2023-2024届新高考一轮复习湘教版 4-2 同角三角函数的基本关系及诱导公式 学案

第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式

【课标标准】1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2σ+cos2α-l,—≈tana.2.

COSa

借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式g±a,贝±a的正弦、余弦、正切).

必备知识夯实双基

知识梳理

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：(a∈R)∙

(2)商数关系：lanσ=(a≠⅛π÷p⅛∈Z).

2.三角函数的诱导公式

_______________函数名_______________

角

sinacosatana

2⅛π+ct(⅛∈Z)

-a

兀+a

π~a

7

π

Γ^0t——

Ξ+a——

［常用结论1

I.同角三角函数关系式的常用变形

sin2a=1—cos2a;cos2a=1—sin2a;(sina÷cosa)2=l±2sinacos

π.1_r∖.ɔsin2atan2a

a≠-÷tkπ,k∈Z；sιn2a=------—=—；-----；

(2/sιnza+coszatanza+1

cos2a1

cos9a=—ʒ------———；-----.

sιnza+coszatanza+1

2.诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指］的奇数倍和偶数倍，变与不变指函

数名称的变化.

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)对任意a,(GR,有Sin%+cos2£=l.()

(2)对任意角α,si∏23α+cos230=1都成立.()

（3）若α∈R,则tanα=列空恒成立.（）

cosa

（4）sin（π+α）=~sin1成立的条件是Q为锐角.（）

2.儆材改编）已知tanα=,α∈（π,ɪ）,则CoSa的值是（）

A.±-B.-

55

C.YD.ɪ

55

3.（教材改编）已知tan«=2,则业出空的值为______.

SInα-cosα

4.（易错）已知A=Sm（kn+n）+c°s（k"+a"w则A的值构成的集合是_________

sɪnacosa

5.（易错）已知sinacosa=-,且空:a＜犯，则CoSɑ-sina的值为______.

842

关键能力•题型突破

题型一诱导公式

例l(l)［2023•广东深圳高三检测］已知sin(a+；)=-"则cos(a—f=()

356

A.ɪB∙Y

C.-D.--

55

⑵尸知］)―Sin(π-a)COS(2π-a)tan(-a+2π)

求/-1860。).

`'tan(-a+π)sin(3π-a)

题后师说

1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

任意负任意正

利用诱导利用诱导

角的三角的三

公式三或一公式一

角函数角函数

2.常见的互余和互补的角

TTI_.7ΓITTII_.,TΓTTII_.TT5TTtITT

互余的角―一α与一十a；一十α与―一a；—va与―一a；——a与。十——

3636441212

互补的角1+o与空一。：工+。与邺一。

3344

巩固训练1

⑴若COS(α+5=-*则Sin琮一α)=()

512

A.B.

1313

512

C.D.

1313

(2)[2023∙江西万载模拟]化简

sin(ɑ-ɪ)cos(乎+a)tan(π-a)

tan(-π-a)sin(-π-a)

题型二同角三角函数的基本关系

角度一已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值

例2(I)已知Sina=|,a∈(pπ).求CoSa,tana的值；

(2)已知tana=/求Sina，cosa.

题后师说

本例属于同角三角函数关系中的基础题，关键是掌握“先开方，后作商”的原则，先求

与sina(或cosa)的平方关系相联系的cosa(或sina),再由公式求tana.

巩固训练2

(l)[2023∙广东惠州模拟]已知tana=2,π<a<y,贝IJCOSa—Sina=()

A.⅞B.

C3√5

c∙V

(2)已知CoSa=-I，求Sina,tanα的值.

角度二弦切互化

例3⑴[2021•新高考I卷]若tan6=—2,则四等拌得=()

sinv+cosU

62

--

AU.5B.5

D.

26

--

55

(2)已知sin(-÷0)+3cos(π-0)=sin(一0),则SinOcos0÷cos20=

题后师说

“弦化切”的两种常用的策略

巩固训练3

⑴[2023•辽宁模拟]若网生警答等=L则tan0=()

smθ+cos(π+θ)2

A.-B.--

33

C.-3D.3

ι

(2)已知tanα=-3,则

sin2α-cos2a

角度三“sina÷cos«,sinacosa”之间的关系

例4[2023•河南荥阳月考]已知sina+cosa=g.

(1)求sina∙cosa的值；

(2)^⅛π,求上+—ʒ的值.

2sɪnacos(π-a)

题后师说

2

⑴对于三角函数式sin0±cosθ9sin0∙cos。之间的关系，可以通过(Sin处COS0)=l±2sin

0∙cos。进行转化.

(2)若已知sin0±cos仇SinO∙cos。中三者之一，利用方程思想进一步可以求得sinacos

。的值，从而求出其余的三角函数值.

巩固训练4

⑴已知SinJr+cosX=小则sin4χ+cos%=()

A.-B.Z

88

C.-D.-

44

(2)已知sina∙cosa=-,且贝IJcosa—sina=________

842

第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式

必备知识•夯实双基

知识梳理

1.(I)sin2a÷cos2a=1(2)—

cosα

2.sinacosatana-sinacosa-tana-sina—cosatana

sina-cosa-tanacosasinacosa-sina

夯实双基

1.答案：(I)X(2)√(3)×(4)×

/4tanct—s_i_n_α=一3

2.解析：由题意可得cosα^4

sin2α+cos2a=1

(..3

Isinα=+ɪ

1cosɑ=±1

.∙.a∈(7t,y)

/.cosa=—.

5

故选C.

答案：C

Sina

3解析,Sina+cosa_^+l_tana+l_2+t_

**sinα-cosαEtna-Itana-12-1

cosa

答案：3

4.解析：当％为偶数时，

sinacosa

当人为奇数时，

.-sinacosaC

A---------------=—2.

sɪnacosa

・・・A的值构成的集合是｛2,-2｝.

答案：｛2,-2)

5.解析：因为»

所以一日VCoSa<0,

—l<sina<——,

2

贝IJcosa—sin«>0,

ɪ3

又(COS«-sina)2=cos2a+sin2a_2sinacosa=1—2×-=",

所以cosa—sina=­.

答案：y

关键能力•题型突破

例1解析：(I)Vsin(α+¾=~∙'∙cos(a-7)=c0s(β+7-7)=sin(«+?)=—7∙

3563235

故选D.

(2)根据诱导公式有：

a、sin(π-a)cos(2π-a)tan(-a+2π)SinaCOSatan(-a)

f∖a)=------;-----------7---=---;——----=CoS«,

tan(-a+π)sm(3π-a)tan(-a)sɪna

所以式一1860o)=cos(-l860o)=CosI860°

=cos(5×360°+60o)=cos60°=今

答案：(I)D(2)见解析

巩固训练1解析：(ɪ)sin(^―a)=—sin(a—¾=-sin(a+^-¾=-cos(a+^)=

ɪV/XVD4ɔ

5

13,

故选C.

-cosa×sina×(-tana)

(2)原式=COSa.

-tana×sina

答案：⑴C(2)-cosa

例2解析：(1)由题设,

sina3

所以tana

cosa4

⑵∙.∙lan«—ɪ,*,•«是第一象限角或第三象限角,

sina1

cosa3

sin2a+cos2a=1

√ιo.√10

sɪna=——Sina=---------

解得•10或10

3√103√Tδ,

cosa=-----cosa=----------

1010

√ιo

Sina=——

当。是第一象限角10

3√iδ,

cosa=-------

10

■.√io

Sina=-------

当Q是第三象限角10

3√io,

cosa=----------

10

巩固训练2解析:⑴因为tana=鬻=2,且siMa+Wa=1,3π

π<a<-9

所以Sina=一誓，cosa=­B

匕广2.χ∕5.2>∕5y/5

所以cos«—sina=—x

故选A.

(2)因为cosa=一，所以α是第二或第三象限角.

当a是第二象限角时,sina>0,tanα<0,

4sina4

所以sinα=√l—cos2α=tana

5,cosα3

当a是第三象限角时，sina<0,tana>0,

4

所以sina=—vl—

5,

sina4

tana=

cosa3

答案：(I)A(2)见解析

例3解析：(1)将式子进行齐次化处理得:

sinθ(l+sin2θ)_sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)..八[八、sinθ(sinθ+cosθ)

=sin9zlz(Smθ+cos(J)——-------=

sinθ+cosθsinθ+cosθ\7sm2θ+cos27θ

tan2θ+tanθ4-22

l+tan2θ1+45

故选C.

(2)Vsin(^+θ)+3cos(π-0)=cosΘScos0=-2cos9=sin(―。)=—Sin

sinθcosθ+cos2θtanθ+l3

Λtanθ=2,则Sin^cos0÷cos20=

sin2θ+cos2θtan2θ+l5

答案：(I)C(2)|

sin(π-θ)+cos(θ-2π)_sinθ+cosθ1

巩固训练3解析：⑴

sinθ+cos(π+θ)sinθ-cosθ2,

分子分母同除以cos