2023高考数学情景与新文化100题

2023高考一数学情景与新文化100题

目录

1.数学文化视角下的数学问题...................................................1

LL借助数学故事创设问题情境，激发学生的求知欲望...........................1

1.2.借助数学方法创设问题情境，培养严谨的科学态度...........................2

1.3.借助数学游戏创设问题情境，调动学生的参与热情...........................2

1.4.借助数学名题创设问题情境，启发学生的思维能力...........................3

2.类型一：函数类新文化题型...................................................3

2.1.单选题..................................................................3

3.类型二：三角形类新文化题型................................................20

4.类型三：向量类新文化题型..................................................37

5.类型四：数列类新文化题型..................................................57

6.类型五：几何类新文化题型..................................................70

7.类型六：概率类新文化题型..................................................86

1.数学文化视角下的数学问题

数学文化是一种通过数学观点观察现实，运用数学语言、图表、符号进行

数学交流，渗透数学思想、精神、方法、观点、语言的文化现象.在数学文化视

野下创设数学问题情境，旨在培养学生的严谨素质及创新意识，增强学生的理

性思维能力，以促进学生的全面发展.

L1.借助数学故事创设问题情境，激发学生的求知欲望

数学故事有时反映了知识形成的过程，有时揭示了数学知识的本质，因

此，在课教学中，以数学故事的形式创设问题情境，既符合学生爱听故事的心

理特点，又可巧妙地借助故事引出数学问题，活跃学生的思维，加深学生对数

学的兴趣.

例如，在讲“平面直角坐标系”时，教师可以利用数学家欧拉发明坐标系

的故事为切入点.当欧拉躺在床上望着天花板思考着怎样去确定事物的位置时，

突然发现一只苍蝇被粘在蜘蛛网上，蜘蛛迅速爬过去捉住了苍蝇，这时欧拉灵

机一动：对啊，可以像蜘蛛一样利用网络来确定事物的位置.然后教师提问：欧

拉是如何利用网络来确定点的位置的？这样自然而然地引入正题，学生的学习

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热情很快被调动起来∙

又如，在讲“相似三解的性质”时，教师可讲述古代数学家泰勒如何用一

根棍棒测量金字塔高度的故事，指出：如果给你们一根棍棒，你们同样也能够

将金字塔的高度，学校旗杆的高度测量出来.这时学生疑惑起来，迫切地想知道

如何测量.

1.2.借助数学方法创设问题情境，培养严谨的科学态度

数学问题是数学的心脏，数学方法是数学的灵魂，而任何数学问题的解决

都建立在数学思想方法的基础上.因此，在课堂教学中，借助数学方法创设问题

情境，既有助于提高学生分析问题、解决问题的能力，又有助于培养学生学

习、做事的严谨态度以及认真精神.

例如，在讲“勾股定理”时，教师可介绍勾股定理的探索过程以及历史上

的不同证明方法：《周髀算经》中西周的商高是如何发现“勾三股四弦五”这

个规律的；古希腊著名数学家毕达哥拉斯又是如何发现勾股定理的：据说在

2500年前，毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上发现了勾股定理.最后通

过对比，分析引导从各种不同文化中的不同证明方法中，选择自己感兴趣的方

法.这样，既可加深学生对“勾股定理”的理解，拓宽学生的视野，又可培养学

生严谨的科学态度，提高学生的解题能力.

1.3.借助数学游戏创设问题情境，调动学生的参与热情

活泼好动是学生的天性.在课堂教学中，教师将数学知识融入到数学游戏

中，并巧妙地创设问题情境，既可调动学生参与活动的积极性，又可诱发学生

的学习兴趣.

例如，在讲“概率的初步知识”时，通过“中秋节掷骰子，博月饼”的游

戏创设问题情境.游戏规则如下：每人每次掷出六颗骰子，月饼的数量由点数的

多少决定.若是一个点数相同，则得“一秀饼”；若是两个点相同，则得“二

举饼”；若是三个点数相同，则得‘'三红饼”；若是四个点数相同（不包括

四），则得''四进饼"；若是五个点数相同或六个点数全部相同，均可得“状

元饼”；若六个点数各不相同，可得“对堂饼”.然后提出问题：（1）刚好有

一个向上点数为4的概率是多少？（2）若刚好有两个向上点数为4的概率是

多少？（3）若刚好有三个向上点数为4的概率是多少？（4）出现四个点数

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都是4的概率是多少？（5）四个点数相同或五个点数相同（不包括4）的概

率分别是多少？（6）六个点数均不同的概率是多少？这样的问题情境，趣味

性较强，有利于调动学生参与的热情，又贴近学生的生活实际，有利于加深学

生对数学知识的理解，培养学生自主探索、思维慎密的优良品质.

L4.借助数学名题创设问题情境，启发学生的思维能力

数学名题是历史上著名的数学问题，是在历史发展的长河中发展形成的，

对于数学教育史上发挥着十分重要的作用.在课堂教学中借助数学名题创设问题

情境，既有助于学生探索精神和数学思维的培养，又有助于加深学生对所学知

识的理解和掌握.

例如，在讲“一元一次方程”时，教师可以通过历史上有名的“丢番图之

迷”创设问题情境：人们对代数学之父丢番图的生平知之甚少，但是却清楚地

知道他去世的年龄，这主要是因为他将所自己经历的人生道路忠实地记录在他

为自己写的《墓志铭》上：墓中安葬着丢番图.上帝赐给这位贫困数学家六分之

一的童年；又过十二分之一，两鬓长髯；再过七分之一，点燃了洞房花烛；五

年之后天赐贵子，娇儿夭折仅及其父之半；悲痛欲绝只得用研究代数解忧；

又过了四年，他走完了人生的旅途.然后教师提出问题：丢番图究竟活了多少

年？这样的问题情境，不仅可以激发学生的挑战欲望，启发学生的思维能力，

而且可以使学生了解到相应数学内容的文化背景，增强学生的数学文化素养.

总之，数学文化视角下的创设问题情境，既可以让学生更好地了解数学的

内在本质，深刻感受到数学文化的魅力与价值，又可以调动学生积极参与数学

学习活动的积极性和主动性，激发学生探究数学知识的兴趣，同时对于提高课

堂教学效果，优化学生学习效果也发挥着积极的作用.

2.类型一：函数类新文化题型

2.1.单选题

C=WlogJl+*]

1.5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：ʌN人它表

示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内

s_

信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中万叫做信噪比.按

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S

照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比后从IOOO提升至2000,则C大约

增加了()

A.10%B.30%C.50%D.100%

【答案】A

【分析】

根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为

C=Wlog式1+1000)和C=Wk)g2(l+2OOO),两者相比，再根据对数运算即可估计得

答案.

【详解】

当N=l0°°时，C=Wlog2(1+1000)

当万=2000时，C=WlOg2(1+2000)

WIogz(1+2000)-WIOg2(1+1OOo)=log?2001〜1+log210007J2

WlOg2(1+1000)-IogIOOl^IogIOOO_一_3g

则22

11111

-=IglO4<lg2<lglθ3=--lg2≈0.1

又43,根据选项分析，3°

S

所以信噪比后从IOOO提升至2000,则C大约增加了10%.

故选：A.

【点睛】

本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.

2.2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运

载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在

内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，"绕、落、回”三步探月规划完美收官，这

为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础.已知在不考虑空气阻力和地球引

v=vlnM

力的理想状态下，可以用公式"“Y.计算火箭的最大速度MmZS),其中

%(∏Vs)是喷流相对速度，〃Mkg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(Zg)是推进

M

剂与火箭质量的总和，.称为“总质比”.若A型火箭的喷流相对速度为

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（

Iooom∕s,当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为lge*0∙434,

lg2≈0.301）（）

A.4890m∕sβ.5790m∕sC.6219m∕sD.6825m∕s

【答案】C

【分析】

根据题意把数据代入已知函数可得答案.

【详解】

M1«5003-1»2

v=vln-=1000×ln500=IOOOx-5—=1000×—^≈6219∕n∕s

0mIgeIge

故选：C.

3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中

较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还

有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高

度的两倍，得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底

部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长

大约230米.因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为

A.128.5米B.132.5米C.136.5米D.110.5米

【答案】C

【分析】

设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答

案.

【详解】

230×4C,230×4

---------=3.14159h=--------≈146.4

胡夫金字塔原高为人，则2h,即2x3.14159米，

则胡夫金字塔现高大约为136.4米.故选C.

【点睛】

本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等

式，解出未知数，即可得到答案.属于常规题型.

4.中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大

数据传输速率C取决于信道带宽W,经科学研究表明：C与W满足

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V

C=lVlog√l÷-）

N，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声

£

功率，万为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不

£

改变带宽W,而将信噪比N从IOOO提升至4000,则C大约增加了（）

（附:Ig2≈0.3010j

A.10%B.20%C.30%D.40%

【答案】B

【分析】

—=1000—=4000「C

先计算N和N时的最大数据传输速率&和G,再计算增大的

。2-Cl

百分比G即可.

【详解】

S

1000

当TF=时，C1=Wlog2IOOl≈Wlog2IOOO.

5

当万=4000时，G=WlOg240OhWlog24000

所以增大的百分比为：

G-C∖=GT=Wlog/OOO_1=Ig4000_1=lg4+lgl000

-

C1-Cl^^IVlog21000IglOOO-IglOOO

X="2X0.3。Iom=20%

IgIOOO33

故选：B.

5.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公

C=WIog/1+9]

式：ʌN人它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取

决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大

S

小，其中万叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按

S

照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比瓦从IOOO提升至8000,则C大

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约增加了(∣g2"°∙3010)()

A.10%B.30%C.60%D.90%

【答案】B

【分析】

根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；

【详解】

VV

--=1000「WICrr1A∩∩---=8000「WlCeQ∏∏A

解：当N时，C1=VVIog21000；当N时，C2=WIog280005

C2_WlOg28000_Ig8000_3+31g2〜∣ɜ

.∙.GWlogJOooIgIo003~约增加了30%.

故选：B

6.2020年11月24日4时30分，长征五号途五运载火箭在我国文昌航

天发射场成功发射，飞行约2200秒后，顺利将探月工程嫦娥五号探测器送人

预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅.已知火箭的最大速度仪单位

:km/s)与燃料质量M俾位：kg)、火箭质量M单位:kg)的函数关系为

V=21nfl+-

I'"人若已知火箭的质共为31°Okg,火箭的最大速度为Ilkm∕s,则火箭需

要加注的燃料为(参考数值为∣n2"0∙694n244.69"5∙50,结果精确到OOl)()

A.243,691B.244.69tC.755.44tD.890.23t

【答案】C

【分析】

利用指对互化解出"，可得火箭需要加注的燃料的估算值.

【详解】

M55

v=21nfl+-11=2In[I+ɪ-][+^e∙

I机人则V310θJ,所以3100

解得M=3100(55一1卜3100x243.69=755439(kg)≈755.44(t)

故选：C

7.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛

物线.直到1690年，雅各布•伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学

界征求答案.1691年他的弟弟约翰•伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得

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到了正确答案，给出悬链线的数学表达式一一双曲余弦函数:

aa

「/、XeΛ-e

/(X)=C+QCO1Sh-=C+α----------------

C为自然对数的底数).当C=O,。=1时，记

p=∕(T),(2人〃"(2),则p,fn,"的大小关系为().

Ap<m<nBn<m<pCMVPcnDm<n<p

【答案】C

【分析】

先利用导数证明函数/(X)在区间(α+?)上单调递增，再结合单调性比较大

小即可.

【详解】

、e~x+exC,.-e'x+exe2x-1

/(x)=J(X)==

由题意知，2,22e,

当x>0时，/U)>0,即函数A》)在区间(°，+?)上单调递增

+P

/(-1)=£—^=Z(I)

1

∙∙∕[∣j<∕(l)<∕(2)

2-

mm<p<n

故选C

关键点睛：解决本题的关键是利用导数证明函数"X)的单调性，再结合单

调性比较大小.

8.著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的

初始温度为印C,空气温度为则rmin后物体的温度8(单位：。C)满足：

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0=q+(α-4)e”(其中k为常数，e=2.71828„.).现有某物体放在20C的空

气中冷却，2min后测得物体的温度为52℃,再经过6min后物体的温度冷却到

24℃,则该物体初始温度是()

A.80℃B.82℃C.84℃D.86℃

【答案】C

【分析】

,In8

先利用第二次冷却:，EC,%=20C,尸6,e=24C,代入求出"=^Γ,然后

对第一次冷却，代入公式，求出初始温度.

【详解】

第二次冷却：4=52°C,q=20°C,片6,e=24°C,

In8

即24=20+(52-2。)/：解得：％=工；

第一次冷却：灭52。。，的20。。，尸2,,

In8

即52=20+(4-20”丁，解得：a=84J

故选：C.

【点睛】

数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考

查形式：

(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和

量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；

(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题

理解自变量的取值范围；

(3)可以建立多个函数模型时,要对每个模型计算,进行比较,选择最优化模

型.

9.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的

著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震

动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数

个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数

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学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字X的素数个数大约可以表示为

I'InX的结论.若根据欧拉得出的结论，估计IOOOo以内的素数个数为（素

数即质数，lge"043429,计算结果取整数）

A.1089B.1086C.434D.145

【答案】B

【分析】

10000

（10000）

由题意可知IOOoO以内的素数的个数为InIOooo计算即可得到

答案.

【详解】

π（x）≈——

由题可知小于数字X的素数个数大约可以表示为12,

八八八八八、1000010000IOOOOlge

π（10000）≈---------------------...............—

则IOooO以内的素数的个数为I7InlOOOO=41nl0=4=2500

Ige≈0.4342925∞=Io86,

故选B.

【点睛】

本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力.

10.2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国

成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高分九号03星、皮星三号A星和德

五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武,已知

火箭的最大速度V（单位：km/s）和燃料质量M（单位：kg）,火箭质量m

v=20001n∣1+—I

（单位：kg）的函数关系是：I〃“，若已知火箭的质量为3100公

斤，燃料质量为310吨，则此时V的值为多少（参考数值为ln2“0.69；

InlOI≈4.62）（）

A.13.8B.9240C.9.24D.1380

【答案】B

【分析】

根据已知数据和函数关系式直接计算.

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【详解】

V=2000Xln(1+，黑。)=2000X(InloD=2000X4.62=9240km∕s

故选:B.

【点睛】

本题考查函数的应用，属于基础题.

11.为了研究疫情有关指标的变化，现有学者给出了如下的模型：假定初

始时刻的病例数为NO,平均每个病人可传染给K个人，平均每个病人可以直

接传染给其他人的时间为L天，在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位：

天)的关系式为N(t)=NO(l+K)t,若NO=2,K=2.4,则利用此模型预测第5天的

病例数大约为()(参考数据：logl.4454≈18,log2.4454≈7,

log3.4454≈5)

A.260B.580C.910D.1200

【答案】C

【分析】

首先根据题意得到N⑸=2(1+24)5=2x3.41再根据参考数据求解即可.

【详解】

W(5)=2(l+2,4)5=2×3.45

因为k‰454a5,所以3.45≈454,

所以N(5)=2x3.4$≈2×454≈908≈910

故选：C

12.干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法、干支是天

干和地支的总称，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干：子、

丑、寅、卯、辰、已、午、未，申、西、戌、亥为地支.把十天干和十二地支依

次相配，如甲对子、乙对丑、丙对寅、…癸对寅，其中天干比地支少两位，所

以天干先循环，甲对戊、乙对亥、…接下来地支循环，丙对子、丁对丑、.，以

此用来纪年，今年2020年是庚子年，那么中华人民共和国建国100周年即

2049年是()

A.戊辰年B.己巳年C.庚午年D.庚子年

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【答案】B

【分析】

由题意2020年是干支纪年法中的庚子年，则2049的天干为己,地支

为巳，即可求出答案.

【详解】

天干是以10为一周期，地支是以12为一周期，

2020年是干支纪年法中的庚子年，而2049-2020=29=2x10+9=2x12+5,所以

2049的天干为己,地支为己，

故选:B.

【点睛】

本题考查数学文化，实际生活中的数学应用，关键在于运用阅读理解能力

将生活中的数据和用语转化为数学中的概念和数据，属于中档题.

13.2020年初，新冠病毒肺炎(COVlD-19)疫情在武汉爆发，并以极

快的速度在全国传播开来.因该病毒暂无临床特效药可用，因此防控难度极

大.湖北某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似

患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户5口之家被确认

为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核糖核酸检测，

若出现阳性，则该家庭定义为"感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的

概率相同均为M0<P<l),且相互独立，该家庭至少检测了4人才能确定为"感

染高危户”的概率为八P),当P=P。时，/(P)最大，此时见=()

1√15√15√51心

A.5B.5c.7D.5

【答案】A

【分析】

由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”，则前3人

检测为阴性，第4人为阳性，或前4人检测为阴性，第5人为阳性.求出

〃P),求/S),利用导数求当"P)最大时，P的值.

【详解】

由题意可得，该家庭至少检测了4人才能确定为"感染高危户”，则前3人

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检测为阴性，第4人为阳性，或前4人检测为阴性，第5人为阳性.

"(p)=(l-p)3p+(l-p)4p,

,f'(p)=-3(I-P)2p+(l-Py-4(1-PyP+(1-P)4=(I-Py(5p2-10p+2)

令/")>°,得°<"k;/(p)<o,得k<”∣∙

05->∕i^51)

∙∙∙∕s)在〔'5J上单调递增，在15'J单调递减，

5-√L5-5-√151√15

"P=5时，最大，即%―一L

故选：A.

【点睛】

本题考查相互独立事件、互斥事件的概率计算公式，考查利用导数求最

值，属于中档题.

14.复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公

司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列

车,2019年12月30日，CR4003F-C智能复兴号动车组在京张高铁实现时速

35()km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强/(单

位：W∕π?表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级Z.(单位：

dB与声强/的函数关系式为"=IOIg(R),已知∕=10'W∕n√时，L=I(WB.若要将某

列车的声强级降低30dB,则该列车的声强应变为原声强的()

A.IO、'倍B.10^4倍C.107倍D.I。一倍

【答案】C

【分析】

由题设可得a=1。"，代入函数式，由指对数的关系有/=100:进而求声

强级降低30dB的声强/，，应用指数累的运算性质求声强的比值.

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【详解】

由题设，IOlg(IOZ)=IO,解得α=10-3,则乙=10怆(10-3/)=Io(Ig/-3),

“∙⅛A

.U=IO10,要使声强级降低30dB,则厂=10">=10'«,

，卑WO。

JlO而*3.

故选：C

15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有"数学王子”的

美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用国表示不超过X的最大整

数，则y=[H称为高斯函数，也称取整函数，如：13.7]=T,[2∙3]=2,已知

/3=FTr1,则函数y=3["χ)]-2[∕(τ)]的值域为()

a{-3,0,2}b{-l,2}c{-3,0,-2}d{-2,0,3}

【答案】A

【分析】

2

化简得出"X=J仃，可得x>0时，[/(x)]=°;X=O时，[〃切=°；

x<o时，[/(χ)]=-ι,即可求出.

【详解】

/、2句2(2Λ+1)-222

f(χ}=--------1=-^-------L-------1=2-----------1=1---------

')2x÷l2v+l2Λ+12Λ+1,

当x>0时，2"+le(2,⅛w),则2*+lI。'”,则/(x)e(°/)，此时

[f(x)]=O,

当X=O时，f(χ)=o,则

当x<0时，2Λ+1∈(1,2),则2"+1<12),贝(X)W(T。)，此时

[f(χ)]=τ,

则对于函数，=3上(切-2上(一切,

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当x>0时，-x<(),此时y=3["x)卜2"(τ)]=3*0-2*(T)=2;

当X=O时，-x=0,止匕时y=3[f(x)]_2[/(_x)]=3*0_2x0=0；

当x<0时，τ>0,此时y=3[f(叫一2[∕(r)]=3χ(τ)一2χO=-3,

故N=3"(x)]-2[∕(-x)]的值域为{T0,2}.

故选：A.

【点睛】

2

关键点睛：解题的关键是化简得出""=JfW,分别求出χ>o,χ=o,χ<o

时/(x)的取值范围.

16.我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的

量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子

比特共有“ι°>,n>"2种叠加态，2个超导量子比特共有∣01>,∣10>,

1>”4种叠加态，3个超导量子比特共有"∣0∞>,∣001>,∣010>,∣011›,

IIoo>,∣ιθι>,∣no>,∣111>"8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，

其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有N种叠加态，则N

是一个()位的数.(参考数据：∣g2R0∙3010)

A.18B.19C.62D.63

【答案】B

【分析】

根据题意“个超导量子比特共有2"种叠加态，进而两边取以10为底的对数

化简整理即可得答案.

【详解】

根据题意，设〃个超导量子比特共有2"种叠加态，

所以当有62个超导量子比特共有N=262种叠加态。

两边取以1。为底的对数得IgN=Ig2秘=62Ig2a62x0.3010=18.662,

所以N=IO18-662=IO0662×10ιs,由于10°<IO0662<IO1,

故N是一个19位的数.

故选：B

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【点睛】

本题考查数学文化，对数运算，考查知识的迁移与应，是中档题.本题解题

的关键在于根据材料得“个超导量子比特共有2"种叠加态，进而根据对数运算

求解.

17.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面

软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一

个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四

号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.4点是平衡

点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为Ml,月球质量为M2,地月距

离为R,4点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方

程：

M.M=(R+r)簪

-----------------1........-

(R+r)2rA

a——--------2A3Q-

设R,由于。的值很小，因此在近似计算中"W,则r的

【分析】

本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立。的方

程，解方程、近似计算.题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使

考生"望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查.

【详解】

αJ

由R,得r=αR

L

----"7+T=(R+r)T

因为(R+r)一厂R；

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M1M,.1M1

-7-.-----ʒ-+-2=(I+α)--τ

所以R-(l+α)-a^RD-R-,

543

M、,.11a+3σ+3a3

-J-CrKl+a)----------7]=-------------z——≈3a

即Λ√∣(l+α)-(l+a)^

【点睛】

由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题

意；易错点之二是复杂式子的变形出错.

18.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公

C=Wlog2I1+ɪ1

式：ʌN人它表示：在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C取

决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大

ɪ

小，其中犷叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不

S

计.按照香农公式，若带宽W增大到原来的1.1倍，信噪比正从IOOO提升到

16000,则C大约增加了(附:1≡2≈0∙3)()

A.21%B.32%C.43%D.54%

【答案】D

【分析】

利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和16000时C

的比值即可求解.

【详解】

Lm⅛J60%=]]χ星如％=]]χ±H=054

解：由题意Mog2100°⅛100°3,所以C

大约增加了54%.

故选：D.

19.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的

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美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用国表示不超过X的最大整

数，则y=[x]称为高斯函数，也称取整函数，如：12.1]=-3,艮1卜3,已知

zʌ3Λ-2

/⑴=TT/，则函数y=["χ）]的值域为（）

A.{0,-3}B.{OfC,{0,-l,-2}ŋ{l,0,-1,-2}

【答案】C

【分析】

结合指数函数性质求得,（X）的值域，然后再根据新定义求>="（刈的值

域.

【详解】

1_7

3Λ-2J+』一司1777

f（X）=____=____ʒɪ=_________________W（O—）

t+lt+lΛ+

1+3*"3+l33（3+l）；显然3"∣+1>1,3（3'+1）'3,

（-21）

所以/（X）的值域是‘3,

当-2<∕（x）<-l时，"（x）]=-2,

-l<x<O⅛,[∕ωι=-I,当然/⑶<5时"（χ）]=o,

所以所求值域是{-2,T。}.

故选：C.

20.2020年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病

高发期，防疫检测由上海交通大学附属瑞金医院与上海联通公司合作研发的

“5G发热门诊智慧解决方案”完成.该方案基于5G网络技术实现了患者体温检

测、人证核验、导诊、诊疗、药品与标本配送的无人化和智能化.5G技术中数

C=Wlog,I1+ɪI

学原理之一就是香农公式：”IN人它表示：在受噪声干扰的信道中,

最大信息传递速度C（单位：bit/s）取决于信道带宽卬（单位：HZ）、信道

内信号的平均功率S（单位：dB）、信道内部的高斯噪声功率N（单位：dB）

SS

的大小，其中方叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比方

从IOoO提升至2000,则C大约是原来的（）

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A.2倍B.1.1倍C.0.9倍D.0.5倍

【答案】B

【分析】

C,Wlog,20011.ɔɪ.1111

7Γ=L∙∙,^ιn∙≈τ1S2+1-=IglO4<lg2<lglθ3=-

由题可得GWzliogzlOOml3,根据433可求出.

【详解】

C=”",

S

当W=IOOO时，G=WIog2(l+1000)=WlogJO01,

S

2000

当丁=时，C=IVlog2(1+2000)=WIog22∞1,

C?_WlogzZOOl_log22000[og22+k>g2lOO()]川_1]2+ι

,+g+

则E-Wlog2IOOl~Iog2IOOO-Iog2IOOO-—log210^3

1ɪɪ11G

-=IglO4<lg2<IglO1=-∙^lg2≈0.1==111/

又43,则3?,即Cl.

故选：B.

【点睛】

—≈ɪIg2+1

关键点睛：本题考查对数函数的应用，解题的关键是得出C3,再

1ɪ11

-=lgl()W<lg2<IglO3=—

利用43求出.

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3.类型二：三角形类新文化题型

21.《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一

名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双

ππ

臂近似看成一张拉满弦的"弓"，掷铁饼者的手臂长约为7米，肩宽约为W米，

"弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（）

A.Lol2米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

【答案】B

【分析】

由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间

的距离为其所对弦长.

【详解】

,πππ5π

I=—I--1—=—

解：由题得：弓所在的弧长为：4488.

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所以其所对的圆心角4

一一、、,,一d=2RsinC=√Σxl.25=1.768

，两手之间的距昌4

故选：B.

【点睛】

本题主要考查圆心角，弧长以及半径之间的基本关系，本题的关键在于读

懂题目，能提取出有效信息.

22.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名,如图，画中女子神秘的微

笑，，数百年来让无数观赏者人迷,某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作

品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角AC处作圆

弧的切线，两条切线交于8点，测得如下数据：AB=6cm3C=6c∙"?,AC=10.392cm

-≈0.866

（其中2）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇

视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）

【答案】A

【分析】

.5.196

由已知AB=BC=6,设ZABC=2/可得SnI.于是可得e,进而

得出结论.

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【详解】

解：依题意A8=3C=6,设ZABC=29.

sin，==0.866=立

则62.

:-θ^-2θ=-

3,3.

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α.

则a+26=π,

π

:.a=—

3.

故选:A.

【点睛】

本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考

查了推理能力与计算能力，属于中档题.

23.《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成

体系的数学专著.书中记载这样一个问题"今有宛田，下周三十步，径十六步,问

为田几何？"（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24

米，那么扇形田的面积为

A.135平方米B.270平方米C.540平方米D.1080平方米

【答案】B

【分析】

直接利用扇形面积计算得到答案.

【详解】

ɪI24

=———XX------

根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S2Ir2452270（平

方米）.

故选:B.

【点睛】

本题考查了扇形面积，属于简单题.

24.希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，

他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘

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都是圆弧，两段圆弧分别是ABC的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若

ZACB=-

3,AC=BC=I,则该月牙形的面积为（）

1兀

4--一

D.24

【答案】A

【分析】

求出ABC的外接圆半径，得弓形面积，再求得大的半圆面积，相减可得

结论.

【详解】

解析由已知可得AB=有，A"C的外接圆半径为R=5*嬴旃=L由题意，

2π

内侧圆弧为MC的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为丁，则弓形ABC的

i×l2xf^-sin≥K^-^

面积为2133）34,外侧的圆弧以AB为直径，所以半圆AB的面

ιxπxf^y=2Ξ已立［=3+工

积为212）8,则月牙形的面积为8134J4