2024-2024第二学期高等数学期中考试

2024—2024学年第二学期?高等数学(2-2)?期中试卷专业班级姓名学号开课系室根底数学系考试日期2012年4月15日页号一二三四五六总分本页总分值241314141817本页得分阅卷人本卷须知1.请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2.答题时请注意书写清楚，保持卷面整洁；3.本试卷共五道大题，总分值100分；试卷本请勿撕开，否那么作废；4.本试卷正文共6页。本页总分值24分本页得分一、填空题〔每空3分，共计18分〕1.设，，，那么向量的模为.2.过曲面上点处的切平面平行于，那么点的坐标为.3.函数在点处沿曲线在该点的内法线方向的方向导数为.4.设为及，所围成的闭区域，那么.5.=.6.设函数具有二阶连续的偏导数，，那么等于.二、选择题〔每题3分，共计12分)1.在点处可微是该函数在点处连续的〔〕〔A〕必要非充分条件；〔B〕充分非必要条件；〔C〕充分必要条件；〔D〕既非充分也非必要条件.2.假设那么与之间的关系是〔〕．；；；．本页总分值13分本页得分3.设由方程确定，可微，那么〔〕〔A〕；〔B〕；〔C〕；〔D〕1．4.函数，等于〔〕．(A)；(B)；(C)；(D)．三、计算题〔每题7分，共计35分〕1.求与平面平行且与三个坐标平面所围成的四面体的体积为的平面的方程.本页总分值14分本页得分2.计算二重积分，其中为.3.计算二次积分.本页总分值14分本页得分4.设,求.5.求区域的体积，其中是由半球面及旋转抛物面所围成.本页总分值18分本页得分四、解答题〔每题9分，共计27分〕1.求曲线在点处的切线方程与法平面方程.2.求两曲面，交线上的点到坐标原点的最长与最短距离.本页总分值17分本页得分3.设连续且，区域由，围成，设，求及.五、证明题〔8分〕设为连续函数，试证明：，其中为矩形域：，常数.答案一、填空题〔每空3分，共计18分〕1.；2.；3.；4.；5.；6.二、选择题〔每题3分，共计12分)1.〔B〕；2.〔C〕；3.〔B〕；4.〔D〕．三、计算题〔每题7分，共计35分〕1.求与平面平行且与三个坐标平面所围成的四面体的体积为的平面的方程.解：由于所求平面与平面平行，故设该平面方程为；又所求平面与坐标平面所围四面体的体积为1，即，得，所求平面方程为.2.计算二重积分，其中为.解：，又积分区域关于轴对称，关于为奇函数，利用对称性，那么，故，在极坐标系下，可表示为：.3.计算二次积分.解：根据二次积分的形式，可得积分区域如以下列图，将看成型域，那么可表示为即有.4.设,求.解：〔方法一〕：，，，那么.〔方法二〕：利用全微分形式不变性，得5.求区域的体积，其中是由半球面及旋转抛物面所围成.解：〔方法一〕利用二重积分半球面与旋转曲面交线为，即，那么在面上的投影域为，所求体积，利用极坐标系，.〔方法二〕利用三重积分与柱面坐标系，.四、解答题〔每题9分，共计27分〕1.求曲线在点处的切线方程与法平面方程.解：〔方法一〕：曲线方程可化简为易知其参数方程为在点处，对应的，该点处的切向量为，故所求切线方程为；法平面方程为.〔方法二〕：利用方程组确定的隐函数求导，方程组两边对求导，得即解得，故在点处，切向量为，以下同上〔方法一〕.2.求两曲面，交线上的点到坐标原点的最长与最短距离.解：假设所求点为，为方便起见考察函数在条件，下的最大值和最小值.构造拉格朗日函数，解方程组由前两个方程得，代入后两个方程得解得，记，，计算得最长距离与最短距离分别为与.