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PAGE哈尔滨工业大学2024/2024学年秋季学期姓名:班级：学号：工科数学分析期末考试试卷〔答案〕试题卷〔A姓名:班级：学号：题号一二三四五六七八卷面总分平时成绩课程总成绩分数得分一．选择题〔每题2分，共10分〕1．以下表达中不正确者为〔D〕〔A〕如果数列收敛，那么数列一定有界。〔B〕如果，那么一定有。〔C〕在点处可导的充要条件是在点处可微。〔D〕如果函数在点处导数为，那么必在该点处取得极值。2．设在[0，1]上那么以下不等式正确者为〔B〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕3．假设在上可积，那么以下表达中错误者为〔D〕〔A〕连续〔B〕在上可积第1页〔共7页〕〔C〕在上由界〔D〕在上连续第1页〔共7页〕4．假设，那么〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕遵守考试纪律注意行为规范5．〔D〕遵守考试纪律注意行为规范〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕得分二．填空题〔每题2分，共10分〕1．的间断点为：，其类型为：第一类间断点。2．的全部渐近线方程为：。3．摆线处的切线方程为：。4．=：1。5．设在上可导，，第2页〔共7页〕那么=：第2页〔共7页〕得分三．计算以下各题：〔每题4分，此题总分值20分〕1．假设，求解：2，那么2．，解：，3.解：==4．解：第3页〔共7页〕第3页〔共7页〕5.，求解：=，所以。故四．解答以下各题：〔每题5分，此题总分值10分〕得分数列，，求证：收敛，并且证明：1)证有界因为,所以。假设，那么。故有界。2〕证单调因为，故为单调上升数列。由1〕和2〕知道收敛。设，由，所以有解得。而且为单调递增数列，所以。故。第4页〔共7页〕第4页〔共7页〕2．设，曲线与三条直线所围平面局部绕x轴旋转成的旋转体的体积为取何值时，最大？解：，由得，。当时，故当时，到达极大值，且为最大值。五：证明以下各题：〔1，2题各4分，3，4题各6分，此题总分值20分〕得分1.证明方程至少有一个不超过的正根。证明：设，显然它在上连续。假设，那么即为满足条件的根。假设，那么。而，由零点定理知存在，使得。即为满足条件的根。第5页〔共7页〕第5页〔共7页〕设函数且，试证：证明：由知道，所以。因为，故由积分中值定理知：，使得，即。设在区间上有二阶导数。，证明：在区间内至少存在一点，使证明：将在与处展成一阶泰勒公式(1)(2)令，注意到，(1),(2)有(3)(4)(4)-(3)得：所以：第6页〔共7页〕第6页〔共7页〕取，即有。4.设在区间上连续，且证明：存在一个使得证明：令，显然在上连续，在内可导，又，即。在由罗尔定理知，存在使得，即

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