河北省邢台市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题（含解析）

—2024学年上学期高二期末考试数学说明：1．本试卷共4页，满分150分。2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效。一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在长方体中，下列向量与是相等向量的是（）A． B． C． D．2．如图，在中，点，分别是棱，的中点，则化简的结果是（）A． B． C． D．3．过两点，的直线的倾斜角为120°，则=（）A． B． C． D．4．已知，，直线过且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A． B．C．或 D．以上都不对5．直线与直线平行，则的值为（）A．或 B．或C． D．6．圆：关于直线对称的圆的方程为（）A． B．C． D．7．已知为等差数列的前项和，，则=（）A．240 B．120 C．180 D．608．已知双曲线：的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，10．已知圆与直线，下列选项正确的是（）A．直线与圆必相交B．直线与圆不一定相交C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相切11．已知点，，直线：，则下列结论正确的是（）A．当时，点，到直线距离相等B．当时，直线与直线平行C．当时，直线在轴上的截距为-2D．当时，直线的斜率不存在12．已知点是抛物线C：y²=2px上一点，是抛物线的焦点，直线与抛物线相交于不同于的点，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______．14．抛物线的准线方程为______．15．已知数列满足，则=______．16．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______．四、解答题：本题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知直线：，直线：（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．18．（本小题满分12分）已知圆过点，和．（1）求圆的方程；（2）求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程．19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，半焦距为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线交椭圆于，两点，求的面积．20．（本小题满分12分）已知数列满足：，，数列为等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）求和：．21．（本小题满分12分）如图，在三棱台中，，，，，，且为中点．求证：；22．（本小题满分12分）已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点．（1）求面积的最小值；（2）设直线交抛物线的准线于点，求证：平行于轴．高二数学参考答案1．B【分析】根据长方体的性质，结合相等向量的定义进行判断即可．【详解】如图所示的长方体中，A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确；C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确，故选：B2．C【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案．【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以．故选：C．3．B【分析】由倾斜角与斜率及两点坐标的关系可求．【详解】设直线斜率为，则，故选：B．4．C【分析】根据两点斜率公式，即可求解．【详解】由题意得，，若直线l过点且与线段相交，则或，故选：C．5．C【分析】由两条直线平行可得，求出的值，再检验．【详解】因为直线与直线平行，则，解得或，当时，两直线方程都是，则两直线重合，不满足题意；当时，两直线方程分别为：，，满足题意；综上，．故选：C6．D【分析】求出圆的圆心和半径，得到圆心关于直线对称的点的坐标，从而得到对称的圆的方程．【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，设点关于直线对称的点为，故，解得，故关于直线对称的点为，所以所求的圆的方程为．故选：D7．B【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式求解即可．【详解】因为数列为等差数列，所以，所以，所以．故选：B．8．C【分析】根据双曲线定义求解即可．【详解】由题意可知，，解得，，所以双曲线的方程是．故选：C．二．多选题全选对得5分，部分选对得2分，有错误选项得0分。9．ACD【分析】根据空间向量共面基本定理进行求解判断即可．【详解】对于，因为，故三个向量共面，故符合题意；对于，假设，，共面，则，使得，故有，方程组无解，故假设不成立，故不符合题意；即，，不共面；对于，，故三个向量共面，故符合题意；对于，，故三个向量共面，故题意符合．故选：．10．AC【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案．【详解】解：直线过定点，又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，所以A正确，B，D错误，因为圆心与点间的距离为，圆半径为2．所以最短弦长为，故C正确，故选：AC．11．BC【分析】利用点线距离公式判断A，由直线方程得斜率判断B，取，则，从而判断C，计算得判断D，由此得解．【详解】对于A：当时，直线为，此时，，显然不满足题意，故A错误；对于B：时，直线为，，不过A点，而，，所以直线与直线平行，故B正确；对于C：时，直线为，取，则，故C正确；对于D：时，直线为，直线斜率为，故D错误；故选：BC．12．ABD【分析】将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；利用抛物线的焦半径公式可判断B选项；将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点的坐标，结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项．【详解】将点的坐标代入抛物线的方程，可得，可得，A对；所以，抛物线的方程为，其准线方程为，故，B对；易知点，直线的斜率为，直线的方程为，联立，解得或，即点，所以，，D对；，故、不垂直，C错．故选：ABD．13．【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆的定义求解即得．【详解】椭圆的半焦距，其焦点坐标为，由椭圆的定义得所求长轴长．故答案为：14．【分析】将抛物线方程化为标准方程即可得解．【详解】由题意抛物线的标准方程为，其准线方程为．故答案为：．15．【分析】由已知可得，与已知的等式相减可得，从而可求得结果．【详解】因为，所以，所以，故．故答案为：416．【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线．【详解】由；由．综上：且．故答案为：．17．（1）；（2）或．【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求．【详解】（1）由，则，即，所以或；当，，，两线重合，不合题设；当，，，符合题设；综上，．；（2）由，则，即，所以，即或。18．（1）（2）或【分析】（1）假设圆的一般方程，代入即可得到圆的方程．（2）先求出直线的方程，进而设出与垂直的直线的方程，求出圆心到直线的距离和线段的长相等求解即可得到直线的方程．【详解】（1）设圆的一般方程为：，分别代入点和．，解得，故圆的方程为：．（2）因为、所以直线的方程为：，故设直线的方程为：由题意可知，圆心，被圆截得弦长等于则可知圆心到直线与直线的距离相等．故有|解得或所以直线的方程：或19．（1）（2）【分析】（1）由题列出a、b、c的方程，解之即可；（2）将直线与椭圆联立，韦达定理，然后利用弦长公式求底，利用点到直线的距离公式求高，即可求出三角形的面积．【详解】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，因为焦距为，，又离心率，，；再由，所以椭圆标准方程为：；（2）由（1）知：左焦点为，直线的方程为：则，，由弦长公式，；到直线的距离，。20．（1）（2）【分析】（1）首先求出，，即可求出等比数列的通项公式，从而求出的通项公式；（2）利用分组求和法计算可得．【详解】（1）因为，，数列为等比数列，所以，，则，即是以为首项，为公比的等比数列，；所以，则．；（2）。21．证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间位置关系的向量证明方法，即可证明结论．【详解】由题意，以点为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，则，；故，，即；又平面，故平面。22．（1）（2）证明见解析【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，结合根与系数关系、弦长公式、点到直线的距离公式求得面积的表达式，进而求得面积的最小值．（2）通过求的横坐标来求得正确答案．【详解】（1）由得，，∴，；依题意得的斜率存在，设直线的方程，，，由得