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PAGE数学高二数学竞赛班二试讲义第3讲裴蜀恒等式班级姓名一、知识点金1．欧几里得除法：设为整数，，按下述方式反复作带余除法，有限步之后必然停止（即余数为零）：用除：用除：用除：……用除：用除：用除：则实际上，由于余数为整数，且满足，从而上述的带余除法有限步后余数必为零。因此给定，欧几里得除法不仅能（在有限步内）求出，还可以证明方程=1\*GB3①有一组整数解，并能实际地求出一组解。具体的做法是将欧几里得除法倒推回去：，，…，，，依次消去，得到一组整数，使得。2．互素的充分必要条件是，存在整数，使得=2\*GB3②等式=2\*GB3②称为（互素整数的）裴蜀恒等式。3．若互素，且，则。4．若是素数，且，则至少有一个，使得5．若两两互素，且，，则。6．设，则二、例题分析例1．记。证明：若，则例2．设是奇数，证明：例3．（1）设是正整数，证明：。（2）设是正整数，证明：。（3）记。证明：对，有。例4．设都是正整数，。证明：三、同步检测1．设是整数，证明：2．设都是正整数，被整除，证明：3．设是正整数，且是整数。证明：。4．设是正整数，是奇数。证明：5．求证：若正整数使得，则是完全平方数。高二数学竞赛班二试讲义第3讲裴蜀恒等式例1．法1：，所以又，所以，所以，则法2：，所以注：称为梅森数，称为费尔马数。例2．对，并不总成立。论证的诀窍是将和作配对变形。对，因为奇数，故，从而是的倍数，进而它们的和也是的倍数。例3．（1），所以（2）设，则，由，可推得，所以，所以，故（3），则设，所以，所以或。但显然是奇数，故例4．我们对指数作欧氏除法。重复上述论证，三、同步检测1．，有裴蜀恒等式知2．，所以，因为，所以，3．设，则，，所以所以，4．设，为奇数，，，由二项式定理知，所以，又为奇数，所以5．设，将上式化成关于的一元二次方程，因为它是整系数的，且两根为整数，故其判别式为完全平方数，也即为完全平方数，注意到，于是是完全平方数。学好高中数学的方法和技巧包括：掌握基础知识。确保熟练掌握基本概念、公式和定理，特别是代数、几何、函数、导数和积分等重要知识点。重视预习和复习。在上课前预习教材，梳理知识点，对不理解的内容做好标记；课后及时复习，通过复习和整理笔记来加深理解。提高听课效率。在课堂上紧跟老师思路，积极参与讨论，做好笔记，记录重要的思路和方法。多做练习题。通过练习来巩固和运用所学知识，可以选择有代表性的题目进行练习，并尝试一题多解，培养解决问题的能力。整理和总结错题。准备一个错题本，记录自己在练习中遇到的难题和错误，定期回顾并分析错误的原因，从而避免在未来的考试和练习中重复犯错。学习和使用数学工具。学会使用计算器和其他数学工具，提高计算效率；同时，学习画图技巧，帮助理解和解决问题。参与数学竞赛和讨论。通过参加数学竞赛和与同学讨论数

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