（江苏专用）高三数学一轮总复习 第八章 立体几何 第四节 直线、平面平行的判定及其性质课时跟踪检测 理-人教高三数学试题

课时跟踪检测（四十三）直线、平面平行的判定及其性质一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．如图，在正方体中，点E是棱DD1上一点，若BD1∥平面AEC，则点E的位置是________．解析：取AC的中点O，连结OE，因为BD1∥平面AEC，根据线面平行的性质定理知BD1∥OE，所以E是DD1的中点．答案：DD1的中点2．(2016·金陵中学检测)过两平行平面α，β外的点P作两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．解析：因为两条直线AB与CD相交于点P，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线分别为AC，BD，且AC∥BD，所以eq\f(PA,PB)＝eq\f(AC,BD).又PA＝6，AC＝9，PB＝8，所以BD＝12.答案：123．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是________(填序号)．①平面ABC必平行于α；②平面ABC必与α相交；③平面ABC必不垂直于α；④存在△ABC的一条中位线在α内．解析：平面α外不共线且到α距离都相等的三点可以在平面α的同侧，也可以在平面α的异侧，若A，B，C在α的同侧，则平面ABC必平行于α；若A，B，C在α的异侧，则平面ABC必与α相交且交线是△ABC的一条中位线所在的直线，故①②③均错误，④正确．故填④.答案：④4．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO解析：如图所示，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连结DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q为CC1的中点5.(2016·海门中学检测)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为________．解析：如图，取AB，C1D1的中点M，N，连结A1M，MC，CN，NA1A1N∥PC1且A1N＝PC1，PC1∥MC且PC1＝MC，所以A1N綊MC，所以四边形A1MCN是平行四边形．因为A1N∥PC1，A1M∥BP，A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，所以平面A1MCN∥平面PBC1.因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN.连结MN，过A1作A1H⊥MN于点H，因为A1M＝A1N＝eq\r(5)，MN＝2eq\r(2)，所以A1H＝eq\r(3)，所以S△A1MN＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6).故S▱A1MCN＝2S△A1MN＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·盐城二调)已知l是一条直线，α，β是两个不同的平面．若从“①l⊥α；②l∥β；③α⊥β”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题________(请用序号表示)．解析：由两个作为条件，另一个作为结论的所有可能情形有：①②→③；①③→②；②③→①.其中①③→②不正确，l还可以在平面β内；②③→①不正确，l还可以在平面α内，也可以平行于平面α；①②→③是正确命题．答案：①②→③2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为________cm2解析：如图所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F为AC与BD的交点，∴E为DD1的中点，∴S△ACE＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),4)(cm2)．答案：eq\f(\r(6),4)3.(2016·通州高级中学检测)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F是对角线A1D，B1D1的中点，则正方体六个面中有________个面与直线EF平行．解析：连结DC1，A1C1.因为F为B1D1的中点，所以F为A1C1的中点，又E为A1D的中点，所以EF∥DC1.又EF⊄平面DC1，DC1⊂平面DC1，所以EF∥平面CC1D1D.同理可证EF∥平面A1ABB答案：24．(2016·阜宁中学检测)已知平面α∥平面β，且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A，与β相交于点B，若AB＝eq\f(2\r(3),3)d，则直线a与α所成的角为________．解析：过点B作BC⊥α于点C，在直角三角形ABC中，直线a与平面α所成的角为∠BAC.又由条件，得sin∠BAC＝eq\f(d,\f(2\r(3),3)d)＝eq\f(\r(3),2)，所以∠BAC＝60°.答案：60°5．过三棱柱ABC­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A解析：过三棱柱ABC­A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1答案：66．α，β，γ是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：①α∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号)．解析：①α∥γ，α∩β＝a，β∩γ＝b⇒a∥b(面面平行的性质)．②如图所示，在正方体中，α∩β＝a，b⊂γ，a∥γ，b∥β，而a，b异面，故②错．③b∥β，b⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b(线面平行的性质)．答案：①③7．(2016·福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中论断正确的是________．(填序号)解析：对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此④正确．综上所述，②③④正确．答案：②③④8．(2016·云南模拟)在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．解析：取AC的中点G，连结SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AC))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)SB))＝eq\f(45,2).答案：eq\f(45,2)9.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB(1)求证：AB1∥平面BC1D；(2)设BC＝3，求四棱锥B­DAA1C1解：(1)证明：连结B1C，设B1C与BC1相交于点O，连结OD∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C∴OD∥AB1.∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C∴平面ABC⊥平面AA1C∵平面ABC∩平面AA1C1C连结A1B，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C∵AB＝AA1＝2，BC＝3，AB⊥BC，∴在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(4＋9)＝eq\r(13)，∴BE＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(6,\r(13))，∴四棱锥B­AA1C1D的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(A1C1＋AD)·AA1·BE＝eq\f(1,6)×eq\f(3,2)eq\r(13)×2×eq\f(6,\r(13))＝3.10．(2016·南京名校联考)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AD＝EF＝AF＝1，AB＝2.(1)求证：平面AFC⊥平面CBF；(2)在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面DAF？并说明理由．解：(1)证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∵CB∩BF＝B，∴AF⊥平面CBF.∵AF⊂平面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF.(2)取CF中点记作M，设DF的中点为N，连结AN，MN，则MN綊eq\f(1,2)CD，又AO綊eq\f(1,2)CD，则MN綊AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF，∴OM∥平面DAF.即存在一点M为CF的中点，使得OM∥平面DAF.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.(2016·天一中学检测)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1(写出一种情况即可)．解析：取B1C1的中点R，连结FR，NR，FH，易证平面FHNR∥平面B1BDD1，所以当M∈线段FH时，有MN⊂平面FHNR，所以MN∥平面B1BDD1答案：M∈线段FH2．如图，AE⊥平面α，垂足为E，BF⊥平面α，垂足为F，l⊂α，C，D∈α，AC⊥l，则当BD与l________时，平面ACE∥平面BFD.解析：可证l⊥平面ACE，故需l⊥平面BFD.因为BF⊥α，l⊂α，所以BF⊥l，故只需BD⊥l.故填垂直．答案：垂直3.如图所示，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC.设D，E分别为PA，AC的中点．(1)求证：DE∥平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：∵点E是AC中点，点D是PA的中点