知识讲解-直线、平面垂直的性质-基础

PAGEPAGE6直线、平面垂直的性质编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一：直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．（2）若于，，则．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．要点二：平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．要点三：垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．垂直间的关系可按下面的口诀记忆：线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清．平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件．面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝．先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见．借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线．两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面．要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．（1）若a，b都平行于平面，求证：AB⊥；（2）若a，b分别垂直于平面，，且，求证：AB∥c．【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c．证明：（1）如图（1），在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b＇．∵a∥，b∥，∴a∥a＇，b∥b＇．又∵AB⊥a，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥．（2）如图，过B作BB＇⊥，则AB⊥BB＇．又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．∵b⊥，∴b⊥c，∵BB＇⊥，∴BB＇⊥c．∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．故c∥AB．【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直．如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明．举一反三：【变式1】设，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若⊥m，m，则⊥B．若⊥，∥m，则m⊥C．若∥，m，则∥mD．若∥，m∥，则∥m【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．高清：空间的线面垂直398999例3例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；

（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE。（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，∵AE⊂面PAC，故CD⊥AE．（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．举一反三：【变式1】如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F．（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD．【解析】证明：（1）∵SA⊥平面AC，BC平面AC，∴SA⊥BC．∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE．又AE⊥SB，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC．又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC．（2）∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC，又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG．又由（1）有SC⊥平面AEF，AG平面AEF，∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．【变式2】如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．【解析】要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD．(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．由(1)知，需证AE⊥AB．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB．又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD．∴AB⊥AE．即AB⊥MN．又CD∥AB，∴MN⊥CD．(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD．又∠PDA=45°，E为PD的中点．∴AE⊥PD，即MN⊥PD．又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD．【总结升华】本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多要点的一道综合题．(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化．线线垂直→线面垂直→线线垂直．类型二：平面与平面垂直的性质高清：空间的面面垂直399110例2例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．【解析】已知：，，，求证：．证法1：如图（左），在内取一点P，作PA垂直于与的交线于A，PB垂直于与的交线于B，则PA⊥，PB⊥，∵，∴⊥PA，⊥PB．∵PA，PB，PA∩PB=P，∴．证法2：如图（右），在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，∵，，∴，，∴m∥n．又，∴m∥，∴m∥，∴．证法3：如图，在上取一点A，过A作直线m，使．∵，且，∴．同理，∴，即与m重合．∴．【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键．证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷．由此可见，我们必须熟练掌握这一推论．举一反三：【变式1】如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC求证：BC⊥AB．【证明】在平面PAB内，作AD⊥PB于D．∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB．∵AD⊥平面PBC 又BC平面PBC，∴AD⊥BC又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．又AB平面PAB，∴BC⊥AB．类型三：综合应用例4．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1求证：截面MBC1⊥侧面BB1C（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM=MA【解析】（1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥平面BB1C1C．（2）延长B1A1与BM的延长线交于N，连接C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1．∵A1C1=A1N=A1B1，∴C1N⊥B1C∴C1N⊥侧面BB1C1C，∴截面MBC1⊥侧面（3）AM=MA1，证明如下：过M作ME⊥BC1于E，∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面又∵AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE．∵CC1∥AM，∴DE∥CC1．∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点．∴，∴AM=MA1．【总结升华】垂直关系在立体几何中无处不在，是重中之重，我们必须做好它们之间的相互转化工作，即直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直．举一反三：【变式1】如下图，已知三棱锥P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．（1）求证：PA⊥平面ABC；（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．证明：（1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F．因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC．又PA平面PAC，所以DF⊥PA．作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA．又因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，所以PA⊥平面ABC．（2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）．因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE．又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE．所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB．又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．【总结升华】证明两个