新教材选择性5.1.1平均变化率课件（15张）

5.1导数的概念5.1.1平均变化率学习目标1.通过实例,了解平均变化率的概念,并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程,会在具体的情境中,说明平均变化率的实际意

义.3.通过具体的平均变化率问题,培养数学建模素养,借助平均变化率的求解,提升

数学运算素养.

1|平均变化率 函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为①

.我们利用函数的平均变化率来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.2|平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义是经过曲线y=f(x)上两点P(x1,y1),Q(x2,y2)的直线PQ的

斜率.因此平均变化率是曲线陡峭程度的②“数量化

”,或者说,曲线陡峭程

度是平均变化率的③“视觉化

”.3|函数f(x)在点x0附近的平均变化率对于函数f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则得

函数y=f(x)在点x0附近的平均变化率为

=

=

.其中Δx称作自变量的改变量,Δy称作函数值的改变量.

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.r从0.1变化到0.3时,圆的面积S的平均变化率为0.4π.

(√)提示:圆的面积S的平均变化率为

=

=0.4π.s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=5t2,则在1s到3s

这段时间内,该质点的平均速度为20m/s.

(√)3.在雨季潮汛期间,某水文观测员观察千岛湖水位的变化,发现在24h内水位从10

2.7m上涨到105.1m,则水位涨幅的平均变化率是1m/h.

(

✕)提示:水位涨幅的平均变化率是

=0.1(m/h).f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为零,说明函数值在此区间上没有发生变

化.

(

✕)提示:函数f(x)在区间[x2,x2]上的平均变化率为零,只是说明f(x1)=f(x2),但f(x)的值在

区间(x1,x2)内可以有变化.x2-x1取值越小,越能准确体现函数的变化率.

(√)提示:x2-x1取值越小,刻画函数的变化趋势越精确,故越能准确体现函数的变化率.6.已知某弯曲山路的上、下两点A(x1,y1),B(x2,y2),则

可以近似刻画此弯曲山路的陡峭程度.

(√)提示:因为

表示A,B两点所在直线的斜率,所以可近似地刻画曲线段AB的陡峭程度.1|求函数在某区间上的平均变化率

f(x)在区间[x1,x2]上平均变化率的三个步骤:第一步,求自变量的改变量x2-x1;第二步,求函数值的改变量f(x2)-f(x1);第三步,求平均变化率

.2.求平均变化率的一个关注点:求点x0附近的平均变化率,可用

求解.

已知函数f(x)=x2-x图象上两点P(1,f(1))和Q(t,f(t)),且直线PQ的斜率为2,则t的值为

.思路点拨直线PQ的斜率也就是函数f(x)在区间[1,t]上的平均变化率

利用平均变化率的计算公式列出关于t的方程

解方程求出t.解析自变量x从1变到t时,函数f(x)的平均变化率为

=

=2,解得t=2.答案2方法总结

函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率表示连接函数f(x)图象上两点(x1,

f(x1)),(x2,f(x2))的直线的斜率,这也正是平均变化率的几何意义.

(1)已知函数f(x)=x+

,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快;(2)已知函数f(x)=x2+1,求f(x)在区间[2,2+Δx]上的平均变化率.思路点拨(1)求x2-x1

求f(x2)-f(x1)

计算

.(2)求f(2+Δx)-f(2)

计算

.解析(1)自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为

=

=

;自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为

=

=

.因为

<

,所以函数f(x)=x+

在自变量x从3变到5时函数值变化得较快.(2)f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2+1-(22+1)=4Δx+(Δx)2,所以f(x)在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为

=

=4+Δx.方法总结

变化率的绝对值越大,函数在该区间上变化得越快;平均变化率的绝对值越小,函

数在该区间上变化得越慢.2|实际问题中的平均变化率

函数的平均变化率在实际的生产生活中有着广泛的应用,如求平均速度、平均劳

数学模型并列出函数关系式,需注意是相对什么量变化的.

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)

之间的函数关系式为h(tt2t+10.(1)求运动员在第一个0.5s内的平均速度;(2)求运动员在1≤t≤2这段时间内的平均速度.信息提取①h与t间的函数关系式为h(tt2t+10;②求函数h(t)在区间[0,0.5]上的平均

变化率;③求函数h(t)在区间[1,2]上的平均变化率.数学建模本题以高台跳水这一体育运动项目为背景,构建函数模型,将实际问题中的平均

h

在相应区间上的平均变化率.解析(1)运动员在第一个0.5s内的平均速度即高度h在区间[0,0.5]上的平均变化

率,即

=4.05,故运动员在第一个0.5s内的平均速度为4.05m/s.(2)运动员在1≤t≤2这段时间内的平均速度即高度h在区间[1,2]上的平均变化率,即

=-8.2,故运动员在1≤t≤2这段时间内的平