2023-2024届高考数学-第17讲 直线的斜率问题（解析版）

第17讲直线的斜率问题

参考答案与试题解析

一.解答题(共18小题)

1.已知椭圆C:f+3y2=3,过点O(1,0)且不过点E(2,l)的直线与椭圆C交于A,3两点，直线ΛE与直线

x=3交于点

(I)求椭圆C的离心率；

(II)若AB垂直于X轴，求直线的斜率；

(In)试判断直线与直线Z)E的位置关系，并说明理由.

【解答】解：(I)椭圆C的标准方程为q→y2=ι.

所以α=∙∖∕5,b=},c=y/2.

所以椭圆C的离心率e=£=1&.

a3

(H)因为他过点。(1,0)且垂直于X轴，所以可设A(l,y),B(l,-y1).

直线AE的方程为y-l=(l-y)(x-2).

令x=3,得M(3,2-χ).

2V|+＞，1

所以直线BM的斜率&(M=--=1.

BM3-1

(III)直线与直线DE平行.证明如卜.：

当直线AB的斜率不存在时，由(∏)可知km=1.

又因为直线DE的斜率A⅛=FJ=I，所以8W∕ΛDE.

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=Mx-D(AHI).

设Aa,y∣),B(x,,%),则直线AE的方程为y-l=)~-(x-2).

-X1-2

令X=3,得点M(3,y+'-3).

%一2

由卜-+3y-=3,得(]+3左2)*2_6心+3/_3=0

Iy=Z(X-I)

y∣+x∣-3ʃ

所以芯+/=卫\,XM2=生二I•直线的斜率为：怎M=—二，因为

^1+3公-1+3公BM3-xl

+2

_Λ(x1-1)+x1-3-Λ(x1-I)(x1-2)-(3-X2)(X∣-2)_(Ar-l)[-x1x2+2(x∣+x2)-3]'""1+3&?ɪ+3kɜɪ_n

(3-X2)⅛-2)(3-Λ2)(X1-2)(3-X2)(X1-2)

所以kBM=1=kpE,

:.BMIIDE.

综上，直线与宜线OE平行.

22

2.设椭圆C：rr+2=l(α>b>0)的焦距为2√L且经过点((M).

a~b

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)过点0(1,0)且不过点石(2,1)的直线与椭圆C交于A,8两点，直线AE与直线x=3交于点M,试判断

直线与直线OE的位置关系，并说明理由.

92

【解答】解：(1)•椭圆C：W+】=l(a>b>0)的焦距为2应,且经过点(0,1),

ab

「•根据题意得：C=JΣ,即/=α2—"=2①，

把((U)代入椭圆方程得：⅛2=1,

把匕2=1代入①得：6f2=3>

■›

则椭圆C的标准方程为5+y2=∖-.

(2)直线&W与直线上平行.

证明如下：

AB过点。(1,0)且垂直于X轴，

.∙.可设A(l,y∣),B(l,-y1),

E(2,l),.∙.直线AE的方程为：y-l=(I-X)(X-2),

令x=3,得M(3,2f),

直线的斜率且=

BMAzflw=VL；1.

当直线AB的斜率不存在时，kRM=\.

又.■直线£)E的斜率L=FJ=I,.∙.8M∕∕r>E∙;

当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=Mx-1)(%Nl),

设4(x∣,y∣),B(X2,y2),

则直线AE的方程为y-l=α二%-2),

X.-2,

令x=3,则点M(3,*+'T),

X1—2

X+X一3

_一M

X|J9

直线BM的斜率kKM=-~-----

3-X2

x*l2+34=3,得(]+3左2帚一6七+3〃_3=0,

联立

y=fc(x-l)

6公3k2-3

由反达定理，得A+K=Z^，Xi无？=T

l+3⅛21+3/

__-1)+X]-3-k(x2—D(X-2)—(3-毛)()—2)

AL=(3-X2)(X1-2)

(k,—1)[—x∣^2+2(X+Xj)—ɜ]

(3-X2)(XI-2)

(3—x2)(x1—2)

=O>

.∙.kBM=∖=km,即BMHDE-.

综上所述，直线BM与直线DE平行.

22

3.如图，A,3分别是椭圆C:=+4=l(α>b>0)的左右顶点，F为其右焦点，2是IA用与IFBl的等差

a~h~

中项，√J是|4用与∣F8∣的等比中项.

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知点P是椭圆C上异于A,3的动点，直线/过点A且垂直于X轴，若过尸作直线FQ垂直于AP,

P,3三点共线.

a+c,∖BF∖=a-c.由2是IA可与IFBl的等差中项，G是IA可与IFBl

的等比中项.

I(。-C)+(α+C)=4

.,∙\「2，解得々=2，c=l,

(α-c)(α+c)=(6)2

h2=cr-c2=3.

22

椭圆。的方程为三+匕=1.

43

(2)证明：直线/的方程为：x=-2,直线AP的方程为：y=A(x+2)(0),

y=k(x+2)

联立〈V>->，化为(3+4^)/+16尸χ+16公-12=0,

jJ

43

16公

X+X=------，

Ap3+4公

6-Sk2,,、、∖2k

"=诉'F="(4+2)=i^

QF±AP,:.k=--

PFk

直线QF的方程为：y=-J(x-1),

k

把x=-2代入上述方程可得为=3,

3

∙∙.β(-2,-)∙

k

12k33..

,_IZZEɪɪkɪ

7,β^6-8⅛2~~4k,IiBQ-Hi-K

--------r+2

3+4⅛2

kpQ-kBQ

:BP,。三点共线.

22

4.已知椭圆E:土+二=1的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为&伏＞0)的直线交E于A,用两点,

f3

点N在E1上，MALNA.

(I)当f=4,∣40R4V∣时，求ΔAΛW的面积；

(II)当2∣AMHANl时，求％的取值范围.

【解答】解：(I)方法一、f=4时，椭圆E的方程为∖+(=l,A(-2,0),

直线ΛM的方程为y=A(x+2),代入椭圆方程，整理可得(3+4/)/+16/^+16/-12=0,

解得〜或一没则IAMI=√I+F-12-认I=√l+⅛2•—J

3+4公3+4k2

12

由AN1.AM,可得IANl=标•

J=4-

23|幻+工

3+4∙(-)

IZl

,1D/

212

由IAMl=j4V∣,k>0,可得√1+F---------7=√1+A-，

3+4K3八±

k

整理可得(无-1)(4〃+/+4)=0,由4%2+昔+4=0无实根,UJ得Z=1,

II____iɔ144

即有ΔAΛ√7V的面积为jAM∣2=-!-(^+T.——)2=——；

223+449

方法二、由IAMRA7V∣,可得M，N关于X轴对称，

由M4_LN4.可得直线AM的斜率为1,直线AM的方程为y=x+2,

22

代入椭圆方程三十二二1,可得7X2+16X+4=0,

43

ɔɔioO19

解得x=-2或，M(--,—).N(--,--).

77777

则ΔAM∕V的面枳为LX学x(-2+2)=出；

27749

(H)直线AM的方程为y=Z(x+√7),代入椭圆方程，

可得(3+tk1)x2+2t∙4tk2x+12k2-3/=O,

r血2_3«

解得x=-√⅛

-3+必~

（补充求M,N的纵坐标的方法:

设则直线AM的方程为X=%—a,与椭圆的方程联立，可得（黑∙+3y2-网y=0,

-6a

因此M的纵坐标为∙6*,N的纵坐标为2加一=一6零，）

3m~+a-ɔ,23+m~cr

工十〃

IYT

即有IAMl=衍.|叱『一Sl=标.黑,

IANI==2.正

3k+-

k

由2∣AMl=I4V∣,可得2>/1+产T=JI+。

3+a3k+L

k

整理得f=6f-3%

ki-2

6k?-3k>3,即有1+Dd)

由椭圆的焦点在X轴上，则f＞3,即有<0,

k3-2k-2

可得蚯＜左＜2,即A的取值范围是（√∑,2）.

5.已知椭圆EJ+2=l(4>3>0)的右焦点为尸(1,0),左顶点为A(-2,0).

ab^

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于(不同于点A的)M,N两点.试判断直线MN与X

轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

χ22

【解答】解：⑴根据题意，椭圆E:0+4v=l(α>"0)的右焦点为F(1,0),

ab~

左顶点为4-2,0)，则c=l,a=2,

则b2=a2-C2=3.

O2

所以椭圆E的方程为'+二=1.

43

(2)根据题意，

①当直线MN与X轴垂直时,直线AM的方程为y=x+2,

联立2得7χ2+i6x+4=0,解得x=-2或X=-2(舍去).

[3Λ2+4/=127''

此时直线MN的方程为X=--.直线MV与X轴的交点为(-士,0).

77

②当直线MN不垂直于1轴时，设直线MN的方程为y^kx+m.

联立C：得(4左2+3)/+8切1¥+4疗-12=0.

[3X+4y=12

设Ma,γ1),N(X2，％)，

8km4∕√-123nr-Mk1

则％

+x2=-+^i,x'x--4公+3-3+4—2

且/\=(Skm)2-4(4⅛2+3)(4m2-12)>0,即1<4/+3.

而A"=(Xl+2,y),AN=(/+2,%)，

由题意知，AMIAN,

即AM∙AN=XIΛ2+2(x÷x)÷γy÷4=7"小"-0，

1212

ɔ

解得加=—攵或加=2攵(舍去).

7

当相=W欠时，满足帆2〈4公+3.

7

ɔɔ

直线MV的方程为y=k(x+?,此时与X轴的交点为(-余0).

故直线MN与X轴的交点是定点，坐标为(--,0).

7

22

6.己知椭圆。:r七+v==1(〃＞。＞1)过点2(-1,-1),C为椭圆的半焦距，且c=J%.

a^h^

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)过点尸作两条相互垂直的直线乙，4与椭圆C分别交于另两点M，N,若线段MN的中点在X轴上,

求此时直线MN的方程.

22

【解答】解：(I)由C=四，可得∕=3ZΛ椭圆C0+A=l(α＞方＞1)过点尸(-1,-1),

ab

可得，-+4=1,解得/=4,b2=—1

a2b23

22

所以椭圆的方程为：—+⅛=l.........(4分)

44

3

(II)设“(芭，yl),N(X2,y2)»

则卜产=4,

x^+3员=4

两式相减得(西+x2)(x∣-々)+3(乂+%)(凹一切)=。'

因为线段MN的中点在X轴上，

所以y∣+%=0,从而可得(XI+X2)(χ∣-jt⅛)=0.…(7分)

若xl+X2=0,则N(-x∣,-y∣)•

因为过点产作两条相互垂直的直线//4,所以P∕0"LPN,

所以PM.PN=0,得x；+y；=2.

又因为x；+3y；=4,所以解得占=±1,

所以Λ∕(-U),N(L-I)或M(l,-1),/V(-l,l).

所以直线Λ∕N的方程为y=τ.…(10分)

若XI-W=0,则N(x∣,-y∣),

因为所以PM.PN=O,得y2=(x∣+iy+l.

又因为x；+3y；=4,所以解得XI=J■或—1,

经检验：X=-ɪ满足条件，x=-l不满足条件.

2

综上，直线MN的方程为x+y=O或X=…(13分).

22

7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知双曲线E:0-5=l(a>0,%>0)的右焦点F到双曲线E的

a^b-

一条渐近线y=币X的距离为√3.

(1)求双曲线E的方程;

(2)如图，过圆0:》2+>2=1上一点M作圆O的切线/与双曲线E的左、右两支分别交于P,。两点，以

PQ为直径的圆经过双曲线E的右顶点A,求直线/的方程.

二双曲线E的方程为/-it=1；

3

(2)由己知直线/的斜率存在，设/:y=fcv+m,则=1,即川=1+〃，

联立FX)-3,得(3-∕)χ2-2成X-/-3=0.

[y=kx+m

设P(XI，y∣),Q(X2,y2),

3-k2≠0

.∙.■=4⅛2W2+4(W2+3)(3-⅛2)>0,解得Q,公<3.

Imkm2+3

%+X2=------7'XιX->=y，

'-3-k2-3-k2

又A(l,0)，P(xt,χ),Q(X2,y2),

以PQ为直径的圆经过双曲线E的右顶点A,

.∙.AP∙AQ=O,即(Xl-I)(X2—1)+ʃ,y2=(-v∣—l)(x2一D+(京∣+m)(g+m)

12

=(1+k)xλx2+(mk-I)(Xl+x2)÷∕n÷l=0.

(1+k2)(m2+3)2mk(mk-1)„

..--------------；--------H---------；——+m2+1=0,

3-公3-公

则m2—mk—2k2=0(得，〃=2A:或WI=—A.

①当帆=-左时，点/与右顶点A重合，不合题意舍去；

②当w=2Z时，代入>=1+*解得Z=±且，满足条件.

3

直线/的方程为y=@X+毡或y=_立］—迎.

3333

222

8.已知双曲线、■-二=1(〃>0,/?>0)的右顶点为A,右焦点为夕，点O为坐标原点，直线/:X=幺与X轴

abic

交于点、B,且与一条渐近线交于点C,又Q4=2O8,Q4∙OC=2,过点F的直线M与双曲线右支交于点M,

N,点P为点M关于X轴的对称点.

(1)求双曲线的方程；

(2)判断5,P,N三点是否共线，并说明理由；

(3)求三角形BVW面积的最小值.

【解答】解：(I)OA=2OB,OA.OC=2f

a2

a=2×—

a2=4,c=4

a1C

a×—=2

/.b2=c2-A2=12

双曲线的方程为W-E=I;

412

(2)由(1)可知3(1,0),/(4,0),

22

由题意直线机的斜率不为0,所以设直线m的方程为x=O+4,代入工-L=I整理得

412

(3r2-l)∕+24ty+36=0,

设M(X1,yl),N(X2，％)，则P(X1，一切).

由韦达定理知M+%=-黄彳，=可言，

所以8尸=(占一1,一乂),8代=。2—1,%).

因为(Xl-I)%一(七一l)(-y)=占%+9X-X-%=结跖+3(乂+%)=2t^∑{+=O

，向量BP,BN共线，所以5,P,N三.点共线.

(3)因为直线机与双曲线右支交于点M,N.所以XlW=(Zyl+4)(以+4)>0,得f2<g.

2

SijSMN=gIBFIl必一μI=；X3XJ(y∣+%)-4%%=61_靠。，

令"=1一3产，则〃€(0,1],SMMN=66fΞ=6闻★—=6闻4(：-,

又'e[l,+8),所以1=1,即r=O时，三角形BMN面积的最小值18.

UU

2

9.设椭圆C:5+V=l的右焦点为尸，过f的直线/与C交于A,B两点，点〃的坐标为(2,0).

(1)当/与X轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

【解答】解：(1)C=>/2-1=1,

.∙.F(l,0),

,/与/轴垂直，

∙∙X—\»

x=lx=lx=l

由4Y,解得.

&或，√2∙

-+y2=l

2y=T

"(I当，或

二.直线AW的方程为卜=_哼*+拒，y=^-x-'Jl

证明：(2)当/与冗轴重合时，ZOMA=ZOMB=OQ,

当/与X轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∙∙.NOΛ14=NOMβ,

当/与X轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=左(X-I),%≠0,

4(X[,j1),BeX2，%)，则再<虚，x2<∖∣2,

直线M4,MB的斜率之和为&M，之和为％»+《》="一+》一，

x1-2X2-Z

由,"T'%=乜/得当管聚等”

丫2

将y=4(工一1)代入]+y2=1可得.(25+1)/-4k2^+2/-2=0,

4&22k2-2

…=药，砧=两’

31

√.2kxtx2-3%(Xl+Λ⅛)+4Λ=~ɪ(4⅛-4⅛-12k'+8Λ+4k)=O

从而kMA+kMB=。，

故M4,Λ仍的倾斜角互补，

.-.ZOMA=ZOMB,

综上NOM4=NOMB.

10.在直角坐标系XOy中，曲线C:y=—与直线hy=fcr+α(α>0)交于M,N两点.

4

(I)当A=O时，分别求C在点M和N处的切线方程.

(II)y轴上是否存在点尸，使得当A变动时，总有NoPM=NOPN?(说明理由)

y=a

【解答】解：(/)联立Iχ2,不妨取M(2G,α),N(-2j^,α),

r=T

由曲线Uy=工可得：/=-,

42

•••曲线C在M点处的切线斜率为地=而，其切线方程为：)，-a=G(x-2&),化为疝-y-α=().

2

同理可得曲线C在点N处的切线方程为：√^x+y+α=O.

(//)存在符合条件的点(0,-a),下面给出证明：

设P(O向满足NOPΛ/=NOPN.Λ∕(x,,yl),N(X2,y2),直线PM,PN的斜率分别为：kt,k2.

y=kx-∖∙a

联立，X2,化为f一4AX-4α=0,

y=-

[•4

,

..Λ1+x2=4Λτxlx2=-4a.

,,_y\-hy2_2AXIX+(<7-⅛)(X+X)_k(a+b)

•∙Ak∣+/C2=+=212.

~x1x2X1Λ2a

当匕=一α时，kl+k2=O,直线PM,PN的倾斜角互补，

:.NOPM=NOPN.

.∙.点P(O,-α)符合条件.

11.在直角坐标系XOy中，曲线C:d=4y与直线y=Ax+α(a>O)交于Λ/,N两点.

(1)当Z=O时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(2)y轴上是否存在点P,使得当Z变动时，总有NOPM=NOPN?说明理由.

y-a

【解答】解：(1)联立，χ2,可得M(2G,α),N(-2后,α),或M(-2&,a),N(2√^,4).

P，=T

y=gx,故y=?在χ=2夜α处的导数值为

C在(20a,a)处的切线方程为y-a=8(x-2∙Jii),即-Jax-y-a=O.

故y=工在X=-2√2Λ处的导数值为,

4

C在(-2应a,a)处的切线方程为y-a=(X+26),即＞∕ax+y+a=O.

故所求切线方程为y[cix一y-。=O或∙fax+y+a=O.

(2)存在符合题意的点，证明如下：

设P(0∕)为符合题意的点，M(x1,y1),N(∕,必)，直线PM，尸N的斜率分别为％,k1.

将y=kx+a代入C得方程整理得f-4区-4.=0.

,

..xl+x2=4⅛,xlx2=-4a.

_y}-by2-⅛_2AX1X2÷(α-⅛)(x1+x2)_k(a+b)

.*.K]+k、­I——.

x1X2xix2a

当。=一口时，有匕+&=0,则直线PM的倾斜角与直线尸N的倾斜角互补，

故ZOPM=ZOPN,所以尸(0,-“)符合题意.

22

12.已知椭圆C:5+4=l(α＞人＞0)的左、右焦点分别为匕、F,,且鸟也是抛物线E:y2=4x的焦点，P

ab

为椭圆C与抛物线E在第一象限的交点，且IPEbg.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y=&(x-1)与椭圆C交于R,S两点，问是否在X轴上存在一点T,使得当火变动时，总有

ZOTS=ZOTR?说明理由.

【解答】解：(1)鸟也是抛物线E：y2=4x的焦点，

，玛(1,0)，

.∙.c=l,且抛物线的准线方程为x=-l,

设点P(X0,y0)

∙.ι^ι=∣-

2

E=屐

2√22√6

访=T'

.∙,4÷Λ=H

9α23⅛2

α2-⅛2=c2=1,

解得02=4>⅛2=3,

22

椭圆方程为三+二=1,

43

(2)假设存在T(f,O)满足NOTS=NO77?.设R(X∣,乂)，5(x2,y2)

联立PlMX=D得(3+4公)/_8rχ+4公-12=0,

[3厂+4y~=12

由韦达定理有不+&=$^，X①=圣青①，其中△>◊恒成立，

由NOT5=NO77?(显然75,77?的斜率存在)，故A⅛+⅛re=0即一^-+上一=0②，

x∣—tX2—t

由R,S两点在直线y=攵(X-I)上，故y∣=Z(X]-l),y2=k(x2-1),

代入②整理有2与々一Q+I)(X+七)+2,=。③，

将①代入③即有：@二4=0④，要使得④与出的取值无关，当且仅当“r=4”时成立，

3+4公

综上所述存在7(4,0),使得当Z变化时，总有NOT5=NOTT?.

13.一个圆经过点尸(2,0),且和直线x+2=0相切.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(2)已知点8(-1,0),设不垂直于X轴的直线/与轨迹C交于不同的两点P、Q,若X轴是NPBQ的角平分

线，证明直线/过定点.

【解答】解：(1)设动圆圆心尸(x,y),则由抛物线定义易得：点尸是以尸(2,0)为焦点，以x=-2为准

线的抛物线，

动圆圆心的轨迹方程为：∕≈8x

(2)设两点P(XI,y∣),Q(X2,y2),设不垂直于X轴的直线：I:X=ty+m(t≠0).

则['；R+'"有：V-8(y-8"i=0,所以：yl+y2=8/,yxy2=Sm

y=8%

因为X轴是NPBQ的角平分线,

所以：⅛+⅛=0,B∣J：』-+』一=O>即:2tyy+(m+l)(γ+y)=0

Xj+1X,+1l2l2

则：-16r∕n÷(1+∕n)8r=O,

所以：m=∖,Γ.x=ty+l,

所以直线/过定点(1,0)

14.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,直线/与抛物线交于M,N两点.

(1)若/过点F,且IMNI=3p,求/的斜率;

⑵若P与p),且/的斜率为T,当尸定/时，求/在y轴上的截距的取值范围(用P表示)，并证明NMPN

的平分线始终与y轴平行.

【解答】解：(1)当直线/的斜率不存在时，直线I的方程为X=,代入抛物线方程可得V=「2,即丫=±p,

所以IMNI=20,

但IMVl=3〃，故直线/的斜率存在，设其方程为y=左(工-9(ZW0).

由卜=MX-夕得公人(公p+2p)x+纽=0,

.V=2px,4

设Ma,jl),N(X2，y2)»则x∣+/=ZP；2P，，

K

kp

所以IMNbIMFl+1NFI=XI+^+x2+^=xl+x2+p=-^^-+p=3p,

解得4=±忘，所以直线/的斜率为士√Σ.

(2)设直线/的方程为y=—x+相，M(X1,χ),N(X2,y2).

得X2-(2tn+2p)x÷/Ti2=O»

2

则xl+x2=2∕n+2p,x1x2=m.

由△=(2"z+2p)?-4加>0,得m>-誉.又-g+m≠p,所以加力学，

从而/在y轴上的截距的取值范围为

∙k°M+%

x'"f%2"f^-f)(ɪa-f)

-

(-XI+m-P)(X2^~)÷(-%2+〃LP)(Xl_~)

(X1，)(/2_g

-2X1X2+O--y)(x1÷x2)-P(Jn-P)

(X_9(*2_g

-2m2+(∕n-y)(2∕π+2")一p(tn-P)

(Xl-g(x?一9

所以宜线PM.PN的斜率互补，

从而NMPN的平分线始终与y轴平行.

15.如图，若“是抛物线V=X上的一定点(〃不是顶点)，动弦ME、MF分别交X轴于A、3两点，且

MA=MB.证明：直线Eb的斜率为定值.

【解答】证明：设M(y：,%),直线ME的斜率为Wk>0),

方程为y-%=&(x-y：).

则直线MF的斜率为-k,方程为y-%=-k(x-$.

消去X得62-y+yO(I-AyO)=O,

ʃ-ʃ()=-加一货)

由

2解得%=L誉,所以XE=(W

y=X

KK

点E的坐标为((1一，。)二匕区).…(5分)

k-k

同理可得，点尸的坐标为(0+τ>.,ι⅛).

k^-k

1-⅛)⅛1+ky02

%-力_k--kE1

所以∕⅛

724

XEf(I-Qb)2(i+⅛y0)~6⅛2%

Fkr~k2

所以直线所的斜率为定值.…(10分)

16.已知倾斜角为生的直线经过抛物线「：丁=2°式。>())的焦点尸，与抛物线「相交于A、B两点,且

4

IAB1=8.

(I)求抛物线「的方程；

(II)过点P(12,8)的两条直线∕∣、4分别交抛物线「于点C、。和E、F,线段CO和EF的中点分别为M、

N.如果直线4与4的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点.

【解答】解：(I)由题意可设直线4?的方程为y=x-∙∣,令A(X1,yj,B(x2,y2).

y—jy__2P_2

联∆∆<2ʃ`f-X~—3pxH------=Oτ.*.X,+x2=3〃，

2ɔ4

y=2PX

根据抛物线的定义得，又IABl=Al+w+P=4p,又IABl=8,.∙.4p=8,.∙.p=2∙

则此抛物线的方程为V=

(II)设直线4、4的倾斜角分别为。、β,直线4的斜率为4，则％=ta∏a.

sin(ɪ-ɑ)

由于直线/］、4的倾斜角互余，则tan尸=tan(5-α)=CoSa1

…冗.Sinataner

cos(--a)

则直线4的斜率为工.

于是直线CD的方程为j-8=⅛(x-12)，即y=⅛(x-12)÷8，

y=⅛(x-12)÷814

联立J=©得Wf+32-就=。，.…+%=%

则xc+XD=24÷p--^

同理将上换成!得：N(12+2∕-8k,2k),

则直线MN的方程为y-2%='一[x-(12+2k2-8k)],

-+k-4

k

即(J∙+%-4)y=χ-10,显然当χ=10,y=0.

所以直线MN经过定点(10,0).

17.已知椭圆/+2y2=l,过原点的两条直线1和4分别于椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边

形ACBf)的面积为S.

(1)设A(X1,yl),C(x2,%),用A、C的坐标表示点C到直线4的距离，并证明S=2∣x∣%^^WX∣；

(2)设4与4的斜