江西省吉安市2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题

吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试题2024.1（测式时间：120分钟卷面总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直线一般式求得直线的斜率，进而得到其倾斜角，从而得解.【详解】直线的斜率，其倾斜角（），则，∴．故选：C.2.已知空间中点关于平面对称的点的坐标是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】关于平面对称的点横纵坐标相同，竖坐标互为相反数.【详解】空间中点，则点关于平面对称的点的坐标是．故选：A3.两平行直线和间的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平行线间的距离公式计算即可.【详解】直线，即，则平行线间距离．故选：B.4.抛物线的焦点到点的距离为（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得.【详解】抛物线的焦点为，所以点到焦点的距离.故选：B5.将8个外观相同的苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少分到1个苹果，共有不同的分法（）A.15种 B.18种 C.21种 D.24种【答案】C【解析】【分析】利用隔板法求解即可.【详解】8个苹果间会产生7个空隙，任选2个空隙将苹果分开，即分成三份，共有种分法．故选：C.6.一条经过点的直线与圆：交于，两点，若，则的方程为（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】当直线的斜率不存在时，不合要求，设直线的方程为，由点到直线距离公式和垂径定理得到方程，求出或，得到直线方程.【详解】由题意知，，设圆的半径为，则，当直线的斜率不存在时，即直线方程为，此时圆心到直线距离为，此时，舍去，设直线的方程为，即，点到直线的距离，又，故，解得或，代入得或．故选：D7.在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解参数即可.【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示，∵，，∴，，，，∴，，已知是棱上一点，（），则，∵，∴，解得．故选：C8.已知椭圆的左、右顶点分别为，，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】设，可证得，设直线与直线的方程，表示出点和点坐标，由，求出直线的斜率.【详解】则，，设，则，设（），则，直线的方程为，则的坐标为，直线的方程为，则的坐标为，∴，解得或．故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用两点的斜率公式和点在椭圆上，证明则，此时设（），则有，由求即可.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线：，则下列说法正确的有（）A.的一个方向向量为B.的截距式方程为C.若与直线互相垂直，则D.点到的距离为1【答案】AD【解析】【分析】由直线一般方程写出一个方向向量及截距式判断A、B；由垂直关系的判定列方程求参判断C；应用点线距离公式求距离判断D.【详解】由直线方程知：的一个方向向量为，A对；由，则截距式为，B错；与直线互相垂直，则，可得，C错；点到的距离为，D对.故选：AD10.的展开式中（）A.二项式系数之和为32 B.最高次项系数为32C.所有项系数之和为 D.所有项系数之和为1【答案】ABD【解析】【分析】根据二项式系数和的性质判断A，结合展开式通项求解最高次项系数判断B，令得所有项系数之和判断CD.【详解】二项式系数之和为，A正确；设的展开式第项为，令得的展开式中最高次项的系数为，B正确；令得，所有项系数之和为，C错误，D正确.故选：ABD11.双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（）A.B.C.平行四边形各边所在直线斜率均不为D.【答案】BC【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可判定A，由平行四边形与双曲线的对称性及双曲线定义可判定B，利用双曲线的性质可判定C，设直线方程，联立双曲线利用韦达定理及弦长公式结合函数的单调性可判定D.【详解】由题意可得，，则，故A错误．由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，则，B正确．设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线，联立得，则，即，C正确．由，设：；，，，联立得，∴，，则，设，则，∴，又单调递减，则，∴，故，D错误．故选：BC12.在棱长为1的正方体中，，，则下列说法正确的是（）A.平面B.直线与底面所成的角的正弦值为C.平面与底面夹角的余弦值为D.点到平面的距离为【答案】AB【解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出，得到，得到线面平行；B选项，得到平面的法向量，利用向量夹角公式求出线面角的正弦值；C选项，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式求出答案；D选项，利用点到平面的距离向量公式求出答案.【详解】如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，∴，∵平面，平面，∴平面，故A正确．B选项，平面的法向量，设直线与底面所成的角为，则，故B正确．C选项，，，设平面的法向量，则令，得，则．设平面与底面的夹角为，则，∴平面与底面夹角的余弦值为，故C错误．D选项，∵，平面，平面，又，平面法向量，∴点到平面的距离即为直线与平面的距离，故D错误．故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据圆的一般方程中得到不等式，求出答案.【详解】∵二元二次方程表示圆，∴，故，解得．故答案为：14.第19届杭州亚运会开幕前需在某高中招募10名志愿者作为高中组志愿者代表，分成两组，每组5人，共有15人报了名．其中小王、小张也报了名，则两人都被选中且被分在不同组概率为______．【答案】【解析】【分析】根据分组分配问题，结合古典概型的概率公式求解.【详解】该两人都被选中且被分在不同组为目标分组，分法种数为，15人选10人分两组的分法种数为，∴两人都被选中且被分在不同组的概率．故答案为：15.抛物线上有一动点，过作曲线切线，其中一个切点为，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标与半径，设，当最小时，即最小，求出的最小值，即可得解.【详解】曲线即，表示圆心为，半径的圆，设，当最小时，即最小，其中，当且仅当时取等号,即，所以，所以.故答案为：16.已知实数，满足，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】方程表示椭圆的右半边，为椭圆上的点与定点的斜率，与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的斜率，数形结合即可求得范围.【详解】因为，所以，，根据数形结合，，，可看作是椭圆的一半（如下图）：又等价于过点和点的直线斜率，由图可知，当直线与椭圆相切时，斜率取最值.设切线为，联立，消得，令，解得，所以，即的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.判断是否能被8整除？并推理证明．【答案】能被8整除，证明见解析【解析】【分析】根据题意结合二项展开式分析证明.【详解】能被8整除，证明如下：因为，注意到最终所得的式子中每一项都能被8整除，所以能被8整除．18.已知为过点，，三点的圆．（1）求圆的方程；（2）若直线：与圆有公共点，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设圆的方程为：，代入，，三点坐标，解方程求出，即可得出答案.（2）直线与圆有交点，即到的距离，求解即可得出答案.【小问1详解】设圆的方程为：，代入，，三点坐标可得解得∴圆的方程为：【小问2详解】由（1）知，即圆心，半径为，由题意可知到：的距离，解得：故的取值范围为：.19.在空间直角坐标系中，，，，．（1）求；（2）判断点，，，是否共面，并说明理由．【答案】（1）（2）不共面，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求出和即可求出；（2）求出，设，列出方程组证明其无解即可.【小问1详解】由题意知，，∴；【小问2详解】∵，，，设，则无解，即不存在，使得，，共面，故点，，，不共面．20.已知过轴正半轴上一点的直线：交抛物线：于，两点，且，证明点为定点，并求出该定点的坐标．【答案】证明见解析，．【解析】【分析】联立直线方程和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到，根据得到方程，得到，求出定点坐标.详解】由题意得，设，，联立方程组整理得，，则，．，，，则，由得，，整理得，∵，∴．故，即．故此时，点为定点．21.如图，直四棱柱的棱长均为2，底面是菱形，，为的中点，且上一点满足（）．（1）若，证明：；（2）若，且与平面所成角的正弦值为，求．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，即可得出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法列出与平面所成角的正弦值为的方程，求解即可得出结果.【小问1详解】连接，交于点，如图所示．∵底面是菱形，∴，且，互相平分．又，∴，，连接，交于点，连接，则平面，∴，，两两相互垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，．∴，∴，∴，∴时，．∵，∴．【小问2详解】由（1）可得，，，设平面的法向量为，则即∴，令，得，则，设与平面所成角为，则，化简得解得或（舍去）．所以.22.设，，向量，分别为直角坐标平面内轴、轴正方向上的单位向量，若向量，，且.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知，，斜率不为0的直线过点且与轨迹交于，两点，若平分，求直线的方程.【答案】（1）