结构力学（ⅠⅠ）第4版 课件全套 第11-13章　矩阵位移法、结构的动力计算、结构的稳定计算

第11章矩阵位移法●本章教学的基本要求：掌握用矩阵位移法计算平面杆件结构的原理和方法。包括单元和结点的划分；单元和结构坐标系中单元刚度矩阵的形成；用单元定位向量形成结构刚度矩阵；形成结构综合结点荷载列阵；结构刚度方程的形成及其求解；结构各杆内力和支座约束力的计算。掌握矩阵位移法的计算步骤。

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本章教学内容的重点：用先处理法形成结构刚度矩阵和综合结点荷载列阵。●本章教学内容的难点：用先处理法形成结构刚度矩阵中各步骤的物理意义；单元刚度矩阵和结构刚度矩阵中刚度系数的物理意义和求法；矩阵位移法与位移法之间的联系与区别。●

本章内容简介:11.1概述11.2杆件结构的离散化11.3单元坐标系中的单元刚度矩阵11.4结构坐标系中的单元刚度矩阵11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.6结构的综合结点荷载列阵11.7求解结点位移和单元杆端力11.8矩阵位移法的计算步骤和算例第11章矩阵位移法11.1概述11.1.1结构矩阵分析结构矩阵分析以结构力学的原理为基础，采用矩阵进行运算，公式紧凑，形式统一，便于计算过程的规格化和程序化，满足电子计算机进行自动化计算的要求。11.1.2结构矩阵分析的两类方法力法位移法传统结构分析方法结构矩阵分析方法矩阵力法（柔度法）矩阵位移法（刚度法）结构矩阵分析有时也称为杆件结构的有限单元法。11.1.3矩阵位移法的三个基本环节矩阵位移法就是以矩阵形式表达的位移法。1.结构的离散化2.单元分析3.整体分析把结构划分为有限个较小的单元，各单元只在有限个结点处相连。分析杆单元的杆端内力与杆端位移之间的关系，以矩阵形式表示，建立单元刚度方程。通过考虑各结点的变形协调条件和平衡条件，建立整个结构的刚度方程，以求解原结构的结点位移。11.1概述11.2杆件结构的离散化11.2.1单元与结点的划分和编号1.单元与结点的划分

基本要求：保证单元为等截面直杆。此外，应兼顾计算的方便和结构的特殊形式。2.单元与结点的编号

单元号用①、②、③、…表示；结点号用1、2、3、…表示。11.2.2两种直角坐标系矩阵分析中，为了矢量分析的方便，需要采用两种直角坐标系，即结构坐标系和单元坐标系。采用右手旋转直角坐标系，如图所示。11.2杆件结构的离散化11.2.3单元杆端力和杆端位移的表示方法单元杆端截面的内力和位移分别称为单元杆端力和杆端位移。平面刚架中的第e个单元，其始端和末端的结点编号分别为i和j。11.2杆件结构的离散化1.单元坐标系中的单元杆端力和杆端位移在单元分析时，各杆端力和杆端位移均应按照一定的次序排列，一般规定先“始端”后“末端”。11.2杆件结构的离散化2.结构坐标系中的单元杆端力和杆端位移杆端线位移与结构坐标系正向一致为正，杆端转角以顺时针方向为正。11.2杆件结构的离散化11.2.4单元坐标转换为了便于利用单元坐标系中的单元杆端力和杆端位移来建立结构坐标系中的结构刚度方程，有必要建立单元杆端力和杆端位移在两种坐标系之间的转换关系。11.2杆件结构的离散化写成矩阵形式，则有（11-5）（11-6）11.2杆件结构的离散化其中（11-7）称为平面刚架单元坐标转换矩阵，它是正交矩阵，因而满足（11-8）不同坐标系下，单元杆端力转换关系如下11.2杆件结构的离散化（11-6）（11-9）（11-10）（11-11）单元杆端位移与单元杆端力一样，同为矢量，故不同坐标系下单元杆端位移的转换关系与单元杆端力的相同，具体如下11.2杆件结构的离散化11.3单元坐标系中的单元刚度矩阵11.3.1一般单元的单元刚度方程和单元刚度矩阵单元杆端力和杆端位移之间的转换关系，称为单元刚度方程。单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之间的转换矩阵。在单元坐标系中，单元刚度方程可表示为为单元坐标系中的单元刚度矩阵。

式中，在线弹性小变形范围内，可忽略轴向变形与弯曲变形之间的相互影响，根据杆件的拉压胡克定律和无荷载作用时的转角位移方程，可写出关系式

11.3.1一般单元的单元刚度方程和单元刚度矩阵11.3单元坐标系中的单元刚度矩阵写成矩阵形式简写为称为单元坐标系中平面刚架一般单元的单元刚度方程。11.3单元坐标系中的单元刚度矩阵其中称为单元坐标系中平面刚架一般单元的单元刚度矩阵，简称单刚。是6×6阶的方阵。11.3单元坐标系中的单元刚度矩阵11.3.2单元刚度矩阵的性质1.单刚是单元固有的性质单刚中各元素只与单元的弹性模量E、横截面面积A、惯性矩I及杆长l等有关，而与外荷载等其他因素无关。

2.单元刚度系数的物理意义单元刚度矩阵中的每个元素称为单元刚度系数，代表由于单位杆端位移引起的杆端力。1）任一个元素表示第l个杆端位移分量等于1（其余位移分量等于零）时，所引起的第m个杆端力分量的值。

11.3单元坐标系中的单元刚度矩阵11.3.2单元刚度矩阵的性质2）某一列的六个元素，表示当该列对应杆端位移分量等于1（其余位移分量等于零）时，所引起的六个杆端力分量。3）某一行的六个元素，分别表示各个杆端位移分量分别等于1时，所引起的按该行号顺序排列的那个杆端力分量的数值。单刚中第五列元素11.3单元坐标系中的单元刚度矩阵3.单元刚度矩阵是对称矩阵11.3.2单元刚度矩阵的性质单元刚度矩阵中位于主对角线两边处于对称位置上的两个元素（简称副系数或副元）相等。

4.一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵的行列式之值等于零，不存在逆矩阵。11.3单元坐标系中的单元刚度矩阵5.单元刚度元素值的性质1）主系数恒大于零。2）第二列和第五列各非零元素等值反号。3）第三列和第六列相比，只需将第三行和第六行元素交换。11.3.2单元刚度矩阵的性质如果已知单元结点位移，可惟一求出单元杆端力；反之，则没有惟一解。无外界约束的一般单元，也称自由单元。任一自由单元还可以产生任意的刚体位移，故某一组满足平衡条件的杆端力可以与弹性位移和任意刚体位移组成的多组杆端位移相对应。11.3单元坐标系中的单元刚度矩阵采用上述同样的方法还可以得出其他各种特殊单元（如一端固定而另一端为铰支或定向支承或自由的梁单元等）的刚度方程和刚度矩阵。在结构矩阵分析中，我们着眼于计算过程的程序化、标准化和自动化，因而，无论i、j两端的约束情况如何，都可按一般单元情况处理，即采用一种标准化形式（一般单元）的刚度矩阵。这时，需要把实际铰支或自由端未知的位移作为求解的未知位移。此外，在采用计算机进行分析时，一般都把杆件的轴向变形影响考虑进来，使程序编制上更为简单，而且对于大多数情况，这样得到的结果更为准确。11.3单元坐标系中的单元刚度矩阵（称为结构坐标系中的单元刚度方程）。可得称为结构坐标系中的单元刚度矩阵，仍然是对称矩阵；由于仍为自由单元，故仍然是奇异矩阵。其中元素的值还与结构坐标系到单元坐标系之间的夹角a有关。a以从结构坐标系x轴顺时针旋转到单元坐标系轴方向为正。11.4结构坐标系中的单元刚度矩阵根据前述杆端力和杆端位移的坐标转换关系，以及单元坐标系中的单刚方程，可得比对平面刚架一般单元的单元刚度矩阵对称

11.4结构坐标系中的单元刚度矩阵11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.5.1结构的整体分析结构刚度方程可写作

D为待求的基本未知量（结点位移）列阵；

F为结构的综合结点荷载列阵（也称总荷载列阵）；

K为结构刚度矩阵，简称总刚，是结构各结点力与结点位移之间的转换矩阵。1.先处理法所谓先处理法，就是一开始即考虑结构的支承条件，把已知的支座位移排除在基本未知量之外，相应地，结构的综合结点荷载列阵中也不包括支约束力。因而，所形成的结构刚度方程阶数小，不用再修正。先处理法可很方便地处理有铰结点的结构、各种性质的支承结点结构及忽略轴向变形的结构。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.5.2先处理法和后处理法在整体分析时，必须考虑和引入支承边界条件，而这一条件可以在形成整体刚度方程之前或之后处理，因而形成了先处理法和后处理法两种做法。11.5.2先处理法和后处理法在整体分析时，必须考虑和引入支承边界条件，而这一条件可以在形成整体刚度方程之前或之后处理，因而形成了先处理法和后处理法两种做法。2.后处理法所谓后处理法，就是先不考虑支承条件，把已知的支座结点位移和自由结点的位移也一并列入结构的结点位移列阵中，形成不受约束的原始刚度方程；然后，再根据结点的实际支承条件修正原始刚度方程，形成结构刚度方程，以求解结点位移。后处理法的基本未知量数目更多，占用计算机的内存和机时更多。一般用于结点多而支座约束少、考虑轴向变形的结构。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.5.3结点位移分量的统一编码—总码当采用一般单元考虑单元的轴向变形时，结构的每个结点一般有三个位移（u,v,q）。采用先处理法计算，首先应按照结构的结点顺序，依次对每个结点的未知位移分量u、v、q统一编码（又称为结点未知量编码）。1）对于取作基本未知量的有效结点未知量，按照结点顺序（每个结点又按照u、v、q

的顺序），依次连续编码即1，2，…，n。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵2）对于已知的支座结点位移分量（包括为零和非零两种情况），编“0”号。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵3）对于平面刚架内部有铰结点（全铰或半铰结点）的情况，因采用一般单元来分析，杆在铰端的转角也是未知量，故应将相互铰结的杆端编以不同的结点号（即进行双编号）。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵4）对于无效结点未知量（即计算中不需考虑的结点未知量），编“0”号11.5用先处理法形成结构刚度矩阵5）对于忽略轴向变形的刚架，每个刚结点在某一方向上的位移分量不一定都是独立的。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.5.4单元定位向量1.定义将单元始末两端的结点位移分量的统一编码（即结点未知量编码）按顺序排列所组成的列向量称为单元定位向量。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵2.单元定位向量的作用单元定位向量不但可以用来确定单元刚度矩阵各元素在结构刚度矩阵K中的位置，以及单元杆端位移向量各元素在整个结构的结点位移向量Δ中的位置，而且，可以用来确定单元等效结点荷载（由单元上非结点荷载等效转换而得到的结点荷载）各元素在结构综合结点荷载列阵P中的位置。3.单元定位向量的优点借助于单元定位向量，可以很方便地解决计算机自动化计算中所需的信息。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.5.5按照直接平衡法形成结构刚度方程和结构刚度矩阵图a)所示在结点荷载作用下的平面刚架，讨论结构刚度方程的建立。该刚架有5个结点、8个结点位移未知量，在结点1、结点2（或3）和结点4上作用有结点荷载。结构的结点位移列阵和结点荷载列阵分别为11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.5用先处理法形成结构刚度矩阵图b)为结构坐标系中单元隔离体和结点隔离体的受力情况。

11.5用先处理法形成结构刚度矩阵根据各结点的平衡条件，可得如下方程11.5用先处理法形成结构刚度矩阵根据变形协调条件，单元杆端位移应等于与之相连的结点的结点位移，由图a)，可得于是，用结构的结点位移表示的结构坐标系中的单元①至单元③的刚度方程，分别如下列各式所示。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.5用先处理法形成结构刚度矩阵展开以上三式，就可得到用结构的结点位移表示的单元杆端力。例如

11.5用先处理法形成结构刚度矩阵将上式代入，可得同理，可得11.5用先处理法形成结构刚度矩阵将上两式汇总写成矩阵形式，得11.5用先处理法形成结构刚度矩阵上式就是图a)所示平面刚架的结构刚度方程。与KD=F比较可知，其左边的8×8阶矩阵就是结构刚度矩阵K，即11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.5.6按照直接刚度法形成结构刚度矩阵结构刚度矩阵的元素是由单刚元素按照一定规律组成的，只要确定了单刚元素在结构刚度矩阵中的位置，就可以由各单元的单刚直接集成结构刚度矩阵K。利用单元定位向量确定单刚元素在结构刚度矩阵中的行码和列码后，直接将单刚元素送入结构总刚中的对应位置，这种装配结构总刚的方法，称为直接刚度法。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵1.装配过程1)计算单元e在结构坐标系中的刚度矩阵Ke，将其定位向量中各分量（始末两端结点未知量编码——简称“总码”）及单元自身的结点位移分量编码——简称“局部码”,分别写在Ke的上方和右侧。2)按照单元定位向量中的非零分量所指定的行码和列码，将各单元刚度矩阵中的元素，正确地叠加到结构刚度矩阵K中去，行、列码相同的元素则相加。这一作法称为对号入座，同号相加。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵例如，上列刚架各单元的定位向量分别为

11.5用先处理法形成结构刚度矩阵按照单元定位向量的指引，分别送入8×8阶的结构总刚中“对号入座”，这样形成的K1、K2和K3矩阵，称为每个单元对总刚的贡献矩阵。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵显然，结构总刚K与三个单元贡献矩阵的关系为K=K1+K2+K3将三个单元贡献矩阵中相同行、列的各元素“同号相加”，即可最后装配总刚。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵2.直接刚度法的正确性说明总刚K中任一元素kij，表示结点位移列阵D中第j个结点位移分量dj=1（其余结点位移分量均为零）时，所引起的结点荷载列阵F中第i个结点力分量fi之值。

例如，前述例子结构总刚的刚度系数k12，表示当结点位移分量d2=1（其余结点位移分量为零）时，所引起的结点荷载列阵F中第1个结点力分量f1之值，如下图所示。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵2.直接刚度法的正确性说明总刚K中任一元素kij，表示结点位移列阵D中第j个结点位移分量dj=1（其余结点位移分量均为零）时，所引起的结点荷载列阵F中第i个结点力分量fi之值。

例如，前述例子结构总刚的刚度系数k12，表示当结点位移分量d2=1（其余结点位移分量为零）时，所引起的结点荷载列阵F中第1个结点力分量f1之值，如下图所示。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.5用先处理法形成结构刚度矩阵12当d2=1时，则应有单元①的d5(1)=1和单元②的d2(1)=1，分别如图b)、c)所示。再由结点1水平方向的受力（图d所示）及其平衡条件∑Fx=0，可得k12=k45(1)+k12(1)，与之前推导的结果一致。3.结构刚度矩阵K中的元素的组成规律如果将单元定位向量中有编号i的所有单元称为未知量di的相关单元，将与未知量di同属一个单元的其他未知量称为未知量di的相关未知量，则结构刚度矩阵K具有如下组成规律：

11.5用先处理法形成结构刚度矩阵(1)主对角线元素（简称主元）kii

kii由未知量di的相关单元的单刚中的相应主对角线元素叠加而成。

(2)非主对角线元素kij（i≠j）kij有两种情况：若di和dj是相关未知量，则kij=kji≠0；若di和dj不是相关未知量，则kij=kji=0

。11.5用先处理法形成结构刚度矩阵1)结构刚度矩阵K是一个N×N阶的方阵，N为结点的位移未知量数。2)结构刚度矩阵K是一个对称矩阵，K=K

T。这可由约束力互等定理证明K中对称于主对角线的元素两两相等，即kij=kji。3)结构刚度矩阵K是正定的。即|K|>0，且kii>0。

4)结构刚度矩阵K是一个带状矩阵，即非零元素分布在主对角线的附近。因此，在同一单元内的未知量编码差值应尽量保持最小值。在实际结构分析中所遇到的结构刚度矩阵一般都是大型稀疏矩阵。非零元素很少，往往只占10%左右。11.5.7结构刚度矩阵K的性质11.5用先处理法形成结构刚度矩阵

【例11-1】试形成图示刚架的结构刚度矩阵。已知EA=4.8×106kN，EI=0.9×105kN·m2。

解：(1)结构离散化

(2)形成结构坐标系中的单刚11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.5用先处理法形成结构刚度矩阵

(3)形成结构刚度矩阵（对号入座，同号相加）11.5用先处理法形成结构刚度矩阵11.6结构的综合结点荷载列阵11.6.1形成单元的等效结点荷载列阵11.6.2计算结构的综合结点荷载列阵F

1.形成各单元在结构坐标系中的等效结点荷载列阵1)计算在单元坐标系中的单元固端约束力2)计算在单元坐标系中的单元等效结点荷载将固端约束力反号，得到单元坐标系中的单元等效结点荷载3)计算在结构坐标系中的单元等效结点荷载

即固定结点即放松结点即坐标转换11.6结构的综合结点荷载列阵2.“对号入座，同号叠加”形成结构等效结点荷载将各单元在结构坐标系中的等效结点荷载列阵元素，按其单元定位向量的指示，装入结构等效结点荷载列阵FE中。若不同单元有装入相同位置的元素，则进行叠加。3.形成结构的综合结点荷载列阵将结构原本所受的结点荷载所构成的列阵（称为结构直接结点荷载FJ），与结构等效结点荷载列阵FE叠加，形成结构的综合结点荷载列阵。F=FJ+FE11.6结构的综合结点荷载列阵【例11-2】试求图示结构的综合结点荷载列阵F。解：(1)计算单元固端约束力，，11.6结构的综合结点荷载列阵(2)计算单元等效结点荷载

单元①：11.6结构的综合结点荷载列阵单元②：11.6结构的综合结点荷载列阵单元③：11.6结构的综合结点荷载列阵(3)利用单元定位向量形成结构的等效结点荷载列阵FE按单元定位向量，“对号入座，同号相加”

11.6结构的综合结点荷载列阵(4)形成结构的综合结点荷载列阵F11.6结构的综合结点荷载列阵11.7求解结点位移和单元杆端力结构刚度方程（即位移法的基本方程）11.7.1求解结点位移D用先处理法直接形成的结构刚度方程，是一个线性代数方程组，其结构刚度矩阵K为对称正定矩阵。求解此方程组，即可得到未知结点位移D的惟一确定解。11.7.2求单元杆端位移11.7.3求单元杆端内力应该注意杆端内力符号与传统结构分析中的差异性11.7求解结点位移和单元杆端力按上两式求得单元杆端力中，杆端轴力与轴正向同向为正，杆端剪力与轴正向同向为正，杆端弯矩以顺时针方向为正。这与本书前面各章节中内力正负号规定不尽相同。注意在绘内力图时，仍应按原规定的内力正负号进行绘制，即轴力以受拉为正，剪力以绕它端顺时针旋转为正，弯矩不区分正负，而应绘在杆件受拉一侧。

11.7求解结点位移和单元杆端力11.8矩阵位移法的计算步骤和算例11.8.1先处理法的计算步骤

1）对结构进行离散化。建立单元坐标系和结构坐标系，并对结点、单元及结点位移分量分别进行编号。2）形成单元坐标系中的单元刚度矩阵。3）形成结构坐标系中的单元刚度矩阵。4）按直接刚度法形成结构刚度矩阵。5）形成结构的综合结点荷载列阵。6）求解未知结点位移列阵。7）计算杆端内力，绘内力图。1.平面刚架【例11-3】试用先处理法计算图示刚架的内力。已知各杆EA=4.8×106kN，EI=0.9×105kN·m2。

解：(1)形成结构刚度矩阵（参见例11-1）11.8.2举例11.8矩阵位移法的计算步骤和算例12345612345611.8矩阵位移法的计算步骤和算例(2)计算结构的综合结点荷载列阵（参见例11-2）(3)解结构刚度方程，求结点位移列阵11.8矩阵位移法的计算步骤和算例解得结点位移为11.8矩阵位移法的计算步骤和算例(4)计算各单元杆端力单元①11.8矩阵位移法的计算步骤和算例单元②11.8矩阵位移法的计算步骤和算例单元③11.8矩阵位移法的计算步骤和算例(7)根据上述计算结果作内力图，如下图所示。11.8矩阵位移法的计算步骤和算例2.连续梁单元连续梁离散得出的单元（通常忽略轴向变形），只有两端的弯矩和与转角存在，其余位移为零，即其单元刚度方程为11.8矩阵位移法的计算步骤和算例故T=I，且其单刚为对于连续梁，各单元坐标轴与结构坐标轴方向一致，无需坐标转换。不计轴向变形的无结点线位移刚架，也可以使用本类连续梁单元进行计算。11.8矩阵位移法的计算步骤和算例【例11-4】试用先处理法计算图示连续梁的内力，并作弯矩图。忽略各杆轴向变形的影响。解：(1)结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元编号及结点位移未知量编码如图所示。(2)形成整体坐标系中的单元刚度矩阵。11.8矩阵位移法的计算步骤和算例1211.8矩阵位移法的计算步骤和算例(3)利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K

(4)形成结构综合结点荷载列阵P11.8矩阵位移法的计算步骤和算例再利用单元定位向量形成结构综合结点荷载列阵(5)形成结构刚度方程，解方程求结点位移11.8矩阵位移法的计算步骤和算例解方程，得结点位移D为(6)利用单元定位向量从结点位移D中取出各单元杆端位移11.8矩阵位移法的计算步骤和算例11.8矩阵位移法的计算步骤和算例M图(kN.m)(7)作弯矩图11.8矩阵位移法的计算步骤和算例3.桁架单元对于理想桁架，各杆件只有轴向变形，在单元坐标系中杆端位移仅有轴向位移的存在，而其它位移为零，即其单元刚度方程为单元坐标系中的单刚为11.8矩阵位移法的计算步骤和算例对称坐标转换矩阵为结构坐标系中的单刚为11.8矩阵位移法的计算步骤和算例形成平面桁架结构刚度矩阵K的方法与平面刚架相同。对结点位移分量编码应注意，桁架单元的结点角位移不作为基本未知量。【例11-5】试用先处理法计算图示桁架的内力。各杆EA相同。

解：(1)结构坐标系、单元坐标系、结点编号、单元编号及结点位移未知量编码如图所示。11.8矩阵位移法的计算步骤和算例(2)形成整体坐标系中的单元刚度矩阵单元①和单元③:a=p/2单元①单元③11.8矩阵位移法的计算步骤和算例单元②和单元④:a=0单元②单元④11.8矩阵位移法的计算步骤和算例单元⑤:a=p

/4单元⑥:a=3p

/411.8矩阵位移法的计算步骤和算例(3)利用单元定位向量形成结构刚度矩阵K(4)形成结构的综合结点荷载列阵P11.8矩阵位移法的计算步骤和算例(5)形成结构刚度方程解方程，得结点位移D为11.8矩阵位移法的计算步骤和算例(6)计算各单元轴力11.8矩阵位移法的计算步骤和算例11.8矩阵位移法的计算步骤和算例FN图(kN)11.8矩阵位移法的计算步骤和算例第12章结构的动力计算●

本章教学的基本要求：掌握动力分析的基本方法及体系动力自由度数的判别方法；掌握单自由度和两个自由度体系运动方程的建立方法，及其自由振动和在简谐荷载作用下强迫振动的计算方法；了解阻尼的作用；了解多自由度体系在一般动力荷载作用下的强迫振动；了解频率的近似计算方法。●

本章教学内容的重点：动力自由度数的判别方法；单自由度体系运动方程的建立；单自由度及有限自由度（重点是两个自由度）体系动力特性的计算；单自由度、有限自由度体系在简谐荷载作用下内力、位移的计算；阻尼对振动的影响。●

本章教学内容的难点：用刚度法和柔度法建立单自由度体系的运动方程；在动力特性和动力反应计算中，刚度系数和柔度系数的计算；单自由度和两个自由度体系在简谐荷载作用下动力反应的计算。12.1概述12.2单自由度体系的运动方程12.3单自由度体系的自由振动12.4单自由度体系的强迫振动12.5阻尼对振动的影响12.6多自由度体系的自由振动12.7主振型的正交性12.8多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动12.9多自由度体系在任意动力荷载作用下的强迫振动12.10*无限自由度体系的自由振动12.11近似法计算自振频率第12章结构的动力计算●

本章内容简介:12.1概述12.1.1结构动力计算的任务1.基本任务结构静力学：主要研究结构在静力荷载作用下的静力反应。●静内力●静位移（均有唯一性解答）作为结构设计的依据结构动力学：主要研究结构在动力荷载作用下（即强迫振动）的动力反应。●动内力：求最大动内力，进行强度设计，使之满足强度要求。●动位移:求最大动位移，进行刚度设计,使之保证振动情况能为人体和生产(产品)所允许。●其他(速度和加速度):求最大速度、最大加速度，不超过其允许值，使之保证振动情况能为人体和生产(产品)所允许。12.1概述1.基本任务2.研究动力反应的前提和基础以上为结构本身的动力特性，与荷载无关。分析结构的自由振动，求出：●自振频率（2p秒内振动的次数）●自振周期（振动一次所需的时间）●自振型式（阻尼：使振动衰减的因素；阻尼常数：反映阻尼情况的基本参数）●阻尼常数（反映阻尼情况的基本参数；阻尼：使振动衰减的因素）12.1概述

3.土木工程中常见结构振动计算问题

●高层建筑、高耸结构和大跨度桥梁的风振分析

●各类工程结构的抗震设计

●高速行驶的车辆对桥梁结构的振动影响

●动力设备基础上的振动计算和减振、隔振设计等

●多层厂房中由于动力机器引起的楼面振动计算

4.本课程主要介绍具有线弹性特征的杆件结构，在确定性动力荷载作用下的动力计算方法；对随机荷载作用（如地震、风振），也将作简要介绍。

12.1概述12.1.2结构动力计算的特点（三个方面）1.动力荷载的特点

(1)静力荷载：荷载（大小、方向、作用位置）不随时间而变化，或随时间极其缓慢地变化（质点被近似地视为在常力作用下作匀速运动，适用于惯性定律，即牛顿第二定律），以致所引起的结构质量的加速度（）及其惯性力（）可以忽略不计。

(2)动力荷载(也称干扰力)：荷载（大小、方向、作用位置）随时间明显变化（质点在变力作用下作加速运动），以致所引起的结构质量的加速度（）及其惯性力（）是不可忽略的。12.1概述

2.动力反应的特点动力反应与结构本身的动力特性有关。因此，在计算动力反应之前，必须先分析结构的自由振动，以确定结构的动力特性。

3.动力计算方法的特点一般采用动静法（亦称惯性力法），即动力计算转化为静力计算根据达朗伯原理(引入附加惯性力，考虑瞬间动平衡）12.1概述动力计算所建立的运动方程为微分方程：1）单自由度体系：一个变量的二阶常微分方程2）多自由度体系：多个变量的二阶常微分方程组3）无限自由度体系：高阶偏微分方程12.1概述对于冲击、突加等几种特殊动力荷载，则常可采用冲量法求解。12.1.3动力荷载的分类

1.周期荷载随时间按周期变化的荷载。(1)简谐荷载是周期荷载中最简单和最重要的一种。其随时间t的变化规律可用正弦函数或余弦函数表示。12.1概述

(2)非简谐周期荷载

凡有曲柄连杆的机器（如活塞式空气压缩机、柴油机、锯机等）在匀速运转时都会产生这种荷载。2.冲击荷载在很短时间内骤然增减的集度很大的荷载。12.1.3动力荷载的分类12.1概述3.突加常量荷载以某一恒值突然施加于结构上并在较长时间内基本保持不变的荷载。12.1.3动力荷载的分类12.1概述在将来任一时刻的数值无法事先确定的荷载。不能用数学式定义，但可采用概率论和数理统计的方法，从统计方面来进行定义。地震、脉冲风压和波浪所产生的荷载是其典型例子。

4.随机荷载12.1.3动力荷载的分类12.1概述12.1.4动力计算中体系的自由度

1.动力自由度的定义为了完全确定体系在运动过程中任一时刻质量位置所必需的独立几何参数的数目，称为体系的动力自由度（动力分析的基本未知量是质点的位移）。

2.体系动力自由度的简化（常用的简化方法有下列三种）

(1)集中质量法

集中质量法是从物理的角度提供一个减少动力自由度的简化方法。该方法把连续分布的质量（根据静力等效原则）集中为几个质点（质点，无大小、几何点，但有质量），这样，就把无限自由度体系，简化成有限自由度体系。12.1概述a)具有均布质量的简支梁b)无穷多个集中质量

(1)集中质量法12.1概述12.1概述

(1)集中质量法

(2)广义坐标法广义坐标法是从数学的角度提供的一个减少动力自由度的简化方法。例如，具有分布质量的简支梁的振动曲线（位移曲线），可近似地用三角级数表示为12.1概述式中，是一组给定的函数，称作位移函数或形状函数，与时间无关；是一组待定参数，称作广义坐标，随时间而变化。因此，体系在任一时刻的位置，是由广义坐标来确定的。注意：这里的形状函数只要满足位移边界条件，所选的函数形式可以是任意的连续函数。（a）也可写成更一般的形式式中，是从自动满足位移边界条件的函数集合中任意选取的n个函数，因此，体系简化为n个自由度体系。广义坐标法将应用于后面的振型叠加法和能量法。12.1概述(b)

(3)有限单元法有限单元法可看作是广义坐标法的一种特殊应用。把体系的离散化和单元的广义坐标法二者结合起来，就构成了有限单元法的概念。有限单元法其具体作法是：第二，取结点的位移参数和，即y1，θ1和y2，θ2为广义坐标。第一，将结构离散为有限个单元。12.1概述第三，分别给出与结点的位移参数（均为1时）相应的形状函数，即、、和，称作插值函数（它们确定了指定结点位移之间的形状）。

12.1概述

(3)有限单元法第四，仿照公式(b)，体系的位移曲线可用四个广义坐标及其相应的四个插值函数表示为可事先给定，让其满足边界条件。这样，就把无限自由度体系简化为四个自由度（y1，q1，y2，q2）体系。有限单元法综合了前面集中质量法和广义坐标法的某些特点。须强调的是：动力分析中的自由度，一般是变形体体系中质量的动力自由度。而前面第2章几何组成分析中的自由度，是不考虑杆件弹性变形的体系的自由度。12.1概述

(3)有限单元法3.动力自由度的确定(1)用广义坐标法或有限元法将无限自由度体系简化为有限自由度体系时，体系的自由度数等于广义坐标数或独立结点位移数。(2)用集中质量法简化得到的有限自由度体系，在确定体系的自由度数目时，应注意以下两点：

1)一般受弯结构的轴向变形忽略不计。2)动力自由度数不一定等于集中质量数，也与体系是否超静定和超静定次数无关，但往往与计算精度有关。

确定动力自由度的方法：一般可根据定义直接确定；对于比较复杂的体系，则可用限制集中质量运动的方法（即附加支杆的方法）来确定。12.1概述

1)单自由度体系12.1概述

2)多自由度体系12.1概述12.1概述

2)多自由度体系12.2单自由度体系的运动方程描述体系振动时质点动位移的数学表达式，称为动力体系的运动方程（亦称振动方程）。单自由度体系的动力分析能反映出振动的基本特性，是多个自由度体系分析的基础。本章只介绍微幅振动（线性振动）。根据达朗伯原理建立运动方程的方法称为动静法（亦称惯性力法）。具体作法有两种：刚度法和柔度法。刚度法：将力写成位移的函数，按平衡条件列出外力（包括假想作用在质量上的惯性力和阻尼力）与结构抗力（弹性恢复力）的动力平衡方程（刚度方程），类似于位移法。柔度法：将位移写成力的函数，按位移协调条件列出位移方程（柔度方程），类似于力法。12.2单自由度体系的运动方程

1.单自由度体系的振动模型12.2.1按平衡条件建立运动方程——刚度法m12.2单自由度体系的运动方程(1)动力荷载：(2)弹性恢复力：(3)阻尼力：(4)惯性力：2.取质量m为隔离体，其上有四种力作用

m12.2单自由度体系的运动方程

3.建立运动方程根据达朗伯原理，由SFx＝0，得代入，即得m(a)

【说明】为了表述简明，以下各方程和各图形中的及除FP(t)外各力均省去自变量(t)。12.2单自由度体系的运动方程【例12-1】试用刚度法建立图示刚架受动力荷载FP(t)作用的运动方程。解：(1)确定自由度（建模）：结构的质量m分布于刚性横梁，只能产生水平位移，属单自由度体系。

(2)确定位移参数：设刚梁在任一时刻的位移为y，向右为正。12.2单自由度体系的运动方程设刚架的阻尼系数为c。(3)绘隔离体受力图：取出隔离体。图中给出了惯性力、阻尼力和弹性恢复力。各力均设沿坐标正向为正。(4)列运动方程：按动静法列动力平衡方程，可得12.2单自由度体系的运动方程式中代入整理，可得运动方程mm12.2单自由度体系的运动方程，，，式中，刚度系数

k又称为楼层刚度，系指上下楼面发生单位相对位移（D＝1）时，楼层中各柱剪力之和，如图所示。m12.2单自由度体系的运动方程【例12-2】试用刚度法建立图示静定梁的运动方程。解：本例为单自由度体系。取a为坐标。在某一时刻t，体系位移图和受力如图所示12.2单自由度体系的运动方程由SMA＝0，得整理后，得运动方程12.2单自由度体系的运动方程12.2单自由度体系的运动方程【讨论】关于刚度法的三种写法1)隔离体平衡法。切取质量为隔离体，列写运动方程。当结构作用于质量的弹性恢复力FS容易求得时，宜用此法（以质量为对象）。2)整体平衡法。考虑结构整体平衡，列写运动方程。当无重刚杆上有集中质量时，宜用此法（以结构为对象）。3)附加约束法。其概念与静力计算中的位移法相似。12.2单自由度体系的运动方程首先，在质量上沿动力自由度方向添加附加支杆；然后，在质量上沿动力自由度正向标示相关的力；最后，动力平衡位置，体系附加约束中竖向反力F1应等于零。12.2单自由度体系的运动方程12.2.2按位移协调条件建立运动方程――柔度法质量m所产生的水平位移，可视为由动力荷载FP(t)、惯性力FI和阻尼力FC共同作用在悬臂柱顶端所产生的。根据叠加原理，得mm12.2单自由度体系的运动方程式中，d11为柔度系数。表示在体系的质量上沿动力自由度方向施加单位力时，引起该质量沿该方向所产生的静位移。将阻尼力和惯性力代入上式，即得因为单自由度体系中1/d11＝k11（k11和d11互为倒数)，故有(b)12.2单自由度体系的运动方程【注意】当不是直接作用在质量及其运动方向上时，则式中右边第三项d11FP(t)应改为d1PFP(t)。其中，d1P表示作用时，引起质量沿动力自由度方向所产生的位移。相应地，前式右边项FP(t)应改为称等效动力荷载。同时，它与由于FP(t)作用而在质点处添加的附加约束上所产生的支反力大小相等。12.2单自由度体系的运动方程

【例12-3】试用柔度法建立图示静定刚架受动力荷载作用的运动方程。解：本题为单自由度体系的振动。取质量m水平方向的位移y为坐标。运动方程为12.2单自由度体系的运动方程绘出、图如图所示。由图乘法得得运动方程图图，12.2单自由度体系的运动方程也可写作为等效动力荷载，即式中，12.2单自由度体系的运动方程12.2.4建立运动方程小结

1)判断动力自由度数目，标出质量未知位移正向。

2)沿所设位移正向加惯性力、阻尼力和弹性恢复力，并冠以负号。

3)根据是求柔度系数方便还是求刚度系数方便，确定是写柔度方程还是写刚度方程。

一般情况下，对于静定结构，求柔度系数更为方便；而对于超静定结构，则求刚度系数更为方便。

12.2单自由度体系的运动方程12.3单自由度体系的自由振动

12.3.1自由振动1.自由振动

2.强迫振动体系质点在外部干扰力作用下的振动，称为强迫振动。由于外界的干扰，质点m离开静力平衡位置，而当干扰力消失后，由于弹性恢复力的作用，质点将在静平衡位置附近作往返运动。这种在运动过程中不受干扰力的作用，而由初位移y0或初速度v0（即）或者两者共同作用下所引起的振动，称为自由振动或固有振动。12.3.2运动方程的建立及求解根据式并令得体系无阻尼自由振动方程为可得令，，12.3单自由度体系的自由振动

这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。其特征方程为故通解为当t＝0时，（初位移），可求出，而（初速度），可求出。故有12.3单自由度体系的自由振动

为将位移方程写成更简单的单项形式，引入符号a和a。使之满足即(简谐振动)

于是可得第一部分：单独由y0引起，质点按规律振动；第二部分：单独由v0引起，质点按规律振动。，12.3单自由度体系的自由振动

可得由，12.3单自由度体系的自由振动

进一步说明w、a和a的物理意义（考查一个模拟的匀速圆周运动）质点做自由振动时其位移随时间变化的规律（图b），与图a中质点做匀速圆周运动时其竖标的改变规律相同。12.3单自由度体系的自由振动

w、a和α的物理意义为：w

——自振频率或圆频率;a——振幅（自由振动时最大的幅度），ymax；a

——初始相位角，标志着t＝0时质点的位置。12.3单自由度体系的自由振动

12.3.3自由振动中位移、速度、加速度和惯性力的变化规律由位移，可得由速度，可得由加速度，可得由惯性力，可得(a)(b)(c)(d)12.3单自由度体系的自由振动

【注二】惯性力，即永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例，其比例系数。【注一】由式(c)可知，最大加速度的绝对值等于振幅a与频率的平方ω2的乘积，将式(a)与式(c)对照，可见，即加速度与位移成比例，比例系数为ω2，但方向相反（负号），表示加速度永远指向平衡位置。(c)(a)12.3.3自由振动中位移、速度、加速度和惯性力的变化规律12.3单自由度体系的自由振动

12.3.4自振周期与自振频率1.自振周期

所以，自振周期因表示体系振动一次所需要的时间，其单位为s（秒）。12.3单自由度体系的自由振动

2.工程频率表示体系每秒振动的次数，其单位为s-1（1/秒）或Hz（赫兹）。一般建筑工程用钢为7～8次/s，钢筋混凝土为4次/s，属低频；一般机器为高频。3.自振频率

表示体系在2π秒内振动的次数，因此也称圆频率。其单位为rad/s（弧度数/秒），也常简写为s-1。w是体系固有的非常重要的动力特性。在强迫振动中，当体系的自频ω与强迫干扰力的扰频θ很接近时（0.75≤θ/w

≤1.25区段），将会产生共振。为避免共振，就必须使w与θ

远离。，12.3单自由度体系的自由振动

4.T和w的一些重要性质(1)T和w只与结构的m和k11有关，而与外界的干扰因素无关。干扰力的大小只能影响振幅a的大小。(3)结构的T、w是结构动力性能的很重要的数量标志。两个外表相似的结构，如果T、w相差很大，则动力性能相差很大；反之，两个外表看来并不相同的结构，如果其T、w相近，则在动力荷载作用下其动力性能基本一致。工程实践中常发现这样的现象。(2)质量越大，则T越大，w越小；刚度越大，则T越小，w越大。要改变T、w，只有从改变结构的质量或刚度（改变截面、改变结构形式和材料）着手。12.3单自由度体系的自由振动

5.T、w的计算公式小结(1)自振周期式中，g为重力加速度；W=mg为质点的重力；Dst=Wk11，表示将重力W=mg施加于振动方向所产生的静位移。12.3单自由度体系的自由振动

(2)自振频率(3)工程频率12.3单自由度体系的自由振动

【例12-4】试求图示等截面梁的自振周期T和自振频率w。已知E＝206GPa＝206×109N/m2，I＝245cm4=245×10-8m4。解：采用柔度法。12.3单自由度体系的自由振动b)图a)原结构，【例12-5】试求图示结构的w。各杆EI＝C。

图解：12.3单自由度体系的自由振动

【例12-6】试求图示结构的自振频率w。

图解：采用柔度法，12.3单自由度体系的自由振动

【例12-7】求图示结构的自振周期T。12.3单自由度体系的自由振动

解：采用刚度法。12.3单自由度体系的自由振动

【例12-8】试求图示结构的自振频率w。已知弹簧刚度系数，梁的弯曲刚度为EI。解：本题是静定结构，通常用柔度法计算比较方便。d

11=d

1+d

212.3单自由度体系的自由振动

kk【例12-9】试求图示结构的自振周期T。解：，12.3单自由度体系的自由振动

12.3单自由度体系的自由振动

12.3.5多质点（包括均质刚性杆）的单自由度体系关于直接平衡法：根据达朗伯原理，引入附加惯性力，考虑瞬间动平衡，建立运动方程，并与单自由度体系的微分方程作比较，即可确定w的表达式。其关键是适当选择质量独立位移参数（坐标）。这类体系各质点仍是平动，而质量杆一般有转动及平动，因此，不能再简单地用单质点平动公式和表示。w的计算可以有以下几种途径：1）直接平衡法；2）等效质量法；3）旋转振动公式法等。12.3单自由度体系的自由振动

【例12-10】试求图示梁的自振频率w。解：在例12-2中，按动静法已建立了运动方程改写为12.3单自由度体系的自由振动

【例12-11】求图示梁的自振频率w。解：由∑MA＝0，列动力平衡方程，得，12.3单自由度体系的自由振动

解:

【例12-12】求图示静定梁的自振频率w。12.3单自由度体系的自由振动

取CB梁段为隔离体图(d)，由∑MB

＝0，列动力平衡方程亦即(a)12.3单自由度体系的自由振动

已知，代入式(a)，整理后,得动力平衡方程(a)对比，得12.3单自由度体系的自由振动

12.4单自由度体系的强迫振动结构在动力荷载（也称干扰力）作用下的振动称为强迫振动或受迫振动。本节研究无阻尼的强迫振动。在公式中，若不考虑阻尼，则得单自由度体系强迫振动的微分方程为或写成若FP(t)不是直接作用在质点上时，则可将其化为直接作用在质点上的等效动力荷载FE(t)。12.4单自由度体系的强迫振动等效动力荷载的幅值式中，F为动力荷载的幅值，D1P为F作用下在质点振动方向产生的位移。12.4单自由度体系的强迫振动12.4.1简谐荷载作用下的动力反应(本节重点)q

为简谐荷载的频率（扰频）F为荷载的最大值（动力荷载幅值）1.求解(1)齐次解12.4单自由度体系的强迫振动(2)特解y*设特解为于是有代入得由此得12.4单自由度体系的强迫振动令yst——动力荷载幅值F产生的位移（最大“静”位移）

Dst——实际静荷载（如自重W）产生的位移（静位移）12.4单自由度体系的强迫振动于是有故特解即12.4单自由度体系的强迫振动(3)通解系数C1和C2由初始条件确定：故通解为

亦即，则得设，，12.4单自由度体系的强迫振动1)前两项为自由振动部分，与初始条件y0和v0有关。【讨论】2)第三项与y0和v0无关，是随干扰力的出现而伴随产生的，仍属自由振动（按自频w振动），称为伴生自由振动。3)第四项为纯强迫振动（无阻尼），按扰频θ

振动。在工程中有实际意义的是平稳阶段（第四项）的y，即式中，yd,max称最大动位移（即A），为强迫振动的振幅，是控制设计的重要依据。12.4单自由度体系的强迫振动则强迫振动的振幅

所以有b

的物理意义是：表示动位移yd,max的最大值(亦即振幅A)是最大“静”位移yst的多少倍，故称动力系数。对于单自由度体系，当在简谐荷载作用下，且干扰力作用于质点上时，结构中内力与质点位移成比例。所以动力系数β

既是位移的动力系数，又是内力的动力系数。令动力系数12.4单自由度体系的强迫振动2.讨论（关于振幅算式的分析）强迫振动的振幅其中，动力系数(1)→0，β

→1：这说明机器转动很慢（θ

«ω）时，干扰力接近于静力。一般当<1/5时，可当作静力计算（例如，当＝1/5时，β＝1.04）。位移反应谱12.4单自由度体系的强迫振动(2)→∞，

β→0：以轴为渐近线。这说明机器转动非常快时（β

»ω，高频荷载作用于质体），质体基本上处于静止状态，即相当于没有干扰力作用（自重除外）。(3)0<<1，β

为正，且β

>1，又β

随的增大而增大。与同号，即质点位移与干扰力的方向每时每刻都相同（同相位）。位移反应谱12.4单自由度体系的强迫振动(4)>1，b

为负，其绝对值随的增大而减小。y与异号，即质点位移与干扰力的方向相反（相位相差p）。位移反应谱12.4单自由度体系的强迫振动(5)→1，β→∞（无阻尼）：→∞（振幅随时间而逐渐增大），体系发生共振。此时有：即惯性力与弹性力平衡，而没有什么力去与实际存在的外力FP(t)平衡，因此无论振幅多大，再维持动力平衡均不可能。当θ=ω时位移反应谱12.4单自由度体系的强迫振动防止共振的措施：一是调整机器的转速θ；二是改变体系的自振频率w（改变w的思路，不外就是改变k11，即改变截面形式、结构形式，或是改变m）。但“共振”也是可以利用的，如利用q

＝w时，结构振幅突出大的这一特点，不断改变机器（激振器）转速θ，可以测定结构的w。位移反应谱12.4单自由度体系的强迫振动

3.计算步骤（单自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动）

(1)求自振频率

(2)求干扰力频率式中，n为电动机转速n（r/min）。（1/s）

(3)求动力系数（注意正负号）12.4单自由度体系的强迫振动(4)求动位移幅值∆动（即A）

1)先求最大“静”位移3.计算步骤

2)再求动位移幅值(5)求最大位移Dmax=D动+D静=yd,max+Dst=|A|+Dst(6)求最大内力

Mmax＝M动＋M静＝Md,max＋Mst12.4单自由度体系的强迫振动【方法一】动力系数法（仅当FP(t)直接作用在质点上时）：将|β

|F作为静力作用在体系上，按静力法计算(图a)。a)动力系数法12.4单自由度体系的强迫振动【方法二】幅值法：由达朗伯原理，把位移达到最大值时，所有力的幅值加上去。注意F的施加方向，即1)当β

为正时，F沿质点位移方向一致施加(图c)。2)当β

为负时，F沿质点位移方向反向施加(图b)。

b)幅值法(β为负)c)幅值法(β为正)FF12.4单自由度体系的强迫振动【例12-13】对于图示体系，已知下列各值：m=123kg，F=49N(离心力)，n=1200r/min(发电机转速)，E=2.06×1011N/m2，I=78cm4。求梁中最大动位移A(∆动)和梁中最大动内力Md,max(M动)。解:(1)求自振频率ω(2)求干扰频率θFsinqt12.4单自由度体系的强迫振动(3)求动力系数b(4)求最大动位移A负号表示最大动位移与FP(t)方向相反。12.4单自由度体系的强迫振动(5)求最大动内力Md,max：采用动力系数法，在B点施加|b|F，绘弯矩图，如图所示，图中Md,max＝16.33N·m。16.33N.mb)Md,max图12.4单自由度体系的强迫振动【例12-14】对于图示体系，已知：梁上的机器总重W＝30kN，机器转速n＝350r/min，离心力幅值F=5kN，忽略梁的自重，EI＝2.0×104kN·m，试作动力弯矩幅值图Md,max（即M动）和总弯矩M图。解:结构为单自由度体系，采用动力系数法求解。(1)求柔度系数δ11b)图(m)12.4单自由度体系的强迫振动(2)求自振频率w(3)求干扰频率q(4)求动力系数b12.4单自由度体系的强迫振动(5)作动力弯矩幅值Md,max图

将作用于梁上D点，作Md,max图(6)作总弯矩图M将作用于梁上D点，作M图。c)动力弯矩幅值Md,max图（kN·m)d)总弯矩M图（kN·m）DD12.4单自由度体系的强迫振动【例12-15】图示结构，在柱顶有马达，试求马达转动时的最大水平位移和柱端弯矩。已知马达和结构重量集中于柱顶。W＝20kN，马达水平离心力的幅值F＝250N，马达转速n=550r/min，柱的线刚度i=EI/h=5.88×106N·m。解：(1)求自振频率w12.4单自由度体系的强迫振动(2)求干扰频率θ(3)求动力系数β(4)求沿水平方向的∆max负号表示Dmax与FP(t)的方向相反。12.4单自由度体系的强迫振动(5)求柱端弯矩（分别采用两种解法）【解法一】让二柱顶C和D点均水平移动∆＝A，按两端固定端产生顺时针方向侧移∆＝A，绘柱弯矩图，如图所示，即各柱端弯矩均为【解法二】采用“动力系数法”，将向右施加于左柱顶C点，再用“剪力分配法”计算，其弯矩图如图c所示，即各柱端弯矩均为c)解法二M图b)解法一M图12.4单自由度体系的强迫振动

【例12-16】干扰力作用于等截面悬臂杆的中点，求质点稳态振幅。解：【解法一】附加支杆，将该支反力反向（即等效干扰力，亦称等效动力荷载）作用于质点。(1)计算附加支杆内的反力幅值（力法）12.4单自由度体系的强迫振动

(2)计算作用于质点上的情况12.4单自由度体系的强迫振动【解法二】直接建立运动方程求解。施加惯性力，列柔度方程。位移y相当于作用于质点的等效力产生的位移。在质量所在的B点12.4单自由度体系的强迫振动或具体计算如下：，图图12.4单自由度体系的强迫振动【解法三】利用幅值方程求解。在简谐振动中，惯性力与位移变化规律相同，即同时达到最大值，可列幅值方程.由此，得

不难化为12.4单自由度体系的强迫振动

【小结】情况1：干扰力直接作用在质点上12.4单自由度体系的强迫振动情况2：干扰力不作用在质点上12.4单自由度体系的强迫振动解：【例12-17】图示跨中带有一质量m的无重简支梁，动力荷载作用在距梁端l/4处，若，试求在荷载作用下，质量m的最大动位移A。FE=0.6875F图图，a)b)c)d)12.4单自由度体系的强迫振动FE=0.6875F或12.4单自由度体系的强迫振动【例12-18】试列出图示结构体系的运动方程，并绘出结构弯矩幅值图。已知：。解:(1)质点的等效力

，，，12.4单自由度体系的强迫振动

(3)按幅值法作弯矩幅值图，如图所示。

(2)求惯性力幅值12.4单自由度体系的强迫振动【例12-19】图示简支梁跨中有一集中质量m，EI为常量，跨度为l，不计梁的质量。梁右端作用干扰力偶。试作弯矩幅值图并求梁右端角位移的幅值。设静力平衡时梁轴线为水平直线。已知。解：(1)求最大动位移

，，，12.4单自由度体系的强迫振动

(2)求惯性力幅值

(3)求内力幅值

(4)求12.4单自由度体系的强迫振动12.4.2一般动力荷载（任意干扰力作用）1.瞬时冲量的动力反应设体系在t＝0时处于静止状态。在质点上施加瞬时冲量。这将使体系产生初速度，但初位移仍为0，即y0＝0（可以证明，y0系二阶微量，可略去不计）。将y0和v0代入上式就是t=0时作用瞬时冲量S所引起的动力反应。即得12.4单自由度体系的强迫振动如果瞬时冲量S从t=t开始作用，则式中的位移反应时间t，应改成(t-t

)，即上式应改为12.4单自由度体系的强迫振动2.任意动力荷载的动力反应（总效应）由式得到（对于t>t）

整个加载过程可看作一系列瞬时冲量所组成。在时，作用，在微分段内产生的微分冲量为12.4单自由度体系的强迫振动总反应为此式称为杜哈梅(J.M.C.Duhamel)积分（卷积）。这是初始处于静止状态的单自由度体系在任意动力荷载作用下的位移公式。如果(在O点)初始位移y0和初始速度v0不为0，则总位移应为(自由振动)

(伴生自由振动＋纯强迫振动) 12.4单自由度体系的强迫振动【说明1】这里为什么用dt而不用dt？(自由振动)

(伴生自由振动＋纯强迫振动)

我们是在考察加在不同时刻t的一系列瞬时冲量对同一时刻t的位移的影响。这里位移发生的时刻t被暂时地固定起来（是指定的常数），而瞬时冲量施加的时刻t表示时间的流动坐标，是变量。因此，变量的微分为dt

，而非dt。12.4单自由度体系的强迫振动(自由振动)

(伴生自由振动＋纯强迫振动)

【说明2】在杜哈梅积分中，能否把伴生自由振动分离出来？对于简谐荷载，可以证明，能将杜哈梅积分分解为以下两项之和，即(伴生自由振动)

(纯强迫振动)其中12.4单自由度体系的强迫振动12.4.3几种特殊荷载作用下的动力反应

1.突加长期荷载当t>0时12.4单自由度体系的强迫振动所以仍系周期运动，但不是简谐运动。t>0时，质点围绕其静平衡位置（新的基线）作简谐运动，即突加荷载所引起的最大动位移A比相应的最大静位移增