人教版数学九年级上册第22章第10课时二次函数与一元二次方程（2）（教师版）

人教版数学九年级上册第22章第10课时二次函数与一元二次方程（2）（教师版）一、教学目标理解二次函数与一元二次方程的关系；掌握二次函数与一元二次方程联立求解的方法；能够应用所学知识解决实际问题。二、教学重点二次函数与一元二次方程的联立求解；实际问题的解决。三、教学内容1.二次函数与一元二次方程的关系在前一节中，我们已经学习了二次函数和一元二次方程的概念及基本特点，包括二次函数的图像特点和一元二次方程的求解方法。在本节中，我们将进一步探讨二者之间的关系。二次函数的一般形式为：f(x)=一元二次方程的一般形式为：ax可以看出，二次函数的图象是一条抛物线，而一元二次方程的解是方程在坐标轴上与x轴交点的横坐标值。二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，二者的关系可以用下面的定理来描述：定理1：二次函数y=ax2+bx+c的图象上的点(x这个定理意味着，我们可以通过一元二次方程的解，来确定二次函数的零点，从而进一步获取二次函数的图像特点。2.二次函数与一元二次方程的联立求解方法在实际问题中，我们有时会遇到需要同时求解二次函数和一元二次方程的情况。下面介绍两种常见的求解方法。方法一：解方程组当我们需要同时求解一个二次函数和一个一元二次方程时，可以将二者联立成方程组，并通过联立方程组的方法求解。假设我们需要求解以下方程组：$$\\begin{cases}y=ax^2+bx+c\\\\ax^2+bx+c=0\\end{cases}$$首先将第一个方程代入第二个方程中，得到：a这个方程与一元二次方程的一般形式相同，因此我们可以通过一元二次方程的求解方法来求解该方程，得到两个解x1和x2。然后，我们将这两个解代入第一个方程y=ax2因此，方法一的求解步骤如下：1.求解一元二次方程ax2+bx+c=0，得到解x1和x2。2.将解x1方法二：图像法方法二的思路是通过观察二次函数的图像和一元二次方程的解在坐标轴上的位置来进行求解。根据定理1，二次函数的零点对应于一元二次方程的解。因此，我们可以通过观察二次函数的图像和一元二次方程的解在坐标轴上的位置，来判断二次函数与一元二次方程是否有解，并找出解的位置。具体步骤如下：1.绘制二次函数的图像；2.观察二次函数的图像和一元二次方程的解在坐标轴上的位置；3.根据观察结果，判断二次函数与一元二次方程是否有解，并找出解的位置。这种方法的优点是直观易懂，适用于小规模的问题。但对于复杂的问题，求解过程可能较为繁琐，因此方法一更为常用。四、教学示例示例1已知二次函数y=2x2+求一元二次方程的解；将解代入二次函数中，求出对应的y值。解：首先，我们可以通过公式$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求解一元二次方程2x根据公式，我们有：$$x_1=\\frac{-3+\\sqrt{3^2-4\\cdot2\\cdot1}}{2\\cdot2}=-1$$$$x_2=\\frac{-3-\\sqrt{3^2-4\\cdot2\\cdot1}}{2\\cdot2}=-\\frac{1}{2}$$然后，将解x1和x2分别代入二次函数y=2x2当x=−1当$x=-\\frac{1}{2}$时，$y=2\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)^2+3\\cdot\\left(-\\frac{1}{2}\\right)+1=\\frac{5}{4}$因此，一元二次方程2x2+3x+1=0的解为x1=−1和示例2某饭店的总成本函数为C(x)=10求出饭菜的生产数目使得成本最低；求出成本最低时的成本为多少。解：为了求出成本最低点，我们需要找到二次函数C(x根据二次函数的顶点公式$x=-\\frac{b}{2a}$，我们可以计算出顶点的横坐标：$$x=-\\frac{50}{2\\cdot10}=-\\frac{5}{2}$$将横坐标代入二次函数中，求出对应的纵坐标：$$C\\left(-\\frac{5}{2}\\right)=10\\cdot\\left(-\\frac{5}{2}\\right)^2+50\\cdot\\left(-\\frac{5}{2}\\right)+500=425$$因此，饭菜的生产数目为$x=-\\frac{5}{2}$时，成本最低，成本为425元。五、教学小结本节课我们学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道了二次函数的零点对应于一