安徽省桐城市重点中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题(含解析)

桐城市重点中学2023—2024学年九年级下学期开学考数学卷一、选择题(共10题；共40.0分)1．当函数是二次函数时，a的取值为（）A.a=1 B.a=±1 C.a≠1 D.a=-12．如图，抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=kx+m的交点为A（1，-3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是（）A.1＜x＜6 B.-3＜x＜1

C.x＜-3或x＞1 D.x＜1或x＞63．已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（）A.B.C.D.4.如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）A.4 B.2 C.1 D.65.如图，点E是平行四边形ABCD中BC的延长线上的一点，连接AE交CD于F，交BD于M，则图中共有相似三角形（不含全等的三角形）（）对．A.4 B.5 C.6 D.76.如图，在△ABC，AB=AC=a,点D是边BC上的一点，且BD=a,AD=DC=1，则a等于（）A. B.

C.1 D.27.若sinα＞cosα，则锐角α的取值范围是（）A.0°＜α＜45° B.30°＜α＜45°

C.45°＜α＜60° D.45°＜α＜90°8.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长l6=6R，则π≈=3．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为（）

A.12sin15° B.12cos15° C.12sin30° D.12cos30°9.某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（）

A.cm B.cm

C.cm D.cm10.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x=2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k,b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a=．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(共4题；共20.0分)11．若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与抛物线y=2x2-4x-1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式是_____．12．如图，等边△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，线段AB被截成三等份．若△ABC的面积为12cm2，图中阴影部分的面积为_____cm2．13．如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD=35°，则∠C=_____°．14．△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是________．三、解答题(共9题；共90.0分)15．(8分)已知△ABC中的∠A与∠B满足（1-tanA）2+|sinB-|=0

（1）试判断△ABC的形状．

（2）求（1+sinA）2-2-（3+tanC）0的值．16．(8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，1），B（-1，4），C（-3，3）．

（1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1．

（2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出A2点的坐标_____．17．(8分)图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）18．(8分)如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若CE=2，DE=4，求⊙O的半径．19．(10分)为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25米）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，一边靠墙，另三边用总长为40米的栅栏围住．设CD长为x米，绿化带面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大是多少？

（3）若墙长是18米，当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大？20．(10分)定义：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD=∠B，则称满足这样条件的点为△ABC的“理想点”．

（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=2，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；

（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．21．(12分)“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．22．(12分)如图，抛物线y=-x2+x+2交y轴于A点，交x轴于点B、C．

（1）求直线AB的表达式；

（2）当点M在线段AB上方的抛物线上移动时，求四边形AOBM的面积的最大值；

（3）将该二次函数图象向下平移，若平移后的图形恰好与坐标轴有两个公共点，直接写出平移距离．23．(14分)在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上（不与点A重合），点F在边BC上，且，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH．（1）如图1，若，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积，（2）如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD交于点K．①求证：；②设，和四边形AEHI的面积分别为，．求证：．答案解析1．【答案】D【解析】根据二次函数的定义列出不等式和方程，解方程和不等式得到答案．

解：∵y=（a-1）x+2x+3是二次函数，

∴a-1≠0，a2+1=2，

解得，a=-1，

故选：D．2．【答案】D【解析】根据两函数的图象和A、B的坐标得出即可．

解：∵二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的交点A、B的坐标分别为（1，-3）、（6，1），

∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6，

故选：D．3．【答案】B【解析】根据解答几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可．

解：这个几何体的左视图为，

故选：B．4．【答案】C【解析】根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义得到，然后利用进行计算即可．解：∵PA⊥x轴于点A，交于点B，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．5．【答案】B【解析】根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．

解：在▱ABCD中，

∵AB∥CD，

∴△ABM∽△FDM，△ABE∽△FCE，

∵AD∥BC，

∴△ADM∽△EBM，△FDA∽△FCE，

∴△ABE∽△FDA，

∴图中相似三角形有5对．

故选：B．6．【答案】A【解析】利用相似三角形的性质构建方程求解即可．

解：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵DA=DC，

∴∠DAC=∠C，

∴∠DAC=∠B，

∵∠C=∠C，

∴△CDA∽△CAB，

∴=，

∴CA2=CD•CB，

∵CA=a,BD=a,CD=1，

∴CB=1+a,

∴a2=1•（1+a），

∴a2-a-1=0，

∴a=或（舍弃），

故选：A．7．【答案】D【解析】利用cosα=sin（90°-α），载根据锐角三角函数的增减性，即可求出α的取值范围．

解：∵cosα=sin（90°-α），sinα＞cosα，

∴sinα＞sin（90°-α），

∴α＞90°-α，

∴α＞45°，

又∵α为锐角，

∴45°＜x＜90°，

故选：D．8.【答案】A【解析】利用圆内接正十二边形的性质求出A6A7=2A6M=2R×sin15°，再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”，即可解决问题．

解：在正十二边形中，∠A6OM=360°÷24=15°，

∴A6M=sin15°×OA6=R×sin15°，

∵OA6=OA7，OM⊥A6A7，

∴A6A7=2A6M=2R×sin15°，

∴π≈=12sin15°，

故选：A．9．【答案】A【解析】如图，根据切线的性质可得，根据四边形内角和可得的角度，进而可得所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．解：如图，

PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．，∠P＝40°，，该圆半径是9cm，cm，故选：A．【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．10．【答案】D【解析】①正确，根据抛物线的位置判断即可；

②正确，利用对称轴公式，可得b=-4a,可得结论；

③错误，应该是x＞2时，y随x的增大而增大；

④正确，判断出k＞0，可得结论；

⑤正确，设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-5）=a（x-2）2-9a,可得M（2，-9a），C（0，-5a），过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．利用相似三角形的性质，构建方程求出a即可．

解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵对称轴是直线x=2，

∴-=2，

∴b=-4a＜0

∵抛物线交y轴的负半轴，

∴c＜0，

∴abc＞0，故①正确，

∵b=-4a,a＞0，

∴b+3a=-a＜0，故②正确，

观察图象可知，当0＜x≤2时，y随x的增大而减小，故③错误，

一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A，

∵b＜0，

∴k＞0，此时E（k,b）在第四象限，故④正确．

∵抛物线经过（-1，0），（5，0），

∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-5）=a（x-2）2-9a,

∴M（2，-9a），C（0，-5a），

过点M作MH⊥y轴于点H，设对称轴交x轴于点K．

∵AM⊥CM，

∴∠AMC=∠KMH=90°，

∴∠CMH=∠KMA，

∵∠MHC=∠MKA=90°，

∴△MHC∽△MKA，

∴=，

∴=，

∴a2=，

∵a＞0，

∴a=，故⑤正确，

故选：D．11．【答案】y=4x2-8x+1【解析】根据题意求得抛物线的顶点坐标，进而设顶点式为y=a（x-1）2-3，代入（0，1），利用待定系数法即可求得．

解：∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，

∴抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），

∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2-4x-1的顶点重合，

∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），

∴设此抛物线为y=a（x-1）2-3，

∵与y轴的交点的坐标为（0，1），

∴1=a-3，解得a=4，

∴此抛物线为y=4（x-1）2-3=4x2-8x+1，

故答案为：y=4x2-8x+1．12．【答案】4【解析】由DG∥BC证明△AHM∽△ABC，由EF∥BC证明△AKN∽△ABC，而AE=EF=FB，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求得S△AHM=cm2，S△AKN=cm2，即可求出阴影部分图形的面积．

解：∵DG∥BC，

∴△AHM∽△ABC，

∵AH=HK=KB，S△ABC=12cm2，

∴=（）2==，

∴S△AHM=S△ABC=×12=（cm2），

∵EF∥BC，

∴△AKN∽△ABC，

∴=（）2==，

∴S△AKN=S△ABC=×12=（cm2），

∴S阴影=S△AKN-S△AHM=-=4（cm2），

∴图中阴影部分的面积为4cm2，

故答案为：4．13．【答案】35【解析】连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，根据切线的性质可得∠OAD=90°，从而求出∠BAE=55°，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ABE=90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠E的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．

解：连接OA并延长交⊙O于点E，连接BE，

∵AD与⊙O相切于点A，

∴∠OAD=90°，

∵∠BAD=35°，

∴∠BAE=∠OAD-∠BAD=55°，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ABE=90°，

∴∠E=90°-∠BAE=35°，

∴∠C=∠E=35°，

故答案为：35．14．【答案】①.80②.##【解析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=，∴FE=DF==，∴AF=AE-FE=4-，故答案为：80；4-．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．15．【解析】（1）根据绝对值的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论；

（2）根据（1）中∠A及∠B的值求出∠C的数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．

解：（1）∵（1-tanA）2+|sinB-|=0，

∴tanA=1，sinB=，

∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，

∴△ABC是锐角三角形；

（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°-45°-60°=75°，

∴原式=（1+）2-2-1，

=．16．【答案】（-4，2）【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C以点B为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可．

（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案．

解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求；

（2）如图，△A2B2C2，即为所求，A2（-4，2）；

故答案是：（-4，2）．17．【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为（2）没有危险,详见解析【解析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．【小问1详解】如图，作，垂足为点

在中∵，∴∴∵平行线间的距离处处相等∴答：车后盖最高点到地面的距离为．【小问2详解】没有危险，理由如下：过作，垂足为点∵，∴∵∴在中，∴．∵平行线间的距离处处相等∴到地面的距离为．∵∴没有危险．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．18．【解析】（1）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形性质即可证明OD∥BE，由DE⊥BE，可得OD⊥DE，进而可得DE是⊙O的切线；

（2）连接AC，根据圆周角定理和垂径定理证明四边形FDEC是矩形，再利用勾股定理即可求出⊙O的半径．

（1）证明：如图，连接OD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

又∵OB=OD，

∴∠ABD=∠ODB，

∴∠ODB=∠DBC，

∴OD∥BE，

∵DE⊥BE，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）如图，连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠FCE=90°，

又∵∠FDE=90°，∠DEC=90°，

∴四边形FDEC是矩形，

∴DF=CE=2，FC=DE=4．

设⊙O的半径为r,

在Rt△OAF中（r-2）2+42=r2，

∴r=5．19．【解析】（1）根据长方形的面积计算公式列函数关系式，利用边长大于零及墙的长度求自变量的取值范围；

（2）将函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质求出最大值；

（3）先确定自变量的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可．

解：（1）y=AB•CD=（40-2x）x=-2x2+40x,

∵，

∴7.5≤x＜20；

（2）∵y=-2x2+40x=-2（x-10）2+200，

∴当x=10时，绿化带面积最大，最大面积是200平方米；

（3）∵，

∴11≤x＜20，

∵y=-2（x-10）2+200，a=-2＜0

∴开口向下，对称轴为直线x=10，

∴当x＞10时，y随x的增大而减小，

∴x=11时，绿化带面积最大，最大面积是-2（11-10）2+200=198平方米．20．【解析】（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．由所给的条件可得：，从而可证明△ACD∽△ABC，即有∠ACD=∠B；

（2）由点D是△ABC的“理想点”可得∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，可证得∠CDB=90°，CD⊥AB，利用勾股定理可求CD的长度．

解：（1）结论：点D是△ABC的“理想点”．

理由：

∵D是AB中点，AB=4，

∴AD=DB=2，

∵AC2=（2）2=8，AD•AB=8，

∴AC2=AD•AB，

∴，

∵∠A=∠A，

∴△ACD∽△ABC，

∴∠ACD=∠B，

∴点D是△ABC的“理想点”，

（2）如图所示，

∵点D是△ABC的“理想点”，

∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，

当∠ACD=∠B时，

∵∠ACD+∠BCD=90°，

∴∠BCD+∠B=90°，

∴∠CDB=90°，

当∠BCD=∠A时，同法证明：CD⊥AB，

在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°，AB=5，AC=4，

∴BC==3，

∵•AB•CD=•AC•BC，

∴CD=．21．【答案】（1）见解析（2）；．（3）【解析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解；（2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解；（3）根据列表法求概率即可求解．【小问1详解】解：总人数为（人）∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，【小问2详解】在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，选择A大学的大约有（人）故答案为：；．【小问3详解】列表如下，甲乙共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大