结构位移和刚度-轴向拉压杆计算（建筑力学）

单元六校核结构位移和刚度单元教学目标知识

1.熟知拉(压)杆件的变形及胡克定律的基本概念。

2.精熟梁的挠曲线方程计算方法技能

3.能够正确掌握静定结构在荷载作用下的位移计算方法；

4.能够利用图乘法计算结构位移。

素质

5.养成良好的职业品德和岗位素养6.养成严谨好学习惯。学习条件分析1.起点分析：具备杆件强度计算的基础知识，能够准确掌握结构位移和刚度计算的基本概念。2.学习重点：

能够正确计算梁的变形和刚度；正确计算静定结构在荷载作用下的位移；

能够利用图乘法计算结构位移。

3.难点分析：静定结构在荷载作用下的位移计算、图乘法原理的应用。主要内容拉(压)杆件的变形及胡克定律梁的挠曲线方程静定结构在荷载作用下的位移计算图乘法静定结构由于支座移动引起的位移计算本节主要内容变形与线应变胡克定律拉（压）杆的变形计算任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律1.纵向变形

设杆的原长为l，变形后的长度为l1，则杆沿长度方向的变形为

Δl=l1－lΔl称为杆的纵向变形。在拉伸的情况下(图a)，l1＞l，Δl＞0；在压缩的情况下(图b)，l1＜l，Δl＜0。(a)(b)一、变形与线应变任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律

纵向变形Δl只反映杆在纵向的总变形量，它与杆的原长有关。为了进一步描述杆的变形程度，根据中轴线应变的概念，在杆的各部分都均匀伸长的情况下，纵向变形Δl与原长l的比值称为纵向线应变，用

表示，即

可知，当杆拉伸时

＞0，称为拉应变；当杆压缩时

＜0，称为压应变。

是一个量纲为1的量。任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律2.胡克定律

大量试验表明，当杆件变形在弹性范围内时，杆的纵向变形Δl与杆的轴力FN、杆长l成正比，与横截面面积A成反比，即

引进比例常数E，则有

上式也称为胡克定律。式中E称为材料的弹性模量，它与材料的性能有关，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标；EA称为杆的拉压刚度，因而它代表了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力。

任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律因、故

可改写为

＝E

上式也称为胡克定律。它表明材料在弹性范围内应力与应变的物理关系。

任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律3.横向变形

设图a所示拉杆原横向尺寸为d，变形后缩小为d1、，则其横向变形为

Δd=d1－d相应的横向线应变为(a)(b)

杆件受拉时(图a)，Δd＜0，

＜0；受压时(图b)，Δd＞0，

＞0。任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律

大量试验表明，当杆件变形在弹性范围内时，其横向线应变

与纵向线应变

之比的绝对值为一常数，即

称为泊松比或横向变形因数。它是一个量纲为1的量，其值随材料而异，可由试验测定。考虑到

与

的符号恒相反，上式也可写为

=－

任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律弹性模量E和泊松比

是材料固有的两个弹性常数。下表1给出了一些常用材料的E、

的约值，以供参考。

表1常用材料的E和

的约值任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律三、拉（压）杆的变形计算1.画轴力图求各段轴力27kN62kNBACDA1A2lll例1变截面直杆受力如图，已知A1=500mm2,A2=300mm2,l=0.1m,E=200GPa,试计算杆件变形。

解：FAB=-35kNFBC=27kNFCD=27kNFNx-35kN27kN任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律三、拉（压）杆的变形计算27kN62kNBACDA1A2lll2.计算变形例1

变截面直杆受力如图，已知A1=500mm2,A2=300mm2,l=0.1m,E=200GPa,试计算杆件变形。

FNx-35kN27kN任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律

例2一木方柱（如图）受轴向荷载作用，横截面边长a＝200mm，材料的弹性模量E＝10GPa，杆的自重不计。试求各段柱的纵向线应变及柱的总变形。任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律

解：由于上下两段柱的轴力不等，故两段柱的变形要分别计算。各段柱的轴力为

FNAB＝－100kN，FNBC＝－260kN任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律各段柱的纵向线应变为

全柱的总变形为两段柱的变形之和，即△l=△lAB+△lBC=－0.5mm－0.975mm=－1.475mm

任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律例3

图示螺栓接头，螺栓内径d1=10.1mm,拧紧后测得长度为l=80mm内的伸长量△l=0.4mm，E=200GPa,试求螺栓拧紧后横截面的正应力及螺栓对钢板的预紧力。

解：1.求螺栓的线应变3.由应力公式求螺栓的预紧力

2.由虎克定律求螺栓截面的应力

σ=E·

=(200×103×5×10-4)=100MPaF=σ·A

本课节小节一、变形与线应变

绝对变形

l=l1-

l

线应变=

横向应变

´=

横向变形系数（泊松比），

´=-

二、胡克定律

胡克定律的两种表达式

=E抗拉（压）刚度EA，在弹性范围内，应力与应变成比三、拉（压）杆的变形计算任务1轴向拉压杆的变形及胡克定律试计算图示超静定刚架约束反力，并绘制内力图。80kN240240ABC6BCAX1=166X2=1ABC图图MP图试计算图示超静定刚架约束反力，并绘制内力图。（4）求基本未知量①弯矩图弯矩图如图。18102ABC3636M图（kN·m）（5）作内力图试计算图示超静定刚架约束反力，并绘制内力图。试用力法计算图示超静定刚架的内力，并绘出弯矩图

b）基本体系CABa）原结构lqEIEIlCABqX2解：1.建立基本体系2.建立力法典型方程。去掉B处的两个多余约束，得基本体系b)

X1试用力法计算图示超静定刚架的内力，并绘出弯矩图

Cc）MP图ABCABd）图CABe