高中数学选择性学案第4章等差数列的性质及应用（习题课）

等差数列的性质及应用(习题课)必备知识·自主学习导思1.等差数列的项有哪些性质？2．怎样应用等差数列的性质简化运算？1.等差数列通项公式的变形及推广①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n).其中①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．②可以利用任意项及公差直接得到通项公式，不必求a1.③即斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，可用来由等差数列任两项求公差．2．等差数列的性质在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq．特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.若{an}为等差数列，且m＋n＝p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝ap成立吗？提示：不一定．如数列1，2，3，4，…，满足a1＋a2＝a3；而数列1，1，1，1，…，则不满足a1＋a2＝a3.3．由等差数列衍生的新数列若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则{an}是公差为k的等差数列．()(2)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.()(3)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．()(4)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…是等差数列．()提示：(1)√.通项公式是关于n的一次函数形式的数列都是等差数列．(2)×.等差数列中项的和相等都是等式两边项数相等，项数和相等．(3)√.等差数列的奇数项、偶数项分别成等差数列．(4)×.如数列1，1，1，…和数列2，2，2，…，按照规则排好后成为数列1，2，1，2，1，2，…，显然此数列不是等差数列．2．等差数列{an}中，a100＝120，a90＝100，则公差d等于()A.2B．20C．100D．－2【解析】选A.因为a100－a90＝10d，所以10d＝20即d＝2.3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于()A.－3B．3C．eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)【解析】选B.由数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，所以a2＝15－12＝3.4．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．【解析】因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.答案：180关键能力·合作学习类型一等差数列性质的应用(数学运算)1．已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．30B．15C．5eq\r(6)D．10eq\r(6)2．设{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝()A.0B．37C．100D．－373．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为()A.12B．8C．6D．4【解析】1.选B.因为数列{an}为等差数列，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a3＝eq\f(5,2)(a2＋a4)＝eq\f(5,2)×6＝15.2．选C.设cn＝an＋bn，由于{an}，{bn}都是等差数列，则{cn}也是等差数列，且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，所以{cn}的公差d＝c2－c1＝0.所以c37＝100，即a37＋b37＝100.3．选B.由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，所以a8＝8，又d≠0，所以m＝8.解决等差数列运算问题的一般方法一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差求解，属于通用方法；或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．对等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11【补偿训练】在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．【解析】因为a2＋a14＝2a8，所以a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，所以a8＝30.所以2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.答案：30类型二等差数列的设法与求解(数学运算)【典例】已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．四步理解内容题意条件：①三个数成单调递增等差数列②它们的和等于18，平方和等于116结论：求这三个数思路探求设出三个数，列方程组求解书写表达设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.由题意可得解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,d＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,d＝－2.))因为d>0，所以a＝6，d＝2.所以这个数列是4，6，8.题后反思三个数成等差数列设元时以中间一个为准，但需注意对公差符号的选取．设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为an＝pn＋q.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d.由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－d）＋a＋（a＋d）＝6，,（a－d）·a·（a＋d）＝－24，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,d＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,d＝－4.))所以所求三个数为－2，2，6或6，2，－2.类型三等差数列的实际应用(数学建模)【典例】某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【思路导引】每年的利润构成一个等差数列，公差是－20.【解析】设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)，所以每年的利润构成一个等差数列{an}，从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损．所以由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．与等差数列有关的实际问题解法解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费多少元．【解析】根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元).课堂检测·素养达标1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于()A．15B．30C．31D．64【解析】选A.a7＋a9＝a4＋a12，所以a12＝16－1＝15.2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq\f(1,3)a11的值为()A．14B．15C．16D．17【解析】选C.由题意，得5a8＝120，所以a8＝24，所以a9－eq\f(1,3)a11＝(a8＋d)－eq\f(1,3)(a8＋3d)＝eq\f(2,3)a8＝16.3．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21.则a7等于________．【解析】因为a3＋a7－a10＋a11－a4＝a3＋a7＋a11－(a10＋a4)＝3a7－2a7＝a7，所以a7＝21－1＝20.答案：204．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝______．【解析】由等差数列的性质可知a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6，所以a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝74.答案：745．已知{an}为等差数列，且a6＝4，则a4a7【解析】设等差数列的公差为d，则a4a7＝(a6－2d)(a6＝(4－