（江苏专用）新高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.1 平面向量的概念及线性运算练习-人教高三数学试题

5.1平面向量的概念及线性运算1．(2019·湖北省黄冈、华师附中等八校联考)已知线段上A，B，C三点满足eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，则这三点在线段上的位置关系是()答案A解析根据题意得到eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))是共线同向的，且BC＝2AB，故选A.2．(2019·山东省师大附中模拟)设a，b是非零向量，则a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件答案B解析由a＝2b可知，a，b方向相同，eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)表示a，b方向上的单位向量，所以eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立；反之不成立．故选B.3．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线答案B解析∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))共线，由于eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))有公共点B，因此A，B，D三点共线，故选B.4.(2019·沈阳东北育才学校模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa＋b与c共线，则实数λ等于()A．－2B．－1C．1D．2答案D解析由题中所给图象可得，2a＋b＝c，又c＝μ(λa＋b)，所以λ＝2.故选D.5．(2020·南京模拟)在△ABC中，点G满足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在点O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，则m－n等于()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，可得eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴m＝－eq\f(3,2)，n＝－eq\f(1,2)，m－n＝－1，故选D.6.如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A.eq\f(9,11)B.eq\f(5,11)C.eq\f(3,11)D.eq\f(2,11)答案B解析注意到N，P，B三点共线，因此eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(6,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，从而m＋eq\f(6,11)＝1，所以m＝eq\f(5,11).7．(多选)在△ABC中，下列命题正确的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形D．若eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，则△ABC为锐角三角形答案BC解析由向量的运算法则知eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，故A错，B对；∵(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))2＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，即AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，故C对；∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＞0，∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．故选BC.8．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)答案ACD解析若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，故A正确；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，设eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，故D正确．故选ACD.9．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝________.答案2eq\r(3)解析因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|为△ABC的边BC上的高的2倍，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).10．(2019·钦州质检)已知e1，e2为平面内两个不共线的向量，eq\o(MN,\s\up6(→))＝2e1－3e2，eq\o(NP,\s\up6(→))＝λe1＋6e2，若M，N，P三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得eq\o(MN,\s\up6(→))＝keq\o(NP,\s\up6(→))，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)，又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝kλ，,－3＝6k，))解得λ＝－4.11．如图所示，设O是△ABC内部一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，求△ABC与△AOC的面积之比．解如图，取AC的中点D，连结OD，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，∴O是AC边上的中线BD的中点，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC与△AOC面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示向量eq\o(AO,\s\up6(→)).解方法一由D，O，C三点共线，可设eq\o(DO,\s\up6(→))＝k1eq\o(DC,\s\up6(→))＝k1(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝k1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝－eq\f(1,2)k1a＋k1b(k1为实数)，同理，可设eq\o(BO,\s\up6(→))＝k2eq\o(BF,\s\up6(→))＝k2(eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－a))＝－k2a＋eq\f(1,2)k2b(k2为实数)，①又eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)k1a＋k1b))＝－eq\f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，②所以由①②，得－k2a＋eq\f(1,2)k2b＝－eq\f(1,2)(1＋k1)a＋k1b，即eq\f(1,2)(1＋k1－2k2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k2－k1))b＝0.又a，b不共线，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)1＋k1－2k2＝0，,\f(1,2)k2－k1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝\f(1,3)，,k2＝\f(2,3).))所以eq\o(BO,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a＋\f(1,3)b))＝eq\f(1,3)(a＋b)．方法二因为D，F分别是AB，AC的中点，所以O为△ABC的重心，延长AO交BC于点E(图略)，则E为BC的中点，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b)．13．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(－1,0)答案B解析设eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OD,\s\up6(→))，则m>1，因为eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以meq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(λ,m)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(μ,m)eq\o(OB,\s\up6(→))，又知A，B，D三点共线，所以eq\f(λ,m)＋eq\f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1，故选B.14．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(OC,\s\up6(→))))，则点P一定为△ABC的()A．BC边中线的中点B．BC边中线的三等分点(非重心)C．重心D．BC边的中点答案B解析设BC的中点为M，则eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，即3eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(OA,\s\up6(→))，也就是eq\o(MP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，∴P，M，A三点共线，且P是AM上靠近A点的一个三等分点．15．设a是已知的平面向量，向量a，b，c在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④若|a|＝2，存在单位向量b，c和正实数λ，μ，使a＝λb＋μc，则3λ＋3μ>6.其中真命题是__________．答案①②④解析给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c，即a－b＝c.显然存在c.所以①正确．由平面向量的基本定理可得②正确．给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc，当a分解到c方向的向量长度大于μ时，向量a没办法按b，c分解，所以③不正确．存在单位向量b，c和正实数λ，μ，由于a＝λb＋μc，向量b，c的模为1，由三角形的三边关系可得λ＋μ>2.由3λ＋3μ≥2eq\r(3λ＋μ)>6.所以④成立