2020高考数学（文）通用版课时跟踪检测（八）二次函数与幂函数

课时跟踪检测（八）二次函数与幂函数[A级基础题——基稳才能楼高]1．(2019·绵阳模拟)幂函数y＝(m2－3m＋3)xm的图象过点(2,4)，则m＝()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：选D∵幂函数y＝(m2－3m＋3)xm的图象过点(2,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋3＝1，,2m＝4，))解得m＝2.故选D.2．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为()A．－3 B．2C．－2 D．1解析：选C函数f(x)＝x2－2x＋m图象的对称轴为x＝1<3，二次函数图象的开口向上，所以f(x)在[3，＋∞)上是增函数，因为函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即9－6＋m＝1，解得m＝－2，故选C.3．(2019·江西赣州厚德外国语学校阶段测试)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，eq\r(3,3))，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C设f(x)＝xa，将点(3，eq\r(3,3))代入f(x)＝xa，解得a＝eq\f(1,3)，所以f(x)＝xeq\f(1,3)，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.4．(2019·许昌四校联考)设a，b满足0<a<b<1，则下列不等式中正确的是()A．aa<ab B．ba<bbC．aa<ba D．bb<ab解析：选CD中，幂函数y＝xb(0<b<1)在(0，＋∞)上为增函数，又因为a<b，所以bb>ab，D错误；A中，指数函数y＝ax(0<a<1)为减函数，因为a<b，所以aa>ab，所以A错误；B中，指数函数y＝bx(0<b<1)为减函数，因为a<b，所以ba>bb，所以B错误．故选C.5．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，并且过点P(－1,7)，则a，b的值分别是()A．2,4 B．－2,4C．2，－4 D．－2，－4解析：选C∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，∴－eq\f(b,2a)＝1.①又图象过点P(－1,7)，∴a－b＋1＝7，即a－b＝6，②联立①②解得a＝2，b＝－4，故选C.6．(2019·甘肃天水六校联考)若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是()A．(0,4] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析：选Cf(x)＝x2－3x－4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(25,4)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－eq\f(25,4).又f(0)＝－4，所以由二次函数的图象可知，m的最小值为eq\f(3,2)，最大值为3，所以m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))，故选C.[B级保分题——准做快做达标]1．(2019·衡水武邑中学开学考试)若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是()A．f(x)＝x2－2x＋1 B．f(x)＝x2－1C．f(x)＝2x D．f(x)＝2x＋1解析：选A由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝eq\f(a,2)≠0，只有f(x)＝x2－2x＋1满足题意，而f(x)＝x2－1，f(x)＝2x，f(x)＝2x＋1都不满足题意，故选A.2．(2019·安徽名校联考)幂函数y＝x|m－1|与y＝x3m－m2(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为()A．0 B．1和2C．2 D．0和3解析：选C由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m－1|>0，,3m－m2>0，,m∈Z，))解得m＝2，故选C.3．(2019·浙江名校协作体考试)y＝eq\r(2ax2＋4x＋a－1)的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．[－1,2] D．[0,2]解析：选D当a＝0时，y＝eq\r(4x－1)，值域为[0，＋∞)，满足条件；当a≠0时，要使y＝eq\r(2ax2＋4x＋a－1)的值域为[0，＋∞)，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝16－8aa－1≥0，))解得0<a≤2.综上可知a的取值范围为[0,2]．4．(2019·河南天一大联考)已知点(m,8)在幂函数f(x)＝(m－1)xn的图象上，设a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\f(1,2)))，b＝f(lnπ)，c＝f(2－eq\f(1,2))，则a，b，c的大小关系为()A．a<c<b B．a<b<cC．b<c<a D．b<a<c解析：选A因为f(x)＝(m－1)xn是幂函数，所以m－1＝1，m＝2，所以f(x)＝xn.因为点(2,8)在函数f(x)＝xn的图象上，所以8＝2n⇒n＝3.故f(x)＝x3.a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\f(3,2)＝eq\f(1,3\r(3))<1，b＝f(lnπ)＝(lnπ)3>1，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2\r(2))>a.故a，b，c的大小关系是a<c<b.故选A.5．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D．1解析：选D当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.6．(2019·湖北鄂东南联考)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<mC．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1解析：选D幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，∴－1<n<0，综上所述，选D.7．若(a＋1)eq\f(1,2)<(3－2a)eq\f(1,2)，则实数a的取值范围是________．解析：易知函数y＝xeq\f(1,2)的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得－1≤a<eq\f(2,3).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))8．(2019·马鞍山月考)已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________．解析：由题意可设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，所以a＝1，c＝0，故f(x)＝x2.答案：f(x)＝x29．(2019·泉州质检)若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围为________．解析：由已知可得，a>0，且判别式Δ＝1－4ab＝0，即ab＝eq\f(1,4)，∴b>0，∴a＋4b≥2eq\r(4ab)＝2eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))当且仅当a＝1，b＝eq\f(1,4)时等号成立eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))，即a＋4b的取值范围为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)10．(2019·山西一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则f(m)＝________.解析：由已知有－3－m＋m2－m＝0，即m2－2m－3＝0，∴m＝3或m＝－1；当m＝3时，函数f(x)＝x－1，x∈[－6,6]，而f(x)在x＝0处无意义，故舍去．当m＝－1时，函数f(x)＝x3，此时x∈[－2,2]，∴f(m)＝f(－1)＝(－1)3＝－1.综上可得，f(m)＝－1.答案：－111．(2019·成都诊断)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．解：f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2－eq\f(a2,4)－a＋3，令f(x)在[－2,2]上的最小值为g(a)．(1)当－eq\f(a,2)<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，∴a≤eq\f(7,3).又a>4，∴a不存在．(2)当－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4)－a＋3≥0，∴－6≤a≤2.又－4≤a≤4，∴－4≤a≤2.(3)当－eq\f(a,2)>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，∴a≥－7.又a<－4，∴－7≤a<－4.综上可知，a的取值范围为[－7,2]．12．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x>0，,－fx，x<0，))求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－eq\f(b,2a)＝－1，解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2，∴F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12，x>0，,－x＋12，x<0.))∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题可知，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，即b≤eq\f(1,x)－x且b≥－eq\f(1,x)－x在(0,1]上恒成立．又eq\f(1,x)－x的最小值为0，－eq\f(1,x)－x的最大值为－2，∴－2≤b≤0，故b的取值范围是[－2,0]．[C级难度题——适情自主选做]1．(2019·衡水模拟)已知函数f(x)＝－10sin2x－10sinx－eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，m))的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,6))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))解析：选B由题意得f(x)＝－10eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2x＋sinx＋\f(1,4)))＋2，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，m))，令t＝sinx，则f(x)＝g(t)＝－10eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))t＋eq\f(1,2)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))2＋2，令g(t)＝－eq\f(1,2)，得t＝－1或t＝0，由g(t)的图象，可知当－eq\f(1,2)≤t≤0时，f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，所以－eq\f(π,6)≤m≤0.故选B.2．若a>b>1,0<c<1，则()A．ac<bc B．abc<bacC．alogbc<blogac D．logac<logbc解析：选C∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，∴当a>b>1,0<c<1时，ac>bc，选项A不正确．∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，∴当a>b>1,0<c<1，即－1<c－1<0时，ac－1<bc－1，即abc>bac，选项B不正确．∵a>b>1，∴lga>lgb>0，∴alga>blgb>0，∴eq\f(a,lgb)>eq\f(b,lga).又∵0<c<1，∴lgc<0.∴eq\f(algc,lgb)<eq\f(blgc,lga)，∴alogbc<blogac，选项C正确．同理可证logac>logbc，选项D不正确．3．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上的最大值为2，则a的值为()A．2