关于双曲线的最值（范围）问题的四大类型

关注公众号《品数学》关于双曲线的最值（范围）问题的四大类型类型一：数形结合解决与双曲线交汇的最值问题1．已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线渐近线和顶点的定义求出双曲线的标准方程，进而求出右焦点坐标，再确定点A在双曲线的外部，结合三角形三边之间的关系可知当三点共线时取得最小值，利用两点坐标求距离公式计算即可.【解析】设双曲线方程为，则，所以，双曲线方程为，由，得，，因此在双曲线外部（不含焦点的部分），又，所以，在中，由三边之间的关系可知当是线段与双曲线的交点，即三点共线时，取得最小值，且最小值为，2．已知点A在双曲线C：（b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F1，F2，点B在∠F1AF2的平分线上，BF2⊥AB，若点D在直线l：，则|BD|的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意结合双曲线定义可推得点B落在圆上，由此将|BD|的最小值转化为圆上的点到直线的距离的最小值问题.【解析】作出图形如图所示，设A为双曲线C下支上的一点，延长F2B与AF1交于点M，连接OB，由BF2⊥AB，且∠F1AB=∠F2AB，可得，故，故，则点B落在圆上,因为点O到直线l：的距离为，故的最小值为，3．设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（

）.A．4 B．5 C．6 D．3【答案】A【分析】根据双曲线的对称性，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，进而得到，结合双曲线的定义可知，设，根据题意得到点N的坐标，于是得到点M的轨迹方程，最后求得答案.【解析】双曲线的方程为：，可得，则，设，不妨设点P在双曲线的右支上，延长交于N，则.由题意，，由双曲线的定义：，则，于是，，即点M在以原点为圆心，2为半径的圆上，而圆心（0,0）到直线的距离为：，该直线与圆相切，则点M到该直线的距离的最大值为：2+2=4.类型二：双曲线与基本不等式交汇的最值或范围问题1．已知双曲线：的左､右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线与双曲线的位置关系，表示出，，可求得，根据基本不等式可得.【解析】设，，由题意得A，关于原点对称，∴，∴，，∴，∴，2．设为双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过做的一条渐近线的垂线，垂足为，的面积最小值为16，则的焦距的最小值为（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】首先利用几何关系得到，再利用基本不等式求的最小值，即得焦距的最小值.【解析】设右焦点，其中一条渐近线设为，即，右焦点到渐近线的距离，即，，，的面积的最小值为16，即，，即的最小值是，那么焦距的最小值是，当时等号成立.3．已知双曲线C：，P为双曲线C上的一点，若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，则双曲线的半焦距c的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.【解析】由双曲线的标准标准方程可知该双曲线的渐近线方程为：，即，设，有，因为点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1，所以有，把代入化简得，，4．已知直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，若，则的最小值为（

）A．20 B．22 C．24 D．25【答案】C【分析】设直线的方程为与双曲线方程联立求出点坐标，同理设直线的方程为，求出点的坐标，从而得出,在利用均值不等式可得答案.【解析】依题意得直线与的斜率都存在且不为0，不妨设直线的方程为，则直线的方程为．设，，联立，得，则，，，同理可得，，所以，即，当且仅当时等号成立．【小结】本题通过查直线与双曲线的位置关系，考查基本不等式的应用，解答本题的关键是得到，后，根据表达式的特点，得到，再利用基本不等式求的最小值．属于中档题.类型三：利用不等式思想解决与双曲线有关最值或范围问题1．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且、、成等比数列，为双曲线右支上一点，为的内切圆圆心.若实数满足（表示相应三角形面积）恒成立，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】设的内切圆半径为，求出双曲线的离心率，利用三角形的面积公式以及双曲线的定义可求得的取值范围.【解析】由、、成等比数列得，，即.，.设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，易知，，，.由得，即，则，的取值范围为。2．已知直线是双曲线的两条渐近线，点是双曲线上一点，若点到渐近线的距离的取值范围是，则点到渐近线的距离的取值范围是__________．【答案】【分析】设点P（x0，y0），由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得P到两渐近线的距离之积为定值，由反比例的性质，可得所求范围．【解析】设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比，且，所以3．已知、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，满足，直线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】过点作于，过点作于，利用双曲线的定义以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出关于、的齐次不等式，结合可求得的取值范围.【解析】过点作于，过点作于，因为，所以，又因为，所以，故，又因为，且，所以，因此，所以，又因为直线与圆有公共点，所以，故，即，则，所以，又因为双曲线的离心率，所以.4．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，点是其渐近线上的一点，且以为直径的圆过点，，点为坐标原点.(1)求双曲线的标准方程；(2)当点在轴上方时，过点作轴的垂线与轴相交于点，设直线与双曲线相交于不同的两点、，若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或【分析】（1）求出点的坐标，结合可求得的值，进一步可求得双曲线的标准方程；（2）设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出线段的中点的坐标，分析可知，可得出，再结合以及可求得实数的取值范围.【解析】(1)，，双曲线的渐近线方程为，以为直径的圆过点，所以，，不妨取点在上，设点，，，因为，则，可得，则点,，则，，则，所以，双曲线的标准方程为.(2)由题意可知，设、，线段中点，联立得，依题意，即①，由韦达定理可得，，则，，，，，所以，②，又③，由①②③得：或.类型四：利用函数思想解决与双曲线有关最值或范围问题1．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上位于第一象限的一点，线段过点且，的平分线与线段交于点，与轴交于点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点，由，可求出，及的表达式，连接MO，易知，结合，可得，，进而求出的范围即可.【解析】设点，由题意可得，则，则，∴．如下图，O为坐标原点，连接MO，易知，分别为线段，的中点，所以，且，∴，，∵函数在上单调递减，∴，∴.【小结】本题考查双曲线的性质，考查双曲线中线段的比例关系，解题的关键是通过双曲线的性质、题中几何关系，求得的表达式，进而可求得，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.2．已知实数满足，则的取值范围是____________【答案】【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围.【解析】当，表示椭圆第一象限部分；当，表示双曲线第四象限部分；当，表示双曲线第二象限部分；当，不表示任何图形；以及两点，作出大致图象如图：曲线上的点到的距离为，根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是，与距离为2，曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近2，考虑曲线第一象限的任意点设为到的距离，当时取等号，所以，则的取值范围是。3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线的右顶点，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，设点，分别为，的内心，则的取值范围为__________．【答案】【分析】由题意得AH=AI，F1H=F1J，F2J=F2I，再由双曲线的定义可得：F1H–IF2=2a，进而可得F1J–F2J=2a，设J的横坐标，解出横坐标，设直线AB的倾斜角，则求出ME-NE的表达式，由倾斜角的范围求出其范围.【解析】设直线，，与的内切圆分别相切于点，，，则，，．因为，所以，即，即，设点的横坐标为，则点的横坐标为．因为，，所以，解得，所以点与点重合，且轴；同理，可得轴．设直线的倾斜角为，当时，易得；当时，，，由题可知，所以，又，所以．综上可知，的取值范围为．4．如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.(1)若的面积为，求直线AB的方程；(2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）由题意，先求出椭圆方程和双曲线的方程，然后联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，根据的面积为求出的值即可求解；（2）联立直线和双曲线方程，先求出，再根据的范围即可求解.【解析】(1)由题得，解得，所以椭圆的方程为，等轴双曲线的方程为.由题意，直线PA的斜率存在，设PA：，则PB：，联立，消去得，所以，又，所以，则将换成，得，所以，设，由，消去得，，所以得，则，，，所以，解得，所以直线AB的方程为；(2)由，消去得，解得，所以，，，则，，，所以的取值范围为．方法点拨求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法(1)几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解．(2)代数法：若题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题，然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解．(3)不等式法：借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解．巩固练习1．已知是双曲线上的动点，是圆上的动点，则两点间的最短距离为（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】求出圆心到的距离，再根据得出答案.【解析】圆的圆心坐标为，设则由此。2．已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得点在以为直径的圆上或圆内，即，结合为双曲线上一点，然后解不等式即可【解析】要使得，则点在以为直径的圆上或圆内，，又，且，。3．已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简得，消去，解不等式即得解.【解析】，即，即，又，所以，所以，可得。4．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（

）A．48 B．49 C．50 D．42【答案】A【分析】由已知可确定点坐标，从而确定以为直径的圆，连接，可将转化为，进一步利用向量的线性运算得到，由双曲线性质可确定结果；【解析】由双曲线方程知：右焦点，在双曲线上，直线方程为，令，解得：，；以为直径的圆的圆心为，且．连接，在以为直径的圆上，，，；为双曲线上一点，且，，；【小结】本题考查双曲线中的最值问题的求解，解题关键是能够将所求式子进行转化，可采用几何法转化为关于的最值的求解，或利用坐标运算将问题转化为关于点横坐标的函数的最值的求解.4．设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可判断在轴正半轴上，求出圆心到渐近线的距离和圆半径，可得，进而得出，利用可求.【解析】由题可得渐近线方程为，，由于圆与两条渐近线都相切，则在轴或轴上，又圆过的右顶点，则在轴正半轴上，即，圆心到渐近线的距离为，又圆半径为，则由题可得，即，又，则，，，，则长的取值范围是.【小结】解题的关键是得出在轴正半轴上，根据圆心到渐近线的距离等于半径得出.5．设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用点差法求得，再根据求得的取值范围.【解析】设，则，那么，，两式相减得：，整理得：，即，又因为双曲线的离心率为，所以，所以，故，其中，所以。6．已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知，利用点差法计算得出，结合的取值范围可求得的取值范围.【解析】因为直线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，而双曲线的离心率，当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即，则双曲线的方程为，设、、，则，两式相减得：，即，即，又，．7．（多选题）若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是（

）A．的焦点到渐近线的距离为4 B．的离心率为C．上的点到距离的最小值为2 D．过的最短的弦长为【答案】AC【分析】根据题意，可知，再根据求得，从而得出双曲线的右焦点为，渐近线方程为，根据点到直线的距离公式即可求出焦点到渐近线的距离，即可判断A选项；直接求出离心率可知B选项错误；当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小，即可判断C选项；过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，可得出过的最短的弦长，即可判断D选项.【解析】由题意知，，即，因为，所以，解得：，所以右焦点为，双曲线的渐近线方程为，对于A：到渐近线的距离为，故A正确；对于B：因为，所以双曲线的离心率为，故B错误；对于C：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故C正确；对于D：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故D错误．8．（多选题）在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，，点在双曲线的右支上，则（

）A．直线是双曲线的一条渐近线B．点与直线的距离的最小值为1C．线段的最短长度为1D．线段的最短长度为6【答案】ACD【分析】求出渐近线方程可判断A，由渐近线的性质判断B，由双曲线的性质判断C，由焦点弦性质判断D．【解析】双曲线方程是，则其渐近线方程是，A正确；直线与渐近线平行，因此双曲线上点到直线的距离无最小值．B错；，，当是右顶点时，取得最小值，C正确；设的斜率为，则或，，设，直线方程为，由，得，，，，，因为或，所以，即，所以，当轴时，在中，令，得，此时，综上的最小值为6．D正确．【小结】本题双曲线的中的最值，考查渐近线的含义，通径：是双曲线右支（左支也同样）上过右焦点的弦，当轴时，是双曲线的通径，此时为弦长度的最小值．9．（多选题）已知P是双曲线C：上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（

）A．双曲线的方程为B．双曲线的离心率为C．函数(a＞0，a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点D．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为，则∠PF1F2=【答案】AC【分析】可设，代入双曲线的方程，结合不等式恒成立思想，以及基本不等式求得，进而得到双曲线的方程和离心率，以及焦点，可判断，，，再由焦点三角形面积及双曲线的对称性，即可判断．【解析】可设，可得，即有，由，，可得，即，若恒成立，且实数的最大值为1，可得的最小值为1，由，当时等号成立，则，解得，可得双曲线的方程为，则，故正确，错误；由双曲线的焦点为，，函数，的图象恒过双曲线的焦点，，故正确；由△PF1F2的面积为及双曲线的对称性可知，P点可在左支，也可在右支上，所以∠PF1F2=错误，故错误．【小结】本题考查双曲线的方程和性质，考查不等式恒成立问题解法和函数的图象的特点、以及直线和双曲线的关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10．（多选题）已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（

）A．若，的斜率分别为，，则 B．C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ABD【分析】写出渐近线方程，设，直接计算，然后判断各选项．【解析】由题意双曲线的渐近线为，即，设，不妨设在第一象限，在渐近线上，则，，，A正确；在双曲线上，则，，，，∴，B正确；，当且仅当时等号成立，即的最小值为，C错误；渐近线的斜率为，倾斜角为，两渐近线夹角为，∴，，当且仅当时等号成立，∴，即最小值为，D正确．【小结】本题考查双曲线的标准方程，考查渐近线方程，考查基本不等式求最值，这类题把许多知识点集中在一起同，对学生推理论证能力，分析求解能力要求较高，属于难题．11．（多选题）双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点，点是双曲线上的动点，则的值可能为A．4 B． C．2 D．【答案】ABD【解析】由渐近线上的点的坐标可求得渐近线方程；利用对称关系可知，由此求得；当三点共线且在双曲线右支上时，可知取得最小值，无最大值，由此可判断各个选项能否取得.【解析】由双曲线方程得渐近线方程为：，在渐近线上，

渐近线方程为设坐标原点为，则，，当三点共线且在双曲线右支上时，最小，，又为双曲线上的动点

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无最大值选项中的值均大于，选项中的值小于，选项中的值均有可能取得12．已知双曲线C的方程为，，，双曲线C上存在一点P，使得，则实数a的最大值为___________.【答案】2【分析】设出，根据条件推出在圆上运动，根据题意要使双曲线和圆有交点，则得答案.【解析】设点，由得：，所以，化简得：，即满足条件的点在圆上运动，又点存在于上，故双曲线与圆有交点，则,即实数a的最大值为2，13．已知椭圆，双曲线与椭圆共焦点，且与椭圆在四个象限的交点分别为，则四边形面积的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】设双曲线和椭圆在第一象限得交点为，根据对称性易得四边形是矩形且面积为，只需联立双曲线和椭圆，求出交点表达式即可.【解析】依题意得，双曲线的焦点是，设双曲线方程为，且，不妨设在第一象限，根据对称性易得四边形是矩形，且面积为：，联立，解得，注意到，化简得，于是，所以四边形面积为，又，取等号，则四边形面积最大值为.14．已知双曲线，双曲线上右支上有任意两点、，满足恒成立，则的取值范围是________【答案】【分析】设点，可得出，分析得出，即可解得的取值范围.【解析】设点，则，则或为锐角，如下图所示：设点为双曲线的渐近线在第一象限内的一点，设点为双曲线的渐近线在第四象限内的一点，由题意可知，，则，解得.15．已知是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是___________.【答案】【分析】由两点间的距离公式结合双曲线方程可求得的取值范围.【解析】因为，所以，所以，又，可得，所以，，所以，.16．已知双曲线的离心率为2，且双曲线C与椭圆有相同的焦点．点P在双曲线C上，过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则的最小值为________【答案】【分析】利用离心率和焦点坐标求得双曲线方程，求得双曲线的渐近线，设，，然后利用点到直线的距离求得，然后利用余弦定理结合基本不等式即可求解.【解析】由题意可得，则，故双曲线C的方程为，其渐近线方程为，设点，，，则，，故．因为点P在双曲线C上，所以，则．因为渐近线的倾斜角为，所以，故，在中，由余弦定理可得，当且仅当等号成立，则，即的最小值为．17．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是______.【答案】5【分析】延长交于点，由角平分线性质可知，，即可列出等式，确定点的轨迹，转化圆周上的点到直线的距离的最小值．【解析】由双曲线的方程可得：，则，所以，，，设，，不妨设点在双曲线右支上，延长交于点，则，，如图：由角平分线性质可知，，双曲线的定义可得，即，，，即点在以原点为圆心，2为半径的圆上，因圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离为，18．已知双曲线（，）的左､右焦点分别为､，双曲线的右顶点在圆上，且.(1)求双曲线的标准方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点､，设为坐标原点.①求证：点与点的横坐标的积为定值；②求△周长的最小值.【分析】（1）由在圆上求出参数a，利用向量数量积的坐标表示求出参数c，进而可得双曲线方程.（2）①设直线为，联立双曲线求得，联立渐近线与直线方程求与的横坐标，注意直线斜率不存在情况的讨论；②法1：利用两点距离公式求，结合基本不等式及①结论即可求周长最小值；法2：由①结论及两点距离公式可得，再由余弦定理求，进而应用基本不等式求的最小值，注意等号成立条件.【解析】(1)设双曲线的半焦距为，由在圆上，得：，由，得：，所以，则双曲线的标准方程为.(2)①当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，联立，消去得：，由直线与双曲线有且只有一个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别相交知：直线与双曲线的渐近线不平行，所以且，于是得，则，双曲线的渐近线为，联立，消去得：，设，，则.当直线的斜率不存在时，，故，综上，点与点的横坐标的积为定值3.②法1：由①，，则，当且仅当时取等号，所以△周长的最小值为6.法2：由①，则，，在△中，由余弦定理，所以△的周长为，当且仅当时取等号，所以△的周长的最小值为6.19．已知双曲线C：的左右顶点分别为，，两条准线之间的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程；(2)若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值．【答案】(1)；(2)1【分析】（1）求得双曲线C的的，即可求得双曲线C的标准方程；（2）以设而不求的方法先判定直线MN过定点，再去求点B到直线MN的距离的最大值．【解析】(1)由题意得．设双曲线C的焦距为2c，则，所以．所以，所以双曲线C的标准方程．(2)设，则直线PA的方程为：．由，得．因为直线PA与C交于A，M，所以，所以．因为，所以，，所以因为直线PB的方程为由，得．因为直线PB与C交于B，N，所以，所以．因为，所以，，所以．所以当时，直线MN的方程为．令，得．所以直线MN过定点．当时，，所以直线MN过定点．所以当时，点B到直线MN的距离取得最大值为1．20．已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．(1)求双曲线的方程；(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．【分析】（1）设双曲线的半焦距为，由建立关于的方程，并求出的值，再将点坐标代入双曲线得，结合，解得，的值，即可求出双曲线的方程；（2）先设直线的方程为，再分别与双曲线的渐近线方程联立，得到，的表达式，即可求出长度的表达式，联立双曲线与直线的方程，整理成关于的一元二次方程．设，，结合韦达定理求出，的表达式，并得到的取值范围，进而求得的表达式，化简，再结合的取值范围即可求解．【解析】(1)设双曲线的半焦距为，∵，∴．又，，解得，，∴双曲线的方程为．(2)由题意可设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为，联立得，联立得，∴．联立得，设，，则，，由即，∴，∴．又，∴，∴，∴的取值范围为．【小结】本题以双曲线为背景，考察双曲线的方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属综合困难题.21．已知双曲线C：的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为．(1)求双曲线C的方程；(2)直线（）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围．【分析】（1）利用双曲线的离心率、点在双曲线上及得到关于、、的方程组，进而求出双曲线的标准方程；（2）联立直线和双曲线的方程，得到关于的一元二次方程，利用直线和双曲线的位置关系、根与系数的关系得到两个交点坐标间的关系，利用A，B两点都在以点为圆心的同一圆上得到，再利用向量的数量积为0得到、的关系，进而消去得到的不等式进行求解.【解析】(1)因为过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为，所以点在双曲线上，由题意，得，解得，，，即双曲线的标准方程为.(2)联立，得，因为直线与该双曲线C交于不同的两点，所以且，即且，设，，的中点，则，，因为A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，所以，即，因为，，所以，即，将代入，得，解得或，即m的取值范围为或.22．在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；(2)曲线上一点P，点A､B分别