2023高中数学高考复习教案

2023高中数学高考复习教案

2023高中数学高考复习教案10篇

作为一位杰出的老师，开头教学前需要预备好教案，教案是教学蓝图，可以有效提高教学

效率。下面是我为大家细心收集整理的2023高中数学高考复习教案,盼望对大家有所关心。

2023高中数学高考复习教案篇1

教学目标

学问目标等差数列定义等差数列通项公式

力量目标把握等差数列定义等差数列通项公式

情感目标培育同学的观看、推理、归纳力量

教学重难点

教学重点等差数列的概念的理解与把握

等差数列通项公式推导及应用教学难点等差数列"等差"的理解、把握和应用

教学过程

由_《红高粱》主题曲"酒神曲”引入等差数列定义

问题：多媒体演示，观看-------发觉？

一、等差数列定义：

一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个

数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

例1：观看下面数列是否是等差数列：…。

二、等差数列通项公式：

已知等差数列｛an｝的首项是al,公差是d。

则由定义可得：

∂2—al=d

a3—a2=d

a4—a3=d

an—an—l=d

即可得：

an=al+(n—1)d

例2已知等差数列的首项al是3,公差d是2,求它的通项公式。

分析：知道al,d,求an。代入通项公式

解：0a1=3,d=2

0an=al+(n—1)d

=3+(n-l)×2

=2n+l

例3求等差数列10,8,6,4…的第20项。

分析：依据al==10,d=-2,先求出通项公式an,再求出a20

解：团al=10,d=8-10=-2,n=20

由an=al+(n—1)d得

0a2O=al+(n-l)d

=10+(20-1)X(-2)

=—28

例4：在等差数列｛an｝中，已知a6=12,al8=36,求通项an。

分析：此题已知a6=12,n=6；al8=36,n=18分别代入通项公式an=al+(n-l)d中，可

得两个方程，都含al与d两个未知数组成方程组，可解出al与d。

解：由题意可得

al+5d=12

al+17d=36

0d=2al=2

0an=2+(n—1)×2=2n

练习

1、推断下列数列是否为等差数列：

02325262823O

’

，27,93,

0OCL0

®(0,

®46,04,

5,O48444O35

>,，15,

®-2一

158229;

-‘_-

答案一：①不是②是①不是②是

2、等差数列｛an｝的前三项依次为a-6,-3a-5,-IOa-I,则a等于

A、IB、-1C>-1/3D、5/11

提示：(一3a—5)—(a—6)=(—lθə—1)一(—3a—5)

3、在数列｛an｝中al=l,an=an+l+4,则a10=»

提示：d=an+l-an=—4

老师连续提出问题

己知数列｛an｝前n项和为……

作业

P116习题3。21,2

2023高中数学高考复习教案篇2

一.课标要求：

(1)空间向量及其运算

①经受向量及其运算由平面对空间推广的过程；

②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，把握空间向量的正交分解

及其坐标表示；

③把握空间向量的线性运算及其坐标表示；

(4)把握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积推断向量的共线与垂直。

(2)空间向量的应用

①理解直线的方向向量与平面的法向量；

(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；

④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在讨论几何问

题中的作用。

二.命题走向

本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容,

高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间

向量求夹角和距离。

猜测20年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材

上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何

解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

三.要点精讲

1.空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相

等，用同向且等长的有向线段表示;②平面对量仅限于讨论同一平面内的平移，而空间向量

讨论的是空间的平移。

2.向量运算和运算率

加法交换率：

加法结合率：

数乘安排率：

说明：①引导同学利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向

量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3.平行向量（共线向量）：

假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平

行向量。平行于记作0«

留意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同始终线，也可能是平行直

线;当我们说、平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量（）、，EI的充要条件是存在实数使=

注：回上述定理包含两个方面：①性质定理：若回（0）,则有=,其中是唯一确定的实

数。②推断定理：若存在唯一实数，使=（O）,则有回（若用此结论推断、所在直线平行，

还需（或）上有一点不在（或）上）。

回对于确定的和，=表示空间与平行或共线，长度为II，当0时与同向，当0时与

反向的全部向量。

13若直线1回，，P为I上任一点，。为空间任一点，下面依据上述定理来推导的表达式。

推论：假如1为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点。，点P在

直线I上的充要条件是存在实数t,满意等式

①其中向量叫做直线I的方向向量。

在I上取，则①式可化为（2）

当时，点P是线段AB的中点，则③

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

留意：团表示式（*）、（**）既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形

式;O推论的用途：解决三点共线问题。13结合三角形法则记忆方程。

4.向量与平面平行：

假如表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，

记作0«留意：向量0与直线a回的联系与区分。

共面对量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面对量。

共面对量定理假如两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数

对x、y，使①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对X、y,使

④或对空间任肯定点。，有⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对(x,y)是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。

又回代入⑤，整理得

⑥由于对于空间任意一点P,只要满意等式④、⑤、⑥之一(它们只是形式不同的同一

等式)，点P就在平面MAB内;对于平面MAB内的任意一点P,都满意等式④、⑤、⑥，

所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、(或不共线三点M、A、B)确定的空间平

面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

5.空间向量基本定理：假如三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯

一的有序实数组x,y,z,使

说明：回由上述定理知，假如三个向量、、不共面，那么全部空间向量所组成的集合就

是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把｛,,｝叫做空间的一个基底，，，

都叫做基向量;回空间任意三个不共面对量都可以作为空间向量的一个基底;团一个基底是指一

个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念烟由于可视

为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都

不是。

推论：设。、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组，

使

6.数量积

(1)夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点。，作，，则角Ae)B叫做向量与的

夹角，记作

说明：⑦规定0,因而=;

回假如=,则称与相互垂直，记作

团在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，留意图(3)、(4)中的两个向量的夹

角不同，

图⑶中AoB=,

图⑷中AOB=,

从而有==.

⑵向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

(3)向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。

即=>

向量：

⑷性质与运算率

0«0

0=oa=

00

四.典例解析

题型L空间向量的概念及性质

例1.有以下命题：①假如向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系

是不共线;②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点肯定共面;③已知向量

是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是()

①②①③②③①②③

解析：对于①假如向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系肯定共

线所以①错误。②③正确。

例2.下列命题正确的是()

若与共线，与共线，则与共线；

向量共面就是它们所在的直线共面；

零向量没有确定的方向；

若，则存在唯一的实数使得；

解析：A中向量为零向量时要留意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，

D中需保证不为零向量。

题型2：空间向量的基本运算

例3.如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量

是()

例4.已知：且不共面.若回,求的值.

题型3：空间向量的坐标

例5.⑴已知两个非零向量=(al,a2,a3),=(bl,b2,b3),它们平行的充要条件是

A.：II=：I∣B.albl=a2b2=a3b3

C.albl+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k,使=k

(2)已知向量=(2,4,X),=(2,y,2),若I1=6,则×+y的值是()

A.-3或1B.3或-1C.-3D.1

⑶下列各组向量共面的是()

A.=(1,2,3),=(3,0,2),=(4,2)5)

B.=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,D

C.=(l,1,0),=(1,0,1),=(0,1,D

D.=(1,1,1),=(1,1,0),=(1,0,D

解析：(I)D;点拨：由共线向量定线易知；

(2)A点拨:由题知或;

例6.已知空间三点A(-2,0,2),B(-l,1,2),C(-3,0,4)。设=,=,⑴求和的夹

角。)若向量k+与k-2相互垂直，求k的值.

思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的

结果.

解:0A(-2,0,2),B(-l,1,2),C(-3,0,4),=,=,

=(1,1,0),=(-1,0,2).

(l)cos==-,

和的夹角为-。

(2)≡lk+=k(l,1,0)+(-1,0,2)=(k-l,k,2),

k-2=(k+2,k,-4),且(k+)(k-2),

(k-l,k,2)(k+2,k,-4)=(k-l)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0,

则k=-或k=2,>

点拨:第(2)问在解答时也可以按运算律做。(+)(k-2)=k22-k-22=2k2+k-10=0,解得k=-,

或k=2(>

题型4：数量积

例7.设、、C是任意的非零平面对量,且相互不共线,则

①()-()=②II-I11-I®0-()不与垂直

(4)(3+2)(3-2)=9112-41|2中,是真命题的有()

A.①②B.②③C.③④D.②④

答案：D

解析：①平面对量的数量积不满意结合律.故①假；

②由向量的减法运算可知II、I|、I-I恰为一个三角形的三条边长，由两边之差小于第

三边，故②真；

③由于［(H)J=(H)=O,所以垂直.故③假；

例8.⑴已知向量和的夹角为120,且I∣=2,I|=5,则(2-)=.

(2)设空间两个不同的单位向量=(XI,yl,0),=(x2,y2,0)与向量=(1,1,1)的夹角都

等于。⑴求xl+y：!和XIyI的值;(2)求，的大小(其中0,。

解析：⑴答案：13;解析:0(2-)=22-=2∣∣2-∣∣∣ICOSI20=24-25(-)=13。

(2)解：(1)0∣∣=∣∣=1,x+y=l,×=y=l.

又回与的夹角为，=|IlIcos==.

又I3=xl+y：l,×l+yl=。

另外X+y=(xl+yl)2-2xlyl=l,2×lyl=()2-1=.×lyl=。

(2)cos,==×l×2+yly2,由(1)知,xl+yl=,×lyl=.×1,yl是方程x2-x+=0的解.

或同理可得或

0,或

COS,+=+=.

00,,,=O

评述：本题考查向量数量积的运算法则。

题型5：空间向量的应用

例9.⑴已知a、b、C为正数，且a+b+c=l,求证：++4。

(2)已知Fl=i+2j+3k,F2=-2i+3j-k,F3=3i-4j+5k,若Fl,F2,F3共同作用于同一物体上,使

物体从点Ml(I,-2,1)移到点M2(3,1,2),求物体合力做的功。

解析：⑴设=(，，)，=(1，1,1),

贝IJII=4,II=.

田1IlI，

=++1111=4.

当==时，即a=b=c=时，取=号。

例10.如图,直三棱柱中，求证：

证明：

五.思维总结

本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示,空间向量的坐标运算,平行向量，

垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点。和一个单位

正交基底｛i,j,k｝建立坐标系，对于。点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，

直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中己有的直线的关系和性质;空间向量的坐标运

算同平面对量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没

有转变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积ab=∣a∣∣b∣cos在二维、三维

都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面

两向量平行时表达式不一样，但实质是全都的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点

公式要熟记。

对本讲内容的考查主要分以下三类：

1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质

此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、推断多边形外形等问题。

2.向量在空间中的应用

在空间坐标系下,通过向量的坐标的表示,运用计算的方法讨论三维空间几何图形的性质。

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题,

即源于课本。因此，把握双基、精通课本是本章关键。

2023高中数学高考复习教案篇3

1.如图，已知直线L：的右焦点F,且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线上的射影

依次为点D、E。

(1)若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；

⑵(理)连接AE、BD,摸索索当m变化时，直线AE、BD是否相交于肯定点N?若交于定点

N,恳求出N点的坐标，并赐予证明;否则说明理由。

(文)若为X轴上一点,求证：

2.如图所示，已知圆定点A(l,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且

满意，点N的轨迹为曲线E。

⑴求曲线E的方程；

⑵若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满意的

取值范围。

3.设椭圆C：的左焦点为F,上顶点为A,过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一

点P,交X轴正半轴于点Q,且

回求椭圆C的离心率；

回若过A、Q、F三点的圆恰好与直线

I：相切，求椭圆C的方程.

4.设椭圆的离心率为e=

(1)椭圆的左、右焦点分别为Fl、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和

为4,求椭圆的方程.

(2)求b为何值时，过圆×2+y2=t2上一点M(2,)处的切线交椭圆于QI、Q2两点，而且

OQlOQ2.

5.已知曲线上任意一点P到两个定点Fl(-,0)和F2(,0)的距离之和为4.

⑴求曲线的方程；

(2)设过(0,-2)的直线与曲线交于C、D两点，且为坐标原点)，求直线的方程.

6.己知椭圆的左焦点为F,左、右顶点分别为A、C,上顶点为B.过F、B、C作即，其中

圆心P的坐标为(m,n).

(El)当m+nθ时，求椭圆离心率的范围；

(回)直线AB与EIP能否相切?证明你的结论.

7.有如下结论：圆上一点处的切线方程为，类比也有结论：椭圆处的切线方程为，

过椭圆C：的右准线I上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.

(1)求证：直线AB恒过肯定点乂2)当点M在的纵坐标为1时，求13ABM的面积

8.已知点P(4,4),圆C：与椭圆E：有一个公共点A(3,1),Fl、F2分别是椭圆的左、

右焦点，直线PFl与圆C相切.

(勖求m的值与椭圆E的方程；

(勖设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围.

9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。

(1)求椭圆的方程；

⑵是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同的两点满意，若存在，求直

线的倾斜角；若不存在，说明理由。

10.椭圆方程为的一个顶点为，离心率。

(1)求椭圆的方程；

(2)直线：与椭圆相交于不同的两点满意，求。

11.已知楠圆的左焦点为F,左右顶点分别为A,C上顶点为B,过F,B,C三点作，其中圆

心P的坐标为.

(1)若椭圆的离心率，求的方程；

⑵若的圆心在直线上，求椭圆的方程.

12.已知直线与曲线交于不同的两点，为坐标原点.

(勖若，求证：曲线是一个圆；

(助若，当且时，求曲线的离心率的取值范围.

13.设椭圆的左、右焦点分别为、，A是椭圆C上的一点，且，坐标原点。到直线的

距离为.

⑴求椭圆C的方程；

(2)设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线I交X轴于点,较y轴于点M,若，求直线I

的方程.

14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点的切线方程为为常

数).

⑴求抛物线方程；

(II)斜率为的直线PA与抛物线的另一交点为A,斜率为的直线PB与抛物线的另一交点为

B(A、B两点不同)，且满意，求证线段PM的中点在y轴上；

(川)在(II)的条件下，当时，若P的坐标为(L-1),求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值

范围.

15.已知动点A、B分别在X轴、y轴上，且满意IABI=2,点P在线段AB上，且

设点P的轨迹方程为c。

⑴求点P的轨迹方程C;

(2)若t=2,点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上)，点Q

坐标为求回QMN的面积S的最大值。

16.设上的两点，

已知，，若且椭圆的离心率短轴长为2,为坐标原点.

(助求椭圆的方程；

(助若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；

(El)试问：回AoB的面积是否为定值?假如是，请赐予证明;假如不是，请说明理由

17.如图，F是椭圆(aθ)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为.点C在X

轴上，BCBF,B,C,F三点确定的圆M恰好与直线II：相切.

(助求椭圆的方程：

(助过点A的直线12与圆M交于PQ两点，且，求直线12的方程.

18.如图，椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且.

⑴求椭圆的标准方程；

⑵记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心?

若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.

19.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点.直线交椭圆于

两不同的点.

20.设，点在轴上，点在轴上，且

(1)当点在轴上运动时，求点的轨迹的方程；

(2)设是曲线上的点，且成等差数列，当的垂直平分线与轴交于点时，求点坐标.

21.己知点是平面上一动点，且满意

⑴求点的轨迹对应的方程；

(2)已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，推断：直线是否过定点?试证

明你的结论.

22.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点.

⑴求椭圆的方程：

(2)若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心

的坐标；

(3)若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上.

23.过直角坐标平面中的抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B两

点。

⑴用表示A,B之间的距离；

(2)证明：的大小是与无关的定值，

并求出这个值。

24.设分别是椭圆C：的左右焦点

⑴设椭圆C上的点到两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标

⑵设K是⑴中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程

(3)设点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点，当直线PM,

PN的斜率都存在，并记为摸索究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

25.已知椭圆的离心率为，直线：与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

⑴求椭圆的方程；

(II)设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，

线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；

(川)设与轴交于点，不同的两点在上，且满意求的取值范围.

26.如图所示，已知椭圆：，、为

其左、右焦点，为右顶点，为左准线，过的直线：与椭圆相交于、

两点，且有：(为椭圆的半焦距)

(1)求椭圆的离心率的最小值；

(2)若，求实数的取值范围；

⑶若，，

求证：、两点的纵坐标之积为定值；

27.已知椭圆的左焦点为，左右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆，其中圆心的

坐标为

(1)当时，椭圆的离心率的取值范围

(2)直线能否和圆相切?证明你的结论

28.已知点A(-l,O),B(l,-1)和抛物线.，。为坐标原点，过点A的动直线I交抛物线C

于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.

⑴证明：为定值；

(H)若团Pe)M的面积为，求向量与的夹角；

(团)证明直线PQ恒过一个定点.

29.已知椭圆C：上动点到定点，其中的距离的最小值为L

(1)请确定M点的坐标

(2)试问是否存在经过M点的直线，使与椭圆C的两个交点A、B满意条件(。为原点),若

存在,求出的方程,若不存在请说是理由。

30.已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.

（助若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

（助在轴上是否存在点，使的值与无关?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由.

31.直线AB过抛物线的焦点F,并与其相交于A、B两点。Q是线段AB的中点，M是抛

物线的准线与y轴的交点Q是坐标原点.

⑴求的取值范围；

（勖过A、B两点分别作此撒物线的切线，两切线相交于N点.求证：回；

（0）若P是不为1的正整数，当，E）ABN的面积的取值范围为时，求该抛物线的方程.

32.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛

物线在轴上方的一个交点为.

（助当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；

（助在（团）的条件下，直线经过椭圆的右焦点，与抛物线交于、，假如以线段为直径

作圆，试推断点与圆的位置关系，并说明理由；

（助是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在,

请说明理由.

33.已知点和动点满意：，且存在正常数，使得。

⑴求动点P的轨迹C的方程。

（2）设直线与曲线C相交于两点E,F,且与y轴的交点为D。若求的值。

34.已知椭圆的右准线与轴相交于点，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的

一个动点.

⑴求椭圆的方程；

（勖是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得，并说明理由.

35.已知椭圆C：（.

（1）若椭圆的长轴长为4,离心率为，求椭圆的标准方程；

（2）在⑴的条件下，设过定点的直线与椭圆C交于不同的两点，且为锐角（其中为坐

标原点），求直线的斜率k的取值范围；

⑶如图，过原点任意作两条相互垂直的直线与椭圆（）相交于四点，设原点到四边形一

边的距离为，试求时满意的条件.

36.已知若过定点、以（）为法向量的直线与过点以为法向量的直线相交于动点.

⑴求直线和的方程；

（2）求直线和的斜率之积的值，并证明必存在两个定点使得恒为定值；

⑶在⑵的条件下，若是上的两个动点，且，试问当取最小值时，向量与是否平行，

并说明理由。

37.已知点，点（其中）,直线、都是圆的切线.

（助若面积等于6,求过点的抛物线的方程；

（助若点在轴右边，求面积的最小值.

38.我们知道，推断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与

椭圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行讨论并完成下面问题。

⑴设Fl、F2是椭圆的两个焦点，点Fl、F2到直线的距离分别为dl、d2,试求dld2的

值，并推断直线L与椭圆M的位置关系。

（2）设Fl、F2是椭圆的两个焦点，点Fl、F2到直线

（m、n不同时为0）的距离分别为dl、d2,且直线L与椭圆M相切，试求dld2的值。

（3）试写出一个能推断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。

⑷将⑶中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己讨论的有关结论（不必证明）。

39.已知点为抛物线的焦点，点是准线上的动点，直线交抛物线于两点，若点的

纵坐标为，点为准线与轴的交点.

（助求直线的方程相）求的面积范围；

（勖设，，求证为定值.

40.已知椭圆的离心率为，直线：与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.

（I）求椭圆的方程；

（II）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，

线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；

（川）设与轴交于点，不同的两点在上，且满意求的取值范围.

41.已知以向量为方向向量的直线过点，抛物线：的顶点关于直线的对称点在该抛

物线的准线上.

⑴求抛物线的方程；

（2）设、是抛物线上的两个动点，过作平行于轴的直线，直线与直线交于点，若

（为坐标原点，、异于点），试求点的轨迹方程。

42.如图，设抛物线（）的准线与轴交于，焦点为；以、为焦点，离心率的椭圆与抛

物线在轴上方的一个交点为.

（助当时，求椭圆的方程及其右准线的方程；

（助在（即的条件下，直线经过椭圆的右焦点，

与抛物线交于、，假如以线段为直径作圆，

试推断点与圆的位置关系，并说明理由；

（Bl）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，

请说明理由.

43.设椭圆的'一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且

过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.

（助求椭圆C的方程；

（勖是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程;若不存在，说明理由.

（勖若AB是椭圆C经过原点。的弦，MNAB,求证：为定值.

44.设是抛物线的焦点，过点M∏L,0）且以为方向向量的直线顺次交抛物线于两点。

（勖当时，若与的夹角为，求抛物线的方程；

（助若点满意，证明为定值，并求此时团的面积

45.已知点，点在轴上，点在轴的正半轴上，点在直线上，且满意.

（回）当点在轴上移动时，求点的轨迹的方程；

（斯设、为轨迹上两点，且0,,求实数,

使，且.

46.已知桶圆的右焦点为F,上顶点为A,P为C上任一点，MN是圆的一条直径，若与

AF平行且在y轴上的截距为的直线恰好与圆相切。

（1）已知椭圆的离心率；

⑵若的最大值为49,求椭圆C的方程.

2023高中数学高考复习教案篇4

考试要求重难点击命题展望

1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件.

2.了解复数的代数表示法及其几何意义.

3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.

4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想,体会理性思维在数系扩充中的作用.

本章重点：1.复数的有关概念2复数代数形式的四则运算.

本章难点：运用复数的有关概念解题.近几年高考对复数的考查无论是试题的难度，还是

试题在试卷中所占比例都是呈下降趋势，常以选择题、填空题形式消失，多为简单题.在复

习过程中，应将复数的概念及运算放在首位.

学问网络

15.1复数的概念及其运算

典例精析

题型一复数的概念

【例1】⑴假如复数(m2+i)(l+mi)是实数，则实数m=;

⑵在复平面内，复数1+ii对应的点位于第象限；

(3)复数z=3i+l的共规复数为Z=.

【解析】⑴(m2+D(l+mi)=m2-m+(l+m3)i是实数l+m3=0m=-l.

⑵由于l+ii=i(l+i)i2=l-i,所以在复平面内对应的点为(1,-1),位于第四象限.

(3)由于z=l+3i,所以z=l-3i.

【点拨】运算此类题目需留意复数的代数形式z=a+bi(a,bR),并留意复数分为实数、虚

数、纯虚数，复数的几何意义，共辗复数等概念.

【变式训练1】(1)假如Z=LaiI+ai为纯虚数，则实数a等于

A.0B.-lC.lD,-1或1

⑵在复平面内，复数Z=Lii(i是虚数单位)对应的点位于O

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

【解析】⑴设z=xi,×O,则

×i=l-ail+ail+ax-(a+×)i=O或故选D.

(2)z=l-ii=(l-i)(-i)=-l-i,该复数对应的点位于第三象限.故选C.

题型二复数的相等

【例2】⑴已知复数Zo=3+2i,复数Z满意ZZO=3z+zO,则复数z=;

⑵已知ml+i=l-ni,其中m,n是实数，i是虚数单位，则m+ni=;

(3)已知关于X的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,则这个实根为,实数k的值为.

【解析】⑴设z=x+yi(x,yR),又zθ=3+2i,

代入zzθ=3z+zθ得(x+yi)(3+2i)=3(x+yi)+3+2i,

整理得(2y+3)+(2-2x)i=0,

则由复数相等的条件得

解得所以Z=L.

(2)由已知得m=(l-ni)(l+i)=(l+n)+(l-n)i.

则由复数相等的条件得

所以m+ni=2+i.

(3)设x=xθ是方程的实根，代入方程并整理得

由复数相等的充要条件得

解得或

所以方程的实根为x=2或X=-2,

相应的k值为k=-22或k=22.

【点拨】复数相等须先化为z=a+bi(a,bR)的形式，再由相等得实部与实部相等、虚部与

虚部相等.

【变式训练2】⑴设i是虚数单位,若l+2il+i=a+bi(a,bR),则a+b的值是()

A.-12B.-2C.2D.12

(2)若(a-2i)i=b+i,其中a,bR,i为虚数单位，则a+b=.

【解析】(l)C.l+2il+i=(l+2i)(l-i)(l+i)(l-i)=3+i2,于是a+b=32+12=2.

(2)3.2+ai=b+ia=l,b=2.

题型三复数的运算

【例3】⑴若复数z=-12+32i,贝IJ1+Z+Z2+Z3++Z2008=;

(2)设复数Z满意z+∣z∣=2+i,那么z=.

【解析】(1)由已知得z2=-12-32i,z3=l,z4=-12+32i=z.

所以Zn具有周期性，在一个周期内的和为0,且周期为3.

所以1+Z+Z2+Z3++Z2008

=1+Z+(Z2+Z3+Z4)++(Z2006+z2007+z2008)

=l+z=12+32i.

⑵设z=x+yi(x,yR),则x+yi+x2+y2=2+i,

所以解得所以z=+i.

【点拨】解⑴时要留意x3=l(X-D(X2+x+l)=0的三个根为1,,-，

其中=-12+32i,-=-12-32i,则

1++2=0»1+-+-2=0,3=1,-3=1,-=1,2=-,-2=.

解(2)时要留意∣z∣R,所以须令z=x+yi.

【变式训练3]⑴复数ll+i+i2等于()

A.l+i2B.l-i2C.-12D.12

⑵(20_江西鹰潭)已知复数z=23-il+23i+(21-i)2010,则复数Z等于()

A.0B.2C.-2iD.2i

【解析】(1)D∙计算简单有ll+i+i2=12.

(2)A.

总结提高

复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并

同类项法则进行;②乘法绽开、除法须分母实数化.因此，一些复数问题只需设z=a+bi(a,bR)

代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决.

2023高中数学高考复习教案篇5

•学问梳理

函数的综合应用主要体现在以下几方面：

1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面学问的综合.

2.函数与其他数学学问点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数

的综合.这是高考主要考查的内容.

3.函数与实际应用问题的综合.

・点击双基

1.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x[l,+)时,f(x)O恒成立,则

A.blB.blC.blD.b=l

解析:当X口,+)时,f(x)O,从而2x-bl,即b2x-l.而x[l,+)时，2x-l单调增加，

b2-l=l.

答案：A

2.若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A(0,3)和B(3,-1),则不等式∣f(x+l)-l∣2

的解集是.

解析:由∣f(x+D-Il2得-2

又又)是R上的减函数,且f(x)的图象过点A(0,3),B(3,-1),

f(3)

答案：(-1,2)

•典例剖析

【例1】取第一象限内的点Pl(xl,yl),P2(×2,y2),使L×1,x2,2依次成等差数列，

1,yl,y2,2依次成等比数列，则点Pl、P2与射线hy=x(xθ)的关系为

A.点Pl,P2都在I的上方B.点Pl、P2都在I上

C.点Pl在I的下方，P2在I的上方D,点Pl、P2都在I的下方

剖析：xl=+1=,×2=1+=,yl=l=.y2=,Ulyl

Pl、P2都在I的下方.

答案：D

【例21已知f(x)是R上的偶函数，且f(2)=O,g(x)是R上的奇函数，且对于×R,都有g(x)=f(x-l),

求f(2O_J的值.

解：由g(x)=f(x-l),xR,得f(x)=g(x+l),又f(-x)=f(x),g(-×)=-g(×),

故有f(×)=f(-×)=g(-x+l)=-g(x-l)=-f(×-2)=-f(2-×)=-g(3-×)=

g(×-3)=f(×-4)>也即f(x+4)=f(×),×R.

f(x)为周期函数，其周期T=4.

f(20_)=f(4500+2)=f(2)=0.

评述：应敏捷把握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.

【例3】函数f(x)=(mθ),xl、x2R,当xl+x2=l时，f(×l)+f(×2)=.

⑴求m的值；

(2)数列{an},已知an=f(O)+f()+f()++f()+f(l),求an.

解：⑴由f(xl)+f(x2)=,得+=,

4+4+2m=[4+m(4+4)+m2].

0×1+×2=1,(2-m)(4+4)=(m-2)2.

4+4=2-m或2-m=0.

04+42=2=4,

而mθ时2-m2,4+42-m.

m=2.

(2)0an=f(O)+f()+f()++f()+f(l),an=f(l)+f()+f()++f()+f(0).

2an=[f(O)+f(l)]+[f()+f()]++[f(l)+f(O)]=+++=.

an=.

深化拓展

用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.

【例4】函数f(x)的定义域为R,且对任意x、yR,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当xθ时,f(x)O,

f(l)=-2.

⑴证明f(x)是奇函数；

(2)证明f(x)在R上是减函数；

(3)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

⑴证明：由f(x+y)=f(x)+f(y),得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),f(x)+f(-x)=f(O).又f(O+O)=f(O)+f(O),f(0)=0.

从而有f(x)+f(-x)=O.

f(-x)=-f(x).f(x)是奇函数.

(2)证明：任取xl、x2R,且XIo.f(x2-xl)O.

-f(x2-×l)0,即f(xl)f(x2),从而f(x)在R上是减函数.

⑶解：由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在[3,3]上的最大值是的3),最小值是耳3).由隼)=2

得f(3)=f(l+2)=f(l)+f(2)=f(l)+f(l+l)=f(l)+f(l)+f(l)=3f(l)=3(-2)=-6,f(-3)=-f(3)=6.从而最大值是6,

最小值是-6.

深化拓展

对于任意实数X、y，定义运算x_y=ax+by+cxy,其中a、b、C是常数，等式右边的运算是

通常的加法和乘法运算.现已知1_2=3,2_3=4,并且有一个非零实数m,使得对于任意实

数×,都有X_m=x,试求m的值.

提示：由1_2=3,2_3=4,得

b=2+2c)a=-l-6c.

又由X_m=a×+bm+cm×=×对于任意实数X恒成立，

b=0=2+2c.

c=-l.(-l-6c)+cm=l.

-l+6-m=l.m=4.

答案：4.

•闯关训练

夯实基础

1.已知y=f(x)在定义域口，3]上为单调减函数，值域为[4,7],若它存在反函数，则反函数

在其定义域上

A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7

C.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3

解析：互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性，f-l(x)的值域是[1,3].

答案：C

2.关于X的方程∣x2-4x+3∣-a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是

解析:作函数y=∣x2-4x+3∣的图象，如下图.

由图象知直线y=l与y=∣x2-4x+3∣的图象有三个交点，即方程∣x2-4x+3∣=l也就是方程

∣x2-4x+3∣-l=0有三个不相等的实数根，因此a=l.

答案：1

3.若存在常数pθ,使得函数f(x)满意f(p×)=f(p×-XxR),则f(x)的一个正周期为.

解析：由f(px)=f(px-),

令PX=u,f(u)=f(u-)=f[(u+)-],T=或的整数倍.

答案：(或的整数倍)

4.已知关于X的方程Sin2x-2SinX-a=0有实数解，求a的取值范围.

解：a=sin2x-2sinx=(sin×-l)2-l.

0-11,0(sin×-l)24.

a的范围是Hl,3],

5.记函数f(x)=的定义域为A,g(x)=lg[(x-a∙4)(2a-x)](al)的定义域为B.

⑴求A;

(2)若BA,求实数a的取值范围.

解：⑴由2-0,得0,

X-I或xl,即A=(-,-1)[1,+).

(2)由(x-a-l)(2a-x)0,得(x-a-D(X-2a)0.

Ξal,a+12a.B=(2a,a+l).

0BA,2al或a+l√L,即a或a・2.

而al,1或a-2.

故当BA时，实数a的取值范围是"-2］［,1).

培育力量

6.(理)已知二次函数f(×)=×2+bx+c(bθ,cR).

若f(x)的定义域为［1，0］时，值域也是［1，0］,符合上述条件的函数f(x)是否存在?若存在，

求出f(x)的表达式;若不存在，请说明理由.

解：设符合条件的f(x)存在，

EI函数图象的对称轴是X=-,

又bθ,-0.

①当-0,即01时，

函数X=-有最小值-1,则

或(舍去).

②当-1-,即12时，则

(舍去)或(舍去).

③当一1,即b2时，函数在卜1,0］上单调递增，则解得

综上所述，符合条件的函数有两个，

f(×)=×2-l或f(x)=×2+2×.

(文)已知二次函数f(x)=×2+(b+l)×+c(bθ,cR).

若f(x)的定义域为卜1，0］时，值域也是卜1，0］,符合上述条件的函数f(x)是否存在?若存在，

求出f(x)的表达式;若不存在，请说明理由.

解：回函数图象的对称轴是

X=-,乂bθ,—.

设符合条件的f(x)存在，

①当一1时，即bi时，函数f(x)在H，0］上单调递增，则

②当-L,即01时，则

(舍去).

综上所述，符合条件的函数为f(x)=x2+2x.

7.己知函数f(x)=x+的定义域为(0,+),且f(2)=2+.设点P是函数图象上的任意一点，过点

P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N.

(1)求a的值.

(2)问：IPMlIPNl是否为定值?若是，则求出该定值;若不是，请说明理由.

(3)设。为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.

解：(l)0f(2)=2+=2+,a=.

(2)设点P的坐标为(xθ,yθ),则有yθ=xθ+,x00,由点到直线的距离公式可知，∣PMI==,

∣PN∣=