知识资料导数的应用

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页导数的应用5.1基本概念、内容、定理、公式1.导数的几何意义与应用意义1)几何意义：是曲线在处的切线的斜率.2)应用意义：设函数在处自变量的变化量（也称增量）为，对应的因变量的变化量.称即与在上的平均变化率，而称即平均变化率的极限为关于在点的瞬时变化率，显然关于在点的瞬时变化率=.3)曲线在处的切线与法线方程.（1）切线方程：.（2）法线方程：.注：当时，切线方程为，法线方程为；而当时，法线方程为.4)两曲线的交角：两曲线的交角就是两曲线在交点处的两条切线的夹角.倘若两曲线为，在对应的点处相交，则在点处的交角满意方程.5）曲线在切点处的向径与切线的夹角.设为曲线的极坐标，则切点的向径与切线的夹角（从向径出发按逆时针方向转到切线所成的角）满意。注：设，则，为参数，则，设曲线在点处与轴的夹角为，则由导数的几何意义知：，即。2.函数的单调性与极值1）函数单调性的判别法：设函数在上延续，在内可导，（1）倘若在内，那么函数在上单调增强；（2）倘若在内，那么函数在上单调减少；2）函数极值的定义：设函数在点的邻域内有定义，若存在的一个去心邻域，对，都有（或），则称是函数的一个极大值（或极小值）.这时称点为的极大值点（或极小值点）.3）函数极值的须要条件：若函数在点处可导，且在处取得极值，那么，此函数在点处的导数为零，即.4）函数取得极值的第一充足条件：设在内延续，在内可导，若当时，；而当时，，则函数在点处取得极大值；若当时，；而当时，，则函数在点处取得极小值；若当时，恒有（或），则函数在点处没有极值.5）函数取得极值的第二充足条件：设在点处有二阶导数，且，，则（1）当时，函数在点处取得极大值；（2）当时，函数在点处取得极小值；注：若存在，使得，且时，，则为偶数时，是极值，且时是极小值，时是极大值；而为奇数时，不是极值.6）函数的最大值与最小值：（1）设函数在上延续，按照闭区间上延续函数的性质，在上必达到最大值与最小值，最大值与最小值统称最值.为求在上的最值，只需在它的两个边界值与以及它在该区间的可能极值点上的一切值中，挑选一个最大者与一个最小者，可得函数在上的最大值与最小值.（2）倘若函数在一个区间上惟独唯一的一个极值点，则它就是函数在该区间的最值点；开区间内的最大值点也是极大值点.（3）对于实际问题：倘若所研究的区间中惟独唯一的一个驻点，且实际问题确有最值，则唯一的驻点就是函数的最值点.3.曲线的高低性与拐点1）曲线高低性的定义：设在区间上延续，倘若对上随意两点，恒有，则称在区间上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；倘若恒有，则称在区间上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.2）曲线高低的充足条件：设函数在上延续，在内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在内恒有，则在上的图形是凹的；（2）若在内恒有，则在上的图形是凸的；3）拐点的定义：延续函数上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.注：郑重地说，拐点是平面光洁曲线（即切线延续变动的曲线）弯曲方向发生改变的转折点，拐点的几何特征是，该点的切线不是在曲线的一侧“托”着曲线，而是切线在切点处把曲线一分为二，分离在切线的两侧.4）拐点的须要条件：若是曲线的一个拐点，且存在，则.5）拐点的第一充足条件：若曲线在处有切线，且在某邻域的两侧异号，则是曲线的拐点.6）拐点的第二充足条件：若，，则是曲线的拐点.4.平面曲线的曲率1）平面曲线在一点处曲率的定义：在光洁曲线上，设的弧长为，给一个改变量，相应切线有一转角，当时，称为曲线在点处的曲率.2）曲率的计算公式：若曲线方程为，且具有二阶导数，则曲线的曲率.3）曲率半径及其计算：曲线在一点的曲率的倒数称为曲线在该点处的曲率半径，记为，.5.渐近线1）若，则直线是曲线的水平渐近线.2）若，则直线是曲线的垂直渐近线.3）若，且，则直线是曲线的斜渐近线.5.2例题选讲1.几何应用例5-1设曲线方程为，求曲线在对应的点处的切线方程；求曲线上通过原点的切线方程；求曲线上和直线垂直的法线方程.例5-2证实曲线上任一点与该点的切线和轴的交点的距离恒为常数.例5-3求曲线为常数）在处的切线及法线方程.例5-4求与曲线相切且与直线垂直的直线方程.注：求切线方程，关键是找切线的斜率及切点，求切线斜率时需要按照曲线方程的详细形式采用相应的计算主意，普通地，曲线方程可有四种类型：直角坐标方程、参数方程、极坐标方程，隐函数式方程，相应的斜率计算就是用各种不同的的主意求导数.2.极值的求法例5-5求数列的最大项.分析：对离散变量不能直接求导数，因此需利用数列的通项公式构造一自变量延续取值的函数，利用函数的最值来求数列的最值.注：此题还可变形为：比较两个数的大小.将这两个数的指数同时乘，再比较两个数的大小.由上例中的研究可知，从而.例5-6设可导函数由方程所决定，试研究并求出的极大值和极小值.例5-7已知，求的极值.注：求函数极值的步骤为（1）找出可疑极值点，可疑极值点包括驻点和一阶导数不存在的点.（2）判断.对可疑极值点，利用极值的第一、第二充足条件判定.例5-8设函数在区间内取得极小值，且极小值为0，求函数在该区间内的极大值.分析：函数是随意阶可导的初等函数，因此，在一阶导数为零且二阶导数大于零处取得极小值，在一阶导数为零且二阶导数小于零处取得极大值.可通过对驻点处的二阶导数符号的研究求得在该区间内的极大值点，从而求得极大值.例设函数可导，且满意，试求函数的极值。例设，求函数的极值、单调区间和高低区间。例求出使得下列不等式对所有天然数都成立的最大的数及最小的数：提醒：，令，可考虑函数，。例设，求的最值和值域。3.函数的高低区间及拐点例5-9求曲线的高低区间及拐点.例5-10求曲线的拐点.注：求曲线高低区间及拐点的步骤为：找出可疑拐点的横坐标.可疑拐点包括二阶导数为零的点及二阶导数不存在的点；判断.利用二阶导数的符号来判定曲线的高低区间及拐点.4.极值与最值的应用例5-11设和在内二阶可导，且满意，倘若，证实：.分析：要证，只需证实的最大值与最小值都为零即可.例5-12对于一切实数满意微分方程.（1）倘若在点有极值，证实它是极小值；（2）倘若在有极值，问它是极小值还是极大值？（3）倘若，求最小常数使对于所有，有.证实：（2），容易证实所以由极值的第二充足条件可知：是极小值.（3）令，因，定义；又，，定义.设，则，所以当时，，由此得，在上单减.故当时，，于是由所给方程得，当时有.设，.仅当时，，而，即知，而，又知，即.所以取常数，当有，且为最小常数.例5-13一个高度为10m的正圆锥通过增强底面半径以改变其形状，在底面半径达到5m的时候，试问它要有多快的增长率才干使圆锥体积以的速度增长？注：求相关变化率的步骤：分析题意，建立相关变量之间的等量关系；（2）关系式两边同时对求导；（3）代入指定时刻的已知变量及变化率，求出未知变化率.例5-14由曲线围成曲边三角形，在曲边上求一点，过此点作的切线，使该切线与直线段所围成的三角形面积最大.注：对实际应用问题求最值，首先要建立函数关系，普通把要求最值的量作为目标函数，由实际问题决定函数的定义区间；第二求函数的最值，若该函数在其定义区间内部惟独一个驻点，而由实际问题性质又能决定最值在该区间内部取得时，不必研究该驻点是否为极值点，就可断言该驻点处的函数值就是所求的最值.5.曲率例5-15求椭圆曲率的最大值与最小值.分析：首先求出曲率的表达式，再利用闭区间上延续函数求最值的主意求曲率的最大值与最小值.注：平面曲线曲率计算公式.不仅适用于由直角坐标方程给出曲线的曲率计算，也适用于由参数方程表示的曲线及极坐标所表示的曲线的曲率计算.相当于求上述三种情形的二阶导数.6.函数作图例5-16作函数的图形.分析：函数的解析表达式不直观，首先将其恒等变换，再利用函数作图的步骤来画图.注：函数作图的步骤：（1）决定的定义域，并求出函数的一阶导数及二阶导数.（2）求出方程和=0在函数定义域内的所有实根及使和不存在的点，用以上两种点将函数的定义域划分成几个部分区间；（3）决定这些部分区间内和的符号，并由此决定函数图形的升降、高低和拐点，以及函数的极值点；（4）决定函数图形的水平、铅直渐近线及斜渐近线；（5）列表并作出函数图形.例5-17求下列曲线的渐近线：（1）；（2）；解：（1）因为定义域为，即.又，所以是垂直渐近线.同理是垂直渐近线.又，故无水平渐近线.又，且，故是斜渐近线.（2）这是一个求隐函数图形的渐近线的问题，即求出和.将原方程两边同除以，得.假设，则对上述方程求极限，得，即.下面证实：.将原方程变形为，从而.注重到有下列不等式由夹逼法则，即有，故.又.故是原曲线的斜渐近线.练习：求曲线的渐近线。5.3练习题5-1曲线上哪一点处的切线与直线平行？写出切线方程.5-2当时，求摆线的切线方程及法线方程.5-3当时，求对数螺线为常数）的切线方程与法线方程.5-4求曲线在处的切线方程.5-5已知是周期为5的延续函数.它在的邻域内满意关系式，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程.5-6证实数列为递减数列.5-7研究下列函数在指定范围内的增减性，并给出增减区间.（1）；（2），；（3）；5-8求下列函数的极值：（1）；（2）；5-9问为何值时，函数在处取得极值，它是极大值还是极小值？并求此极值.5-10求函数的极值.5-11设函数由方程所决定，试求的极值.5-12求下列函数在指定区间上的最大值和最小值：（1）；（2）；（3）；5-13研究函数的极值.5-14设函数，试求函数在上的最大值.5-15求出使得下列不等式对所有天然数都成立的最大的数及最小的数：.5-16试求内接于半径为R的球内的圆锥体的最大体积.5-17已知平面曲线L的方程为，求把L围在内部且各边平行于坐标轴的矩形中的面积最小者，并求其面积.5-18若以表示在上的最大值与最小值之差，试求的最小值.5-19求曲线的高低区间及拐点.5-20若曲线有拐点，试求的取值范围.5-21设一球体，其半径以的速度增强，当其半径为时，问体积的增强速度为多少？5-22曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径.5-23设是抛物线上任一点处的曲率半径，是该曲线介于点与之间的弧长，计算的值.5-24设曲线由方程组决定，试求该曲线在处的曲率.5-25作函数的图形.5-26求由轴上的定点到抛物线上的点的最短距离.5-27设计一个地面控制的自动降临系统，需把临近跑道的降临路线设计为一条三次抛物线（如图5-2）.设开始下降的高度为，原点为着地点，垂直方向的加速度绝对值不超过，水平方向翱翔速度为常数.试求允许下降点的最小值.图5-25-28求下列函数的渐近线：（1）；（2）；（3）.5.4答案与提醒5-1曲线上和处的切线平行于直线，相应的切线方程为及.5-2切线方程：；法线方程：.5-3切线方程：；法线方程：.5-4.5-5由，得，又，即，从而，所以，故过点的切线方程为.5-6设，证实当时，即可.5-7（1）在上单减；（2）在上单增；在上单调减少；（3）在上单减；在上单增；5-8（1）是极大值，是极小值.（2）当为奇数时，不是极值，当为偶数时，是极小值；当n是奇数时，不是极值，当n是偶数时，是极小值；无论m,n为奇为偶都是极大值.5-9时，是极大值，且极大值.5-10极大值，极小值，极大值.5-11为极小值点，极小值为.5-12（1）是最大值，无最小值；（2）是最大值，是最小值.（3）为最小值，为最大值.5-13当为奇数时，在点有极大值；当为偶数时，无极值.5-14可证在上单减，即为最大值.5-15注重到，故设，则是单调减的函数.故，.5-16最大值为.5-17过点分离作平行于轴的直线与过点分离作平行于轴的直线所围成的矩形即为所求，这矩形的面积为.5-18.（1）当时，，单增，所以，这时，单减.（2）当时，，单减，所以，这时，单增.（3）当时，令，即，解得.因，所以在处取得极小值，亦即最小值.在上，，单减；在上，，单增，比较其中较大者即为最大值.（a）设，即，解得.即当时，在上的最大值为，已求得最小值为，所以，这时，在上单减.（b）设，即，解得.这时在上的最大值为，已求得最小值为，所以，这时，在上单增.（4）可分离求得，当时，或；当时，或；当时，或.综合起来得最小值为.5-19为凸区间，为凹区间，是拐点.5-20当或时，所给曲线有拐点.要使曲线有拐点，首先要使，即.这相当于曲线与有交点.（1）若，（从而），直线必与曲线相交，且易知交点横坐标所对应的曲线上的点是拐点；（2）若，（从而），直线与曲线相交的极限位置就是该直线与曲线相切时的位置.为此，求该切线所对应的值.设切点坐标为，