高中数学选择性学案第4章4-1第1课时数列的概念与简单表示法

第4章数列4．1数列第1课时数列的概念与简单表示法必备知识·自主学习导思1.什么是数列？什么是数列的通项公式？2．怎样根据数列的前几项写出数列的通项公式？1.数列的有关概念数列按照一定次序排列的一列数称为数列项数列中的每个数都叫作这个数列的项首项数列的第1项称为首项2.数列的表示①一般形式：a1，a2，a3，…，an，…；②字母表示：上面数列通常记为{an}．数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1是同一个数列吗？提示：数列1，2，3，4，5和数列5，4，3，2，1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．3．数列的分类类别含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列4．数列的通项公式一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．5．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表：定义域正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})解析式数列的通项公式值域自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？提示：数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)1，1，1，1是一个数列．()(2)数列1，3，5，7，…的第10项是21.()(3)每一个数列都有通项公式．()(4)如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列．()(5)600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第24项．()提示：(1)√.1，1，1，1显然符合数列的概念．(2)×.数列1，3，5，7，…的通项公式是an＝2n－1，所以第10项是19.(3)×.某些数列的第n项an和n之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，若不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．(4)×.数列除递增、递减数列外，还有不增也不减的常数列以及摆动数列．(5)√.an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.2．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋1，则122是该数列的()A.第9项B．第10项C．第11项D．第12项【解析】选C.由n2＋1＝122得n2＝121，所以n＝11.3．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为()A.an＝n B．an＝n＋1C.an＝n＋2 D．an＝2n【解析】选C.经验证可知，它的一个通项公式为an＝n＋2.4．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．【解析】当n＝8时，a8＝(－1)8＝1.当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1.答案：1－1关键能力·合作学习类型一数列的概念与分类(数学抽象)1．下列说法中不正确的是()A.数列a，a，a，…是无穷数列B.1，－3，eq\f(4,5)，－7，－8，10不是一个数列C.数列0，－1，－2，－4，…不一定是递减数列D.已知数列{an}，则{an＋1－an}也是一个数列2．已知下列数列：①2011，2012，2013，2014，2015，2016；②1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；③1，－eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，eq\f(（－1）n－1·n,2n－1)，…；④1，0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号).【解析】1.选B.选项A，D显然正确；对于选项B，是按照一定的顺序排列的一列数，是数列，所以B不正确；对于选项C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．2．①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．答案：①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④数列及其分类的判定方法(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；(2)判断所给的数列是递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析，而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限．类型二由数列的前几项求通项公式(逻辑推理)【典例】写出数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数：(1)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)；(2)eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)；(3)0.9，0.99，0.999，0.9999；(4)3，5，3，5.四步内容理解题意条件：数列的前四项结论：数列的通项公式思路探求求数列的通项公式时，可考虑将个别项或各项进行适当的变形；数列的通项公式不唯一．书写表达(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看成是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其中一个通项公式为an＝(－1)n·eq\f(1,n).(2)数列可化为eq\r(3)，eq\r(9)，eq\r(15)，eq\r(21)，即eq\r(3×1)，eq\r(3×3)，eq\r(3×5)，eq\r(3×7)，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝eq\r(3（2n－1）)＝eq\r(6n－3).(3)原数列可变形为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,102)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,103)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,104)))，…，故数列的一个通项公式为an＝1－eq\f(1,10n).(4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为eq\f(3＋5,2)＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n.题后反思观察、分析数列中各项的特点是最重要的，找项与序号之间的规律，利用熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)进行转换，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．根据数列的前几项求其通项公式的方法据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)；(2)eq\f(22－1,2)，eq\f(32－1,3)，eq\f(42－1,4)，eq\f(52－1,5)；(3)7，77，777，7777.【解析】(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(（－1）n,n×（n＋1）)，n∈N*.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(（n＋1）2－1,n＋1)，n∈N*.(3)这个数列的前4项可以变为eq\f(7,9)×9，eq\f(7,9)×99，eq\f(7,9)×999，eq\f(7,9)×9999，即eq\f(7,9)×(10－1)，eq\f(7,9)×(100－1)，eq\f(7,9)×(1000－1)，eq\f(7,9)×(10000－1)，即eq\f(7,9)×(10－1)，eq\f(7,9)×(102－1)，eq\f(7,9)×(103－1)，eq\f(7,9)×(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(7,9)×(10n－1)，n∈N*.类型三数列通项公式的应用(数学运算)角度1计算指定项【典例】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？【思路导引】(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可；(2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断．【解析】(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝eq\f(7,3)(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝eq\f(34,3)，均不合题意，所以68不是该数列的项．若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？【解析】(1)因为an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－eq\f(2,3)(舍去)，所以20是该数列的第10项．角度2确定数列单调性及最值【典例】在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，请回答下列问题：(1)这个数列共有几项为负？(2)这个数列从第几项开始递增？(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．【思路导引】将相邻的后项减前项，运用作差法比较大小．【解析】(1)因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)，所以当0<n<10，n∈N*时，an<0，所以数列{an}共有9项为负．(2)因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>eq\f(7,2)，故数列{an}从第4项开始递增．(3)an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，即这个数列有最小值，最小值为－36.通项公式的应用方法1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．1．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,n（n＋2）)(n∈N*)，那么eq\f(1,120)是这个数列的第______项．2．已知数列{an}中，an＝－n2＋25n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是第________项．3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n2－10n＋4.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值．【解析】1.因为eq\f(1,n（n＋2）)＝eq\f(1,120)，所以n(n＋2)＝10×12，所以n＝10.答案：102．因为an＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(25,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,2)))eq\s\up12(2)是关于n的二次函数，又n∈N*，所以当n＝12或n＝13时，an最大．答案：12或133．因为an＝2n2－10n＋4＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(5,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(17,2)，所以当n＝2或3时，an取得最小值，其最小值为a2＝a3＝－8.备选类型归纳法求数列的通项公式(逻辑推理)【典例】观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有________个小圆圈．【解析】观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1.故第n个图中小圆圈的个数为(n－1)·n＋1＝n2－n＋1.答案：n2－n＋1归纳的应用归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题．本例完美诠释了“观察现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAnA．an＝n，n∈N* B．an＝eq\r(n＋1)，n∈N*C．an＝eq\r(n)，n∈N* D．an＝n2，n∈N*【解析】选C.因为OA1＝1，OA2＝eq\r(2)，OA3＝eq\r(3)，…，OAn＝eq\r(n)，…，所以a1＝1，a2＝eq\r(2)，a3＝eq\r(3)，…，an＝eq\r(n).课堂检测·素养达标1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于()A．11B．12C．13D．14【解析】选C.观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的