01-第一章-集合与函数概念(学生版)-(修复的)

PAGE用心爱心专心第一章集合与函数概念第一讲集合★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被无视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法〔1〕列举法要注意元素的三个特性；〔2〕描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、等的差异，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：(3)Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。3．集合间的关系的几个重要结论〔1〕空集是任何集合的子集，即〔2〕任何集合都是它本身的子集，即〔3〕子集、真子集都有传递性，即假设，，那么4．集合的运算性质〔1〕交集：①；②；③；④，⑤；〔2〕并集：①；②；③；④，⑤；〔3〕交、并、补集的关系①；②；★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的根本特征[例1]定义集合运算：．设，那么集合的所有元素之和为〔〕A．0；B．2；C．3；D．6题型2：集合间的根本关系[例2]．数集与之的关系是〔〕A．；B．；C．；D．[新题导练]1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，假设集合A={参加北京奥运会比赛的运发动}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运发动}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运发动}，那么以下关系正确的选项是〔〕A．B.C.D.2．定义集合运算:,设集合,,那么集合的所有元素之和为3．设和是两个集合，定义集合，如果，,那么等于4．研究集合，，之间的关系考点二：集合的根本运算[例3]设集合，假设，求实数的值；〔2〕假设，求实数的取值范围6．假设集合，，那么是〔〕A.；B.；C.；D.有限集7．集合，，那么集合为〔〕A.；B.；C.；D.8．集合,,且,求实数的值.9，，那么中的元素个数是〔〕A.；B.；C.；D.无穷多个★抢分频道综合提高训练：6．,那么以下关系中立的是()A．;B．;C．;D．7.设，，，记，，那么＝()A.;B.;C.;D.8．设A、B是非空集合，定义，A=，B=，那么A×B等于〔〕A．；B．；C．；D．第2讲函数与映射的概念★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：函数的定义域为，求的定义域问题2：的定义域是，求函数的定义域求值域的几种常用方法〔1〕配方法：对于〔可化为〕“二次函数型〞的函数常用配方法〔2〕根本函数法：一些由根本函数复合而成的函数可以利用根本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。〔3〕判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域由得，假设，那么得，所以是函数值域中的一个值；假设，那么由得，故所求值域是〔4〕利用函数的单调性求求值域：〔7〕图象法：如果函数的图象比较容易作出，那么可根据图象直观地得出函数的值域〔求某些分段函数的值域常用此法〕。★热点考点题型探析考点一：判断两函数是否为同一个函数[例1]试判断以下各组函数是否表示同一函数？〔1〕，；〔2〕，〔3〕，〔n∈N*〕；〔4〕，；[新题导练]1．以下函数中与函数相同的是()A.y=()2;B.y=;C.y=;D.y=2．与函数的图象相同的函数是〔〕 A.；B.；C.；D.考点二：求函数的定义域、值域题型1：求有解析式的函数的定义域[例2].函数的定义域为()A.;B.；C.;D.题型2：求抽象函数的定义域[例3]〕设，那么的定义域为〔〕A.；B.；C.；D.题型3；求函数的值域[例4]函数，假设恒成立，求的值域[新题导练]3.〕函数的定义域为．4．定义在上的函数的值域为，那么函数的值域为() A．；B．；C．；D．无法确定5．假设函数的定义域是，那么函数的定义域是★抢分频道根底稳固训练：1．函数的定义域为，的定义域为，那么2．函数的定义域是3．函数的值域是4．从集合A到B的映射中,以下说法正确的选项是()A．B中某一元素的原象可能不只一个；B．A中某一元素的象可能不只一个C．A中两个不同元素的象必不相同；D．B中两个不同元素的原象可能相同5．以下对应法那么中，构成从集合A到集合的映射是〔〕 A． B． C． D．6．假设函数的定义域为,值域为，那么的取值范围是〔〕A．；B．；C．；D．综合提高训练：8．设函数，那么函数的定义域是9．设函数的定义域是(是正整数)，那么的值域中共有几个整数第3讲函数的表示方法★热点考点题型探析考点3：用解析法表示函数题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式[例3]=，那么的解析式可取为题型2：求二次函数的解析式考点4：分段函数题型2：由分段函数的解析式画出它的图象例6]设函数，在区间上画出函数的图像。[新题导练]9．函数，那么10．设那么不等式的解集为★抢分频道根底稳固训练：1．〔09年广州高三年级第一学期中段考〕函数的图象如图2所示.观察图象可知函数的定义域、值域分别是〔〕O-52625图2A.O-52625图2C.,；D.[解析]C；由图象可以看出，应选择C2．〔09年惠州第一次调研考〕某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，那么该厂这种产品的产量与时间的函数图像可能是〔〕448yot48yot48yot48yot[解析]B；前四年年产量的增长速度越来越慢，知图象的斜率随x的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，∴选B．3．〔2024·湖南改编〕设函数假设,,那么关于的方程的解的个数为[解析]3；由,可得，从而方程等价于或，解得到或，从而得方程的解的个数为34．〔05江苏〕为常数，假设，，那么=[解析]2；因为，所以又，所以，解得或，所以5．对记，函数的最小值是〔〕A.；B.；C.；D.[解析]C；作出和的图象即可得到函数的最小值是6．〔中山市09届高三统测〕函数其中，。作出函数的图象；[解析]函数图象如下：说明：图象过、、点；在区间上的图象为上凸的曲线段；在区间上的图象为直线段综合提高训练：7．〔09年惠州第二次调研考〕如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体外表相交于．设，，那么函数的图象大致是〔〕AABCDMNPA1B1C1D1yxA．OyxB．OyxC．OyxD．O[解析]B；过点作垂直于平面的直线，当点运动时，线与正方体外表相交于两点形成的轨迹为平行四边形，可以看出与的变化趋势是先递增再递减，并且在的中点值时取最大8．〔06重庆〕如以下列图，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，那么函数的图像是〔〕[解析]D；如以下列图，单位圆中的长为，与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当的长小于半圆时，函数的值增加的越来越快，当的长大于半圆时，函数的值增加的越来越慢，所以函数的图像是D.9．〔06福建〕是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。 〔I〕求的解析式； 〔II〕是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？假设存在，求出的取值范围；假设不存在，说明理由。[解析]〔I〕是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是，由，得〔II〕方程等价于方程设那么当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。第4讲函数的单调性与最值范围。★热点考点题型探析考点1函数的单调性题型2：研究抽象函数的单调性[例2]定义在R上的函数，，当x＞0时，，且对任意的a、b∈R，有f〔a+b〕=f〔a〕·f〔b〕.〔1〕求证：f〔0〕=1；〔2〕求证：对任意的x∈R，恒有f〔x〕＞0；〔3〕求证：f〔x〕是R上的增函数；〔4〕假设f〔x〕·f〔2x－x2〕＞1，求x的取值范围.[新题导练]1．函数的单调递减区间是〔〕A．;B．;C．;D．2．函数的单调增区间为〔〕A．；B．；C．；D．考点2函数的值域〔最值〕的求法题型2：利用函数的最值求参数的取值范围[例4]函数假设对任意恒成立,试求实数的取值范围。★抢分频道根底稳固训练：1．〔华师附中09高三数学训练题〕假设函数在区间上为减函数，那么实数的取值范围是〔〕A.；B.；C.；D.[解析]C；因为，由其图象知，假设函数在区间上为减函数，那么应有2．〔普宁市城东中学09〕假设函数在上是增函数，那么实数的取值范围是〔〕A．；B．；C．；D．[解析]A；假设函数在上是增函数，那么对于恒成立，即对于恒成立，而函数的最大值为，实数的取值范围是3．〔09汕头金中〕以下四个函数中，在区间上为减函数的是〔〕A．；B．；C．；D．[解析]C；显然在上是增函数，在上也是增函数而对求导得，对于，，所以在区间上为增函数，从而应选择C4．〔09潮州金山中学〕函数，假设存在实数，当时，恒成立，那么实数的最大值是〔〕A．1；B．2；C．3；D．4[解析]D；依题意，应将函数向右平行移动得到的图象，为了使得在上，的图象都在直线的下方，并且让取得最大，那么应取，这时取得最大值45．〔06北京改编〕是上的减函数，那么的取值范围是[解析]；要在上是减函数，那么，要在上为减函数，那么需并且，所以6．〔2024浙江理〕t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，那么[解析]1；显然函数的最大值只能在或时取到，假设在时取到，那么，得或，时，；，时，〔舍去〕；假设在时取到，那么，得或，时，；，时，〔舍去〕所以综合提高训练：7.〔06陕西改编〕函数假设那么与的大小关系为[解析]；函数的图象开口向上，对称轴为，因，故，从而，又，所以的对应点到对称轴的距离大于的对应点到对称轴的距离，故8．函数，求的值[解析]；为，令，那么，从而所以9．〔09年汕头金中〕对于函数成立的所有常数M中，我们把M的最大值－1叫做，的下确界为〔〕 A．；B．2；C．；D．4[解析]A；因为，故的下确界为10．〔08年湖南〕设表示不超过的最大整数〔如,〕,对于给定的N*,定义,求当时，函数的值域[解析]；当时，，，因为函数在上是减函数，得；当时，，，因为，由单调性得，故当时，函数的值域是第5讲函数的奇偶性和周期性★重、难点突破重点：函数的奇偶性和周期性，函数的奇偶性、单调性、周期性的综合应用难点：函数的奇偶性的判断函数的奇偶性与单调性、函数的奇偶性与周期性的综合应用重难点：1.函数的奇偶性的判断：可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式,也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.注意①假设,那么既是奇函数又是偶函数,假设,那么是偶函数；②假设是奇函数且在处有定义，那么③假设在函数的定义域内有，那么可以断定不是偶函数，同样，假设在函数的定义域内有，那么可以断定不是奇函数。2．奇偶函数图象的对称性假设是偶函数，那么的图象关于直线对称；假设是偶函数，那么的图象关于点中心对称；3．函数的周期性周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况：〔1〕函数值之和等于零型，即函数对于定义域中任意满足，那么有，故函数的周期是〔2〕函数图象有，两条对称轴型函数图象有，两条对称轴，即，，从而得，故函数的周期是两个函数值之积等于，即函数值互为倒数或负倒数型假设，那么得，所以函数的周期是；同理假设，那么的周期是分式递推型，即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是★热点考点题型探析考点1判断函数的奇偶性及其应用题型1：判断有解析式的函数的奇偶性[例1]判断以下函数的奇偶性：〔1〕f〔x〕=|x+1|－|x－1|；〔2〕f〔x〕=〔x－1〕·；〔3〕；〔4〕题型2：证明抽象函数的奇偶性[例2]〔09年山东梁山〕定义在区间上的函数f(x)满足：对任意的，都有.求证f(x)为奇函数；[新题导练]1．〔09广东电白一中〕设函数为奇函数，那么___________。[解析]0；由函数为奇函数得到，即所以2．〔高州中学09届训练题〕函数是定义域为的偶函数，那么的值是〔〕A．0；B．；C．1；D．[解析]B；由函数是定义域为的偶函数得，并且，即，所以的值是03．定义两种运算：，，那么是______________函数，〔填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个〕[解析]奇；依和得，其定义域为，所以，可见，是奇函数4．函数〔a、b、c∈Z〕是奇函数,又，，求a、b、c的值.[解析]；由f〔－x〕=－f〔x〕，得－bx+c=－〔bx+c〕.∴c=0，由f〔1〕=2，得a+1=2b，由f〔2〕＜3，得＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a=0或a=1.假设a=0，那么b=，与b∈Z矛盾.∴a=1，b=1，c=0.考点2函数奇偶性、单调性的综合应用[例3]奇函数是定义在上的减函数，假设，求实数的取值范围。[例4]设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)<f(3a[新题导练]5．假设是奇函数，且在内是增函数，又，那么的解集是〔〕A.；B.C.；D.6．在上定义的函数是奇函数，且，假设在区间是减函数，那么函数〔〕A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数考点3函数奇偶性、周期性的综合应用[例5]〔09年惠州第三次调研考〕定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，那么________[思路点拨]欲求，应该寻找的一个起点值，发现的周期性[解析]由得到，从而得，可见是以4为周期的函数，从而，又由等式得又由是上的偶函数得又在等式中令得，即所以【名师指引】近年将函数的奇偶性、周期性综合在一起考查逐步成为一个热点，解决问题的关键是发现函数的周期性〔奇偶性〕。[新题导练]8．〔执信中学09届训练题〕设是定义在上的正值函数,且满足.假设是周期函数,那么它的一个周期是〔〕.；.；.；.[解析]；由是定义在上的正值函数及得，，，所以，即的一个周期是69．〔06年安徽改编〕函数对于任意实数满足条件，假设那么__________[解析]；由得，进而得所以备选例题：〔05年广东〕设函数，且在闭区间上，只有〔Ⅰ〕试判断函数的奇偶性；〔Ⅱ〕试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.[解析]〔Ⅰ〕方法一：假设是偶函数，那么于是有，这与在闭区间上，只有矛盾故不是偶函数；假设是奇函数，那么，这与在闭区间上，只有矛盾，故假设不是奇函数所以既不是偶函数，也不是奇函数方法二：因为在闭区间上，只有故，即不是奇函数又由知，，而，所以，又所以，可见不是偶函数所以既不是偶函数，也不是奇函数〔Ⅱ〕方法一：因为所以，即所以，即又，所以和都是方程的根由和及得到故方程在闭区间上的根至少有802个如果存在使得，那么但，这与在闭区间上，只有矛盾故在上只有两个根，即和设是方程在闭区间上任意一个根，那么存在整数，使得，且由上可知或，所以或〔〕所以故方程在闭区间上仅有802个根方法二：由知是周期为10的函数，由知的图象关于直线对称又因为在上仅有所以在上没有根即在上只有两个根，即和于是，在内只有400个根，在上仅有2个根，在内仅有400个根，在上没有根。所以故方程在闭区间上仅有802个根★抢分频道根底稳固训练：1．〔普宁市城东中学09届月考〕是定义在R上的函数，且满足，那么“为偶函数〞是〔〕“2为函数的一个周期〞的() A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件[解析]C；由得假设为偶函数，那么，即2为函数的一个周期；假设2为函数的一个周期，那么，又由得，所以，即为偶函数2．〔汕头市金山中学09年模拟〕假设偶函数在上是增函数，那么以下关系式中成立的是〔〕A．；B．；C．；D．[解析]D；因为为偶函数，故，又，在上是增函数，所以3．〔09年深圳翠园、宝安中学〕设函数(x∈R)为奇函数，，，那么〔〕A．0；B．1；C．；D．5[解析]C；特取，那么4．〔湛江市09年高三调研〕函数在其定义域内是()A.是增函数又是偶函数；B.是增函数又是奇函数C.是减函数又是偶函数；D.是减函数又是奇函数[解析]B；因为，故是奇函数；又，可见是增函数，所以应选B5．〔中山市09年高三统考〕偶函数满足：，且在区间与上分别递减和递增，那么不等式的解集为〔〕A．；B．C．；D．[解析]D；由条件通过的草图得知函数的值在、、上都为正，在、上为负，故不等式的解集为6．〔09年深圳九校联考〕是定义域为R的奇函数，假设当时，，那么满足的的取值范围是．[解析]；当时，，由条件得，又是定义域为R的奇函数，故得，即当时由得；当时由得综合提高训练：7．设是上的奇函数，，当时，，那么为[解析]；由得，故是以4为周期的函数，故，又是上的奇函数，且当时，所以8．〔四会中学高三09年月考〕符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数．给出以下四个命题：①函数的定义域是R，值域为；②方程有无数个解;③函数是周期函数；④函数是增函数．其中正确命题的序号有〔〕A．①④；B．③④；C．②③；D．②④[解析]C；依据函数的定义知函数的定义域是R，但，故①错误；而方程，即方程有无数个解，故②正确；由于当取整数时，都有，所以函数不是增函数，即④是错误的，从而应选C9.〔08年辽宁改编〕设是连续的偶函数,且当时是单调函数,求满足的所有之和[解析]；根据题意，由得，又是连续的偶函数,且当时是单调函数，故得或即①或②①的两根之和为，②的两根之和为，所以所有根的和为第一章综合检测一、选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分〕1.集合，，那么以下关系中，正确的选项是()A. ；B.；C.；D.[解析]D；由集合的定义知，应选D〔注意：此题易错选C〕2.〔09年山东梁山二中〕假设那么实数的取值范围是〔〕A.；B.；C.；D.[解析]B；由题意知，集合不是空集，故实数即其取值范围是3．〔09年重庆南开中学〕集合，那么集合N的真子集个数为〔〕A．3；B．4；C．7；D．8[解析]B；由题意得，所以N的真子集个数为44.以下判断正确的选项是〔〕A．函数是奇函数；B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数[解析]C；显然，函数的定义域为，不关于原点对称，故排除A；函数的定义域为也不关于原点对称，故排除B；又函数不是奇函数，所以应选择C5.〔恩城中学09届高三上中段考〕定义在正整数集上的函数满足条件：，,,那么的值为〔〕A．－2；B．2；C．4；D．－4[解析]B；由的定义知，是定义在正整数集上的周期为6的函数，故6．〔08年陕西〕为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规那么参加相关数据组成传输信息．设定原信息为〔〕，传输信息为，其中，运算规那么为：，，，，例如原信息为111，那么传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，那么以下接收信息一定有误的是〔〕A．11010；B．01100；C．10111；D．00011[解析]C；假设传输信息为“10111”，那么的值分别为“1，0，1，1，1”这5个数，据题目条件必有；，这与矛盾，故此信息错误。7．〔07年安徽〕定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.假设将方程在闭区间上的根的个数记为，那么可能为〔〕A．0；B．1；C．3；D．5[解析]D；特取，，那么在上的根有5个。8.〔广东南海中学09届模拟〕函数的最小值为〔〕A.1003×1004B.1004×1005C.2024×2024D.2024×2024[解析]A；根据绝对值的几何意义，表示数轴上与数对应的点到数对应的点的距离之和，当此点对应于数1004时取得最小值，为二、填空题：本大题共7小题，每题5分，总分值30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.9．〔韶关市田家炳中学09届测试〕在实数集上定义运算，并定义：假设存在元素使得对，有，那么称为上的零元，那么，实数集上的零元之值是[解析]；根据“零元〞的定义，，故10.设，定义P※Q＝，那么

P※Q中元素的个数为.[解析]12；根据定义，，故有种确定方法；，故有种确定方法，所以P※Q中元素的个数为11．〔金山中学09届〕函数是以2为周期的偶函数，且当时，那么的值_______.[解析]；由是以2为周期的函数得，又是偶函数，且当时，所以12．设,集合那么的值是[解析]；由可知，那么只能，那么有以下对应关系①或②解①得符合题意，②无解，所以▲选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分。13．是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，那么方程在区间〔0，6〕内解的个数的最小值是[解析]4；因是定义在R上的偶函数，故，又知3为的一个周期，所以，，所以区间〔0，6〕内的解的个数的最小值为414．设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，那么[解析]0；由的图象关于直线对称得，又是定义在R上的奇函数，故，从而，故，又，所以15.假设一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,那么称这些函数为“同族函数〞,那么函数解析式为y=x2，值域为{0,4}的“同族函数〞共有_________个.[解析]3个；显然，定义域可为三、解答题：(本大题共6小题,共80分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(此题总分值13分)〔高州中学09届模拟〕设全集，集合，集合(Ⅰ)求集合与；(Ⅱ)求、[解析](Ⅰ)，不等式的解为，………………4分，…………7分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，，……………………10分，………………13分17.〔13分〕集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，假设AB且B≠，求实数m的取值范围。[解析]A={x|x2－3x－10≤0}={x|－2≤x≤5},…………2分如图：假设AB且B≠,那么，…………7分解得2≤m≤3…………13分∴实数m的取值范围是m∈[2,3].…………13分18.(14分)函数y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.试求函数f(x)的解析