知识资料理论力学动力学(四)(新版)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页7[例题]一飞轮由直流电机带动，已知电机产生的转矩M与其角速度的关系为：M=M1(1－ω/ω1)。式中，Ml表示电机的起动转矩，ω1表示电机无负载时空转角速度，且M1与ω1都是已知量。设飞轮对O轴的转动惯量为J0，作用在飞轮上的阻力矩MF为常量，如图4—3—21所示。当M>MF时，飞轮开始起动，求角速度ω随时光t的变化逻辑。[解]本题为已知作用于飞轮上的力矩M与MF，求飞轮的转动逻辑，属动力学第二类问题。可按照刚体绕定轴转动的微分方程，通过积分求得飞轮的角速度ω。1对象以飞轮为研究对象。2受力分析飞轮上作用的外力有力矩M及MF，约束反力X0，Y0和重力W。3运动分析飞轮作定轴转动。取顺时针转向为正。4建立动力学方程，并解之。应用定轴转动微分方程列方程如下：将已知转矩代入式(1)，得即令则上式可简化成将上式分离变量，并举行积分运算，因运动初始条件为t=0时ω=0，则有即解得飞轮的角速度为按照题意M>MF，由式(1)可知飞轮作加速转动；又由式(3)可见；飞轮角速度将逐渐增大；当t—无穷时，式(3)括号内的，这时飞轮将以极限角速度ωm转动，且如不加负载，阻力矩MF=0，则极限角速度为ωm=ω1(六)解题注重事项1．计算动量矩必须是绝对速度或绝对角速度。2．用动量矩定理解题时，只须分析作用于研究对象上的所有外力。3．应用动量矩定理时，普通应取固定点、轴及质心为矩心或矩轴。对于随意的动点或轴，普通不具有上述动量矩定理的容易形式。对于刚体的加速度瞬心，或加速度指向质心的随意动点(如沿地面只滚不滑的圆轮的速度瞬心)，则其动量矩定理的形式与对固定点的动量矩定理一样，但并非所有的速度瞬心都可采用，应用时必须慎重。4．建立对轴的动量矩定理时，除必须注重正负号外，各方程中的速度或角速度大小与方向都必须满意运动学关系。四、动能定理动能定理建立了质点与质点系动能的变化与作使劲的功之间的关系，它是研究质点和质点系动力知识题的重要定理之一。（一）力的功力的功是力在一段路程中对物体作用的累积效应。功的单位是N·m，称为焦耳(J)。功的计算表达式列于表4—3-4、表4—3—5。（二）动能动能是物体因为速度而具有的能量，它是物体机械运动的一种量度。动能恒为正当。单位与功相同。动能的详细表达式如表4—3—6。（三）势能质点或质点系在势力场中从某一位置运动到零位置时，有势力的功称为质点或质点系在该位置的势能。在不同势力场中势能的表达式如表4-3-7。（四）动能定理·机械能守恒定律表4-3-8式中，上角标e与i分离表示外力与内力之功，普通内力的功不等于零；上角标A与N分离表示主动力与约束力之功，倘若约束是理想的，即，所以对于理想约束系统，在运用动能定理解题时，只需要分析主动力。（五）例题[例4-3-9]质量为m的直杆AB可以自由地在固定套管中移动，杆的下端A点搁在质量为M、倾角为α的光洁楔块C上，而楔块C放在光洁的水平面上，如图4-3-27所示。因为AB杆的压力，楔块沿水平面向右运动，因而杆AB下降。试分离求出任一瞬时杆AB和楔块C的加速度aAB和aC。[解]本题只需要求加速度，故可直接应用微分形式的动能定理，即(1)对象：取直杆AB和楔块C组成的系统为研究对象，并将其处于任一瞬时t的位置，如图4-3-27所示。(2)受力分析：系统的约束属于理想约束，所受主动力是杆的重力rng和楔块的重力Mg。 (3)运动分析：该两物体均作平动。设某瞬时直杆AB的速度为vAB，楔块的速度为vc，为了建立此两速度间关系，对杆AB端点A应用点的速度合成定理，取A点为动点，楔块为动系，则有显然，va=vAB，ve=vc，因此，由图4—3-27所示的速度平行四边形可得(4)动能与功的计算。写出任一瞬时的动能，且可表示成vAB的函数，即系统在运动中惟独杆AB的重力作功，设在dt内杆AB下降ds距离，则AB杆重力所作的元功为(5)建立动力学方程将式(1)、式(2)代入形式动能定理，得注重到于是上式可写为由此可解得AB的加速度将式对时光t求导得楔块的加速度[例4-3-10]系统如图4—3—28所示。已知：物块M和滑轮A、B的分量均为P，且两滑轮视为均质圆盘，弹簧的刚性系数为k，绳重不计，绳与轮间无相对滑动。当M离开地面h时，系统处于平衡。现给M以向下的初速度vo，欲使其恰能到达地面。试问vo应为多少?[解]以囫囵系统为研究对象，物块M作直线平动，滑轮A作定轴转动，滑轮扫作平面运动，因是求物块M的初速度vo，宜用积分形式的动能定理求解。由题给条件知T2=0，式中vo为物体M的初速度，ωA是滑轮A的初角速度，ωB是滑轮B的初角速度，由运动学知识得式(2)代人式(1)有在运动过程中惟独重力与弹性力做功。设为系统处于平衡位置时弹簧