折叠问题强化练习

折叠问题强化练习1．如图，将一张边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，那么线段MN的长为〔〕A．10B．4C．D．2．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有〔〕个．A．1B．2C．3D．43．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于以下结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的选项是〔〕A．①②B．②③C．①③D．①④4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是〔〕A．1B．C．D．5．：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为〔0，3〕，∠OAB=60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，那么D点的坐标为〔〕A．B．C．D．6．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如下图的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，复原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是〔〕A．+1B．+1C．D．7．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为〔〕A．B．C．D．8．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，假设CF=1，FD=2，那么BC的长为〔〕A．3B．2C．2D．29．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．假设△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，那么的值为〔〕A．2B．4C．D．10．如图，△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，那么△ABC与△AB′D重叠局部的面积为〔〕A．B．C．3﹣D．11．如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M是边BC上的点，连接AM．如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是〔〕A．B．2C．D．312．矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，以下五个结论中正确的有〔〕个①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；；④MB′=CD；⑤假设B′P⊥CD，那么EB′=B′P．A．2B．3C．4D．513．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．以下结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是〔〕A．1B．2C．3D．414．如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为〔1，3〕，将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为〔〕A．B．C．D．15．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，那么CF的长为〔〕A．6B．4C．2D．116．如下图，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，那么图中阴影局部的面积为〔〕A．B．6C．D．17．在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠局部△AEF的面积等于〔〕A．B．C．D．18．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，以下结论中：①EF∥AB且EF=AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=AF•DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是〔〕A．1B．2C．3D．4二．解答题〔共12小题〕19．如下图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点〔不与点A、点D重合〕将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．〔1〕求证：∠APB=∠BPH；〔2〕当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；〔3〕设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？假设存在，求出这个最小值；假设不存在，请说明理由．20．〔1〕操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．〔2〕问题解决：保持〔1〕中的条件不变，假设DC=2DF，求的值；〔3〕类比探求：保持〔1〕中条件不变，假设DC=nDF，求的值．21．问题解决：如图〔1〕，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E〔不与点C，D重合〕，压平后得到折痕MN．当时，求的值．类比归纳：在图〔1〕中，假设，那么的值等于；假设，那么的值等于；假设〔n为整数〕，那么的值等于．〔用含n的式子表示〕联系拓广：如图〔2〕，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E〔不与点C，D重合〕，压平后得到折痕MN，设，那么的值等于．〔用含m，n的式子表示〕22．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可到达解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，那么EF=BE+DF，试说明理由．〔1〕思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据，易证△AFG≌，得EF=BE+DF．〔2〕类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．假设∠B、∠D都不是直角，那么当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．〔3〕联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜测BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．23．如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．〔1〕当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，那么的值为；〔2〕现将三角板绕点P逆时针旋转α〔0°＜α＜60°〕角，如图2，求的值；〔3〕在〔2〕的根底上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．24．阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，那么BF=CD．解决问题〔1〕将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜测此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；〔2〕如图③，假设△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述〔1〕中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；〔3〕如图④，假设△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值〔用含α的式子表示出来〕25．问题情境：如图，正方形ABCD的边长为6，点E是射线BC上的一个动点，连结AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B坐在点B′处．自主探究：〔1〕当=1时，如图1，延长AB′，交CD于点M．①CF的长为；②求证：AM=FM．〔2〕当点B′恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为，=．拓展运用：〔3〕当=2时，求sin∠DAB′的值．26．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE〔AB＜AE〕在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．〔1〕当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；〔2〕当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数；〔3〕如图3，如果α=45°，AB=2，AE=，求点G到BE的距离．27．：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．〔1〕求AE和BE的长；〔2〕假设将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m〔平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度〕．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．〔3〕如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α〔0°＜α＜180°〕，记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？假设存在，求出此时DQ的长；假设不存在，请说明理由．28．：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．〔1〕如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；〔2〕将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，〔1〕中的结论是否成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由；〔3〕将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角〔0°≤α≤120°〕，当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．29．问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．问题探究：〔1〕在旋转过程中，①如图2，当AD=BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．②如图3，当AD=2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD=nBD时，DP、DQ满足的数量关系为〔直接写出结论，不必证明〕〔2〕当AD=BD时，假设AB=20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？假设存在，求出最小值或最大值；假设不存在，请说明理由．30．问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为直线AB上的一动点〔点D不与点A，B重合〕连接CD，以点C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接BE，试探索线段AB，BD，BE之间的数量关系．小组展示：“希望”小组展示如下：解：线段AB，BD，BE之间的数量关系是AB=BE+BD．证明：如图①∵∠ACB=90°，∠DCE=90°∴∠ACB=∠DCE∴∠ACB=∠DCB=∠DCE﹣∠DCB即∠ACD=∠BCE∵CE是由CD旋转得到．∴CE=CD那么在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE〔依据1〕∴AD=BE〔依据2〕∵AB