专题02导数的运算（十大考点）

专题02导数的运算思维导图核心考点聚焦考点一：利用导数公式求函数的导数考点二：求函数的和、差、积、商的导数考点三：求复合函数的导数考点四：利用导数求函数式中的参数考点五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处）考点六：利用导数公式求切点坐标问题考点七：与切线有关的综合问题考点八：切线平行、垂直问题考点九：最值问题考点十：公切线问题知识点一：基本初等函数的导数公式（1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3），（4），（5），（6），（7），（8），，这样的形式．要点诠释：1、常数函数的导数为0，即（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．2、有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的次幂的乘积，即（）．特别地，．3、正弦函数的导数等于余弦函数，即．4、余弦函数的导数等于负的正弦函数，即．5、指数函数的导数：，．6、对数函数的导数：，．有时也把记作：以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：（1）和差的导数：（2）积的导数：（3）商的导数：（）要点诠释：1、上述法则也可以简记为：（ⅰ）和（或差）的导数：，推广：．（ⅱ）积的导数：，特别地：（c为常数）．（ⅲ）商的导数：，两函数商的求导法则的特例，当时，．这是一个函数倒数的求导法则．2、两函数积与商求导公式的说明（1）类比：，，注意差异，加以区分．（2）注意：且．3、求导运算的技巧在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．复合函数的求导法则1、复合函数的概念对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．要点诠释：常把称为“内层”，称为“外层”．2、复合函数的导数设函数在点处可导，，函数在点的对应点处也可导，则复合函数在点处可导，并且，或写作．3、掌握复合函数的求导方法（1）分层：将复合函数分出内层、外层．（2）各层求导：对内层，外层分别求导．得到，（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到的导数．要点诠释：1、整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程．若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量．2、选择中间变量是复合函数求导的关键．求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏．求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．考点剖析考点一：利用导数公式求函数的导数例1．（2024·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.例2．（2024·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）；（2）；（3）.例3．（2024·高二课时练习）求下列函数的导数.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).【解析】（1），.（2）.（3）.（4），.（5），.（6）.（7）.（8）.考点二：求函数的和、差、积、商的导数例4．（2024·陕西延安·高二校考期末）求下列函数的导数．(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由可得（2）由可得（3）由得（4）由得例5．（2024·陕西西安·高二校考期末）求下列函数的导数(1)(2)【解析】（1），．（2）.例6．（2024·新疆喀什·高二校考期末）求下列函数的导数(1)；(2)，．【解析】（1）因为，所以.（2）因为，，所以，.变式1．（2024·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.变式2．（2024·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)．【解析】（1）．（2）．（3）．变式3．（2024·高二课时练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3).【解析】（1）（2）（3）考点三：求复合函数的导数例7．（2024·高二课时练习）求下列函数的导数．(1)；(2)．【解析】（1）设，则，所以.（2）设，则,所以.例8．（2024·高二课时练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）设，则，所以.（2）设，则，所以.（3）设，则，所以.（4）设，则，所以.例9．（2024·全国·高二随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）令，因为，所以.（2）令，因为，.（3）令，因为，.（4）令，因为，.（5）令，因为，.（6）令，因为，.考点四：利用导数求函数式中的参数例10．（2024·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数（是的导函数），则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，则，又因为，当时，，解得，所以.故选：D.例11．（2024·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知函数，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】对求导可得，所以，所以，故选：C例12．（2024·宁夏银川·高二校考期末）已知函数，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】由已知，所以，即．故选：D．变式4．（2024·江苏盐城·高二校考）已知函数（是的导函数），则（）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】因为所以定义域为.所以当时，，，则故选：A考点五：利用导数研究曲线的切线方程（在点处与过点处）例13．（2024·全国·高二随堂练习）求曲线在点处的切线的方程．【解析】由，，，又切点为，故切线方程为：.例14．（2024·新疆和田·高二校考）已知函数，点在曲线上.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求曲线过点的切线方程.【解析】（1）由题意，故，所以，而，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令所求切线在曲线上的切点为，则，所以切线方程为，又在切线上，故或，所以切线方程为或.例15．（2024·陕西渭南·高二校考）已知曲线方程(1)求以点为切点的切线方程；(2)求过点与曲线相切的直线方程．【解析】（1）由求导得，则，所以以点为切点的切线方程是（2）设切点坐标为，则切线方程为，即，代入，则，即，解得或，当时，所求直线方程为；当时，切点，斜率为，所求直线方程为.所以过点与曲线相切的直线方程为和变式5．（2024·北京怀柔·高二校考）已知函数(1)求的导数；(2)求曲线在点处的切线方程．(3)求曲线过点的切线方程【解析】（1）由得，.（2），，故切线方程为.（3）设切点为，因为切点在函数图像上，所以，故曲线在该点处的切线为因为切线过点，所以，解得或当时，，所以切线方程为，当时，，所以切线方程为，所以切线方程为或.考点六：利用导数公式求切点坐标问题例16．（2024·高二课时练习）已知曲线的一条切线倾斜角为，则切点坐标为．【答案】【解析】设切点为，由，求导得，可得切线的斜率为，因为切线倾斜角为，则斜率是1，即，解得，故切点的坐标为.故答案为：.例17．（2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）函数有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为【答案】【解析】设切点坐标为，由函数可得，因为函数有一条斜率为2的切线，所以，解得，所以切点坐标为，故答案为：.例18．（2024·江苏盐城·高二统考）已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为．【答案】【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）.考点：导数的几何意义变式6．（2024·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为【答案】或/或【解析】由，若，则，可得，所以，则，此时坐标为；，则，此时坐标为；故答案为：或考点七：与切线有关的综合问题例19．（2024·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为．【答案】【解析】由题意得，，设切点为，则切线方程为，因为切线过原点，所以，解得，所以．故答案为：例20．（2024·四川绵阳·高二统考）若直线为曲线的一条切线，则实数的值为；【答案】【解析】由，可得，设切点为，则，故切线方程为，即，又因为切线为，所以，解得，所以，故答案为：.例21．（2024·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）若直线是曲线的一条切线，则实数的值为.【答案】1【解析】设切点为，由，得，可得切线的斜率为，①又，②联立①②解得，．故答案为：1．变式7．（2024·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）已知函数，则曲线所有的切线中斜率最小的切线方程为．【答案】【解析】由，，由，当且仅当时，等号成立，曲线所有的切线中斜率最小的切线的斜率，切点为，所以切线方程为，整理可得.故答案为：.考点八：切线平行、垂直问题例22．（2024·全国·高三校联考开学考试）已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数，求导得：，依题意，，解得，即有，，所以函数的图象在点处的切线为：，即，符合题意.故选：C例23．（2024·高二单元测试）曲线在处的切线与直线平行，则m的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由得，因为曲线在处的切线与直线平行所以，解得．故选：C．例24．（2024·广东·高三校联考阶段练习）函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】函数，求导得：，则，即函数的图象在点处的切线斜率为，因为切线与直线垂直，有．所以.故选：C变式8．（2024·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数定义域为，求导得，于是得函数的图象在点处切线的斜率，而直线的斜率为，依题意，，即，解得，所以.故选：C考点九：最值问题例25．（2024·北京·高二北京一七一中校考阶段练习）抛物线上的一动点到直线:距离的最小值为【答案】【解析】因为，所以，令，得，所以与直线平行且与抛物线相切的切点，切线方程为，即，由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离.故答案为：.例26．（2024·全国·高三专题练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为【答案】【解析】的定义域为，求导得，令，解得，则，故切点坐标为，故曲线上的点到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离，即为.故答案为：例27．（2024·四川泸州·高二校考阶段练习）若点是曲线上任意一点，则点P到直线：距离的最小值为.【答案】【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离的最小．设切点为，∴切线斜率为，由题知，解得或(舍)．∴，此时点到直线距离．故答案为：．变式9．（2024·广东佛山·高二校联考阶段练习）已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是【答案】【解析】，设在点处的切线与平行，即斜率为2，所以，解得，则在点处的切线方程为，即则与的距离即为的最小值，即，故的最小值为.故答案为：考点十：公切线问题例28．（2024·山西·校联考模拟预测）若直线与函数和的图象都相切，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线与函数和的图象分别相切于点，则由，得，令，得，将代入中得，由，得，令，得，将代入中得，所以．故选：D例29．（2024·山东临沂·高二统考）已知函数，，若直线与曲线，都相切于点，则，．【答案】【解析】易知，且，∴，，化简得，两边同时取对数得，，∴，故应填；将代入，得，∴，∴，故应填．故答案为：；．例30．（2024·湖南湘潭·高二校联考期末）若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则的值为.【答案】【解析】设切点，则由，得，由，得，则解得.故答案为：e.变式10．（2024·高二课时练习）已知函数，若直线l：与曲线相切，则实数．【答案】/【解析】设切点为，由，所以，由题意知：，即，解得，所以．故答案为：过关检测一、单选题1．（2024·内蒙古赤峰·高三校考）已知，曲线在点处的切线与直线平行，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，其中，则，直线的斜率为，由，可得，且，即点，所以，直线的方程为，即.故选：B.2．（2024·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知是奇函数，则在处的切线方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为为奇函数，则，可得，注意到，可知不恒成立，则，即，可得，所以，则，故，可知切点坐标为，切线斜率为2，所以切线方程为.故选：C.3．（2024·高二课时练习）函数的导数是（

）A．cosx B．－cosxC．－sinx D．sinx【答案】C【解析】故选：C4．（2024·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）函数的图象在点处的切线方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以．因为，所以切线方程为，即．故选：D.5．（2024·江西宜春·高二校考期末）已知，且．若在处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C． D．0【答案】A【解析】依题意，，则，，所以，所以.故选：A6．（2024·新疆伊犁·高二统考）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由题意得，故选：B7．（2024·湖北·高二期末）点M是曲线上的动点，则点M到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，当时，，单调递增；当时，，单调递减．由，所以，易得函数为在上单调递增函数，为零点，此时M的坐标为，由点到直线的距离公式可得M到直线的距离的最小值为.故选:8．（2024·湖北·高二期末）已知函数，则在处的导数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，所以，所以故选：A.二、多选题9．（2024·江苏徐州·高二校考阶段练习）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】对于A，，故A不正确；对于B，，故B不正确；对于C，，故C正确；对于D，故D正确.故选：CD10．（2024·高二课时练习）若曲线在点处的切线方程是，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为点在直线上，所以.由，则求导可得，所以在点处的切线的斜率为.故选：AD.11．（2024·高二课时练习）已知曲线在点处的切线斜率为，则当时的点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为，所以，因为，所以，所以，当，；当，；则点坐标为或．故选：BC12．（2024·甘肃酒泉·高二统考期末）若函数在R上可导，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】，，，即，故A正确；，，，故B正确；，，故C错误，D正确.故选：ABD三、填空题13．（2024·内蒙古赤峰·高二校考）曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】因为，所以，所以，解得，所以，将点代入得，.所以切点为因为，所以，所以切线斜率为所以曲线在点处的切线方程为，整理得.故答案为：14．（2024·全国·高二期末）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的周长为.【答案】/【解析】因为，所以，则，又，所以切线方程为，即，则切线与坐标轴的交点为，，则所求周长为.故答案为：.15．（2024·贵州黔东南·高二校考期末）设函数的导数为，且，则．【答案】【解析】因为，所以，令，则，即，解得，所以，所以.故答案为：16．（2024·黑龙江鸡西·高二校考期末）已知函数在处的切线方程为，则．【答案】/【解析】，，函数在处的切线方程为，即，则，解得或（舍），故.故答案为：四、解答题17．（2024·河北·高二校联考阶段练习）已知函数，且.(1)求的值；(2)求函数的图象在点处的切线方程.【解析】（1）由，得，又，所以，解得.（2）由，得，所以，即切点为，又切线的斜率为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即.18．（2024·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）求下列函数的导数：(1)(2)【解析】（1）（2）19．（2024·安徽芜湖·高二校考期末）已知曲线．