拟)函数y=f(x),x∈[1,+∞),数列{an}满足an=f(n),n∈N*,①函数f(x)是增函数;②数列{an}是递增数列.写出一个满足①的函数f(x)的解析式________.

写出一个满足②但不