2023学年完整公开课版弧弦圆心角

2413弧、弦、圆心角的关系圆的性质圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。●O·圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角OBA一、概念1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。①②③④如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然∠AOB＝∠A′OB′，半径OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点A与A′重合，B与B′重合．·OAB·OABA′B′A′B′二、探究因此，弧AB与弧A1B1重合，AB与A′B′重合．⌒AB⌒A1B1=思考定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？1判断下列说法是否正确：（1）相等的圆心角所对的弧相等。（）（2）相等的弧所对的弦相等。（）（3）相等的弦所对的弧相等。（）×√×小试身手如图，AB、CD是⊙O的两条弦．（1）如果AB=CD，那么___________，_________________．（2）如果，那么____________，_____________．（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？·CABDEFOAB=CDAB=CD四、练习

答：OE﹦OF证明：∵OE⊥ABOF⊥CD

∵AB﹦CD∴AE﹦CF∵OA﹦OC∴RT△AOE≌RT△COF∴OE﹦OF在圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中，有一组量相等，其余各组也相等。知一推三证明：∴AB=AC．又∠ACB=60°，∴AB=BC=CA∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC·ABCO五、例题∵例1如图，在⊙O中，,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠BOC=∠AOC如图，AB是⊙O的直径，∠COD=35°，求∠AOE的度数．·AOBCDE解：六、练习∵七、思考1如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC,求证AB=CD⌒⌒2如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点，求证：MC=NC⌒提示：证MOCNOC3如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA,求证：AC=AE⌒⌒OABCD

如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径.求证：AB=BC=CD=DA;AB=BC=CD=DA.⌒⌒⌒⌒∴

AB=BC=CD=DA

⌒⌒⌒⌒证明:∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90ºAB=BC=CD=DA(圆心角定理)知识延伸

4已知：如图，∠AOB=90°，D、C将AB三等分，弦AB与半径OD、OC交于点F、E求证：AE=DC=BF．⌒1、三个元素：圆心角、弦、弧、归纳：2、三个相等关系：OαABA1B1α1圆心角相等2弧相等3弦相等知一得二弦心距、知一推三例1、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．ＯＣＢＡ⑴∠AOB、∠COB、∠AOC分别为多少度？ＤＰ⑵延长AO，分别交BC于点P，BC于点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？⑸若等边三角形ABC的边长a,求⊙O的半径为多少？当a=时求圆的半径?如图，已知点O是∠EPF的平分线上一点，P点在圆外，以O为圆心的圆与∠EPF的两边分别相交于A、B和C、D。求证：AB=CDMNPABECDFO做一做.PBEDFOACP点在圆上，PB=PD吗？变式练习：PBEMNDFOMNP点在圆内，AB=CD吗？3、已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点，∠1=∠2。求证：AC=BD随堂训练3．如图，公路MN和公路，假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿/h，那么学校受影响的时间为多少秒？OABCD

如图，AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径.求证：AB=BC=CD=DA;AB=BC=CD=DA.⌒⌒⌒⌒∴

AB=BC=CD=DA

⌒⌒⌒⌒证明:∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90ºAB=BC=CD=DA(圆心角定理)知识延伸2四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？例2、如图,AB、CD是⊙O的两条直径。1顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？3如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？ＯＤＣＢＡ4如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？思考如图，∠AOB=2∠COD，则AB=2CD吗？⌒AB=2CD吗？⌒想一想：点A是半圆上的三等分点,B是弧NA的中点,N上一动点⊙O的半径为1,问N上什么位置时,APBP的值最小并求出APBP的最小值NMBPAO船能过拱桥吗解:如图,