2023年东北三省三校高考数学三模试卷

2023年东北三省三校高考数学三模试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.设集合a={%∣1<2一<8},B={x∣y=√一婷一2x+8},则力CB=()

A.[-4,3]B.(0,2]C.[-4,0)D.[2,3)

2.已知复数Z=若，则∣z∣-z=()

A.1+iB.1C.1—iD.

3,平行四边形48CO中，点M在边48上，AM=3MB,记乙？=

a,^CM=b,则亦=()

A.料一的B.软一扣C.以一料D.Ia-^b

4.记α,b,c,d为1,2,3,4的任意一个排列，则使得(α+b)(c+d)为奇数的排列个数为

()

A.8B.12C.16D.18

5.已知函数/⑶=%2,平面区域。内的点P(X,y)满足/(χ)+f(y)<l,f(Q^∣)+

则。的面积为()

/(λ∏y∣)>1-

TrTT

A.2B.2-ɪC.TtD.π—2

6.己知四棱锥P-ABC。的底面为正方形，PDl底面ABC。，PD=ZD,点E是线段PB上的

动点,则直线CE与平面PBC所成角的最大值为()

ʌ-R-C-Γ)-

c.6u∙4〜32

7.如图，阴影正方形的边长为1,以其对角线长为边长，各边均经过阴影正方形的顶点，作

第2个正方形；然后再以第2个正方形的对角线长为边长，各边均经过第2个正方形的顶点，

作第3个正方形；依此方法一直继续下去.若视阴影正方形为第1个正方形，第般个正方形的面

积为则£混。即]=()

αn,3[cos(wτ)[02

A.1011B.-1011C.1012D.-1012

8.已知函数/(χ),对任意的XeR,都有/^(χ)+/(-X)=X2,当％e[o,+8)时，∕/(%)-%-

1<0,若f(2—α)≥f(α)+4-4α,则实数α的取值范围为()

A.[0,+∞)B.[l,+∞)C.(-∞,0]D.(-∞,1]

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.已知两个事件4,B,满足P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是()

A.若A,B为相互独立事件，则P(B)=P(BlA)

B.若P(BM)=P(B),则P(AIB)=PG4)

C.P(AB)+P(AB)=P(B)

D.P(Bl4)+P(B∖A')=P(AB)

10.已知函数f(无)=2sin(ωx+<p)(ω>0,0<φ<π)J(⅞)=2,∕φ=0,且f(x)在(泊)

上单调.则下列结论正确的是()

A.ω=3

B.0=微

C./(X)在区间[0节上有2个零点

D.若%1,%2∈(π,y)(x1≠X2)>且∕Q⅛)=/(X2)-则/01+X2)=-2

11.正四棱锥P-ABCO中，PA=2,AB=M,过点B作截面

分别交棱P4PC、Pn于点E、F、M,且EF〃/1C,则下列结论

正确的是()

A.若M为PZ)中点，则EF=g

B.若PD_L平面BEMF,则截面BEMF的面积

C.若E、F为所在棱的中点，则PM=，

D.若E、尸为所在棱的中点，则点P到平面BEM尸的距离为了

12.已知曲线G：X3+y3—6xy=0(x>0,y>0),则()

A.曲线G关于直线y=》轴对称

B.曲线G与直线久+y-6=O有唯一公共点

C.曲线G与直线x-y+l=O没有公共点

D.曲线G上任意一点到原点的距离的最大值为3C

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.函数/(x)=SinX∙sin(x+0),若三与6R,使得/^(Λ⅛)=1,则W=.(写出符合

条件的一个少值即可

)

14.若对于定义在R上的函数y=f(%),当且仅当存在有限个非零自变量值使得/(-&)=

42

-∕^(x0))则称y=/(X)为类奇函数，若函数y=X+(α-I)X2+asinX为类奇函数，则实数

ɑ的取值范围为.

15.若α=log??+/。必？/=/owe+仇2,c=也则实数α,b,C由小到大排列为<

<.

16.将五个1、五个2、五个3、五个4、五个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入

一个数)，使得同一列任何两数之差的绝对值不超过2.设每列中五个数之和的最小值为M,则

M的最大值为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

如图，四边形4BBv4ι是圆柱OOi的轴截面，点M是母线CCl的中点，圆柱底面半径R=

y∕~2,AA1=2.

(1)求证：OlCl〃平面4BM；

(2)当三棱锥4-ABC的体积最大时，求平面4BM与平面CBM夹角的余弦值.

18.(本小题12.0分)

已知数列｛%｝的前n项和为无,满足2Srj=3(bn-1),等差数列｛c7l｝中,Cl=5,c1+c2+c3=

27.

⑴求｛狐｝和&｝的通项公式;

(2)数列｛%｝与｛4｝的共同项由小到大排列组成新数列｛azι｝,求数列｛azι｝的前20的积Ro.

19.(本小题12.0分)

我国古代数学家秦九韶在做书九章J)中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，

求它的面积，用现代式子表示即为:S=Ji[α2c2-(±t±^)2]……①(其中AABC内角4

B,C所对的边分别为a、b、c,S为△4BC的面积)

(1)证明公式①；

(2)已知AABC三条边BC,AC,4B的高分别为%=F,∕⅛=Y1∕c=QH,求S∙

20.(本小题12.0分)

碳中和是指国家、企业、产品、活动或个人在一定时间内直接或间接产生的二氧化碳或温室

气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳或温室气体排

放量,实现正负抵消，达到相对“零排放."2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国

大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放

力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.某工厂响应国家号召，随着对工

业废气进行处理新技术不断升级，最近半年二氧化碳排放量逐月递减，具体数据如下表：

月份序号(3123456

碳排放量仍(吨)1007050352520

487488

并计算得∑*=ι*=91,∑f=1tiInpi≈73.1,1XJnPia22.5,e∙≈130,e∙≈132.

Q)这6个月中，任取2个月，求已知其中1个月的碳排放量低于6个月碳排放量的平均值的条件

下，另1个月碳排放量高于6个月碳排放量的平均值的概率；

(2)若用函数模型P=POekt对两个变量月份t与排放量P进行拟合，根据表中数据，求出P关于

t的回归方程.

附：对于同一组数据(xι,yι),(x2,y2),…，(xn,yn),其回归直线$=+：的斜率和截距的

最小二乘估计公式分别为：b=a=y-bx.

∑%(石τ)

21.(本小题12.0分)

已知椭圆C：⅛+⅞=1.

164

(1)若P(XOJo)为椭圆上一定点，证明：直线答+学=1与椭圆C相切；

(2)若P(XO,%)为椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M、N,直线MN分别交

直线y=∣x,l2:y=—TX于4B两点，且△4。B的面积为8.问：在X轴是否存在两个定

点Fi、F2,使得IlPFll-∣PF2∣∣为定值.若存在，求居、尸2的坐标；若不存在，说明理由.

22.(本小题12.0分)

已知f(%)=ex.sinx—x.

(1)若g(x)=2-2：)(x)(0<%<方,证明：g(χ)存在唯一零点；

(2)当xe(-8,7r)时•，讨论f(x)零点个数.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：：4={x∣0<X<3},F={x∣—X2—2x+8≥0}={x∖x2+2x-8≤0}={x∣-4≤

X≤2},

∙∙AΓ∖B=(0,2].

故选：B.

可求出集合4,B,然后进行交集的运算即可.

本题考查了集合的描述法和区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的定

义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】A

l+i_(l+i)2__21_21

【解析】解：

VZ口=(IT)(I+i)=匚？=万

∙-∙∣z∣—z—∣i∣—(―i)—1+i.

故选：A.

利用复数代数形式的乘除运算化简Z,可得IZl与2,则答案可求.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题.

3.【答案】D

【解析】解：AD=CD-CA=^MA-CA=^(CA-CM}-CA=⅛-CM=⅛-⅛.

ɔɔɔɔɔɔ

故选：D.

根据平面向量的线性运算法则，即可得解.

本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的加法、减法和数乘运算法则是解题的关键,

考查运算求解能力，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由已知得前两位α和8一奇一偶，有戏G掰=8种排法，

后两位C和d一奇一偶，有心=2种排法，

根据分步计数原理，使得(α+b)(c+d)为奇数的排列个数为8X2=16种.

故选：C.

根据分步乘法计数原理，分前两位一奇一偶，后两位一奇一偶安排，利用先取后排的原则作答即

可得到结果.

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：由∕Q)=X2,/(X)+/(y)<ιj(√-ki)+/(√-bd)>1-

得：作出不等式组所对应的平面区域如图：

(∣x∣+∣y∣>1

由图可知，0的面积为TT义1?—X=兀一2.

故选：D.

由题意可得点P(χ,y)所满足的不等式组，作出可行域，再由圆的面积减去正方形面积得答案.

本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题.

6.【答案】C

【解析】解：由题意，因为ABCz)为正方形，且PDl底面4BCD,

以。为原点，DA,DC,OP所在直线分别为X,y,Z轴，

建立如图所示空间直角坐标系，设PD=AD=I,

则D(0,0,0),ff(l,l,0),C(O,1,O),P(O,O,1)>所以而=(1,1,-1),

PC=(0,1,-1).设方=A而，λ∈[0,1].则两=(/1,尢一用，

所以E(4,4,1-4),即灰=(4,4,1-4),设平面PBC的法向量为五=(X,y,z),

则低.竺=0,有]：+；—：一°,解得X=0,y=z,Wy=z=l,

E∙PC=0ky-Z=O''

所以平面PBC的一个法向量为亢=(0,1,1),

设直线DE与平面PBC所成角为θ,

∏l∣∣sinΘ=∣cos<n,DE>∣=J;黑=----.1—=----；■1

222,

'l"l∣DE∣√-2χJ2λ+(l-Λ)y∕~2×y∣3(λ-∣)+∣

因为y=Sin仇Se[0,总单调递增,所以当4=守时，

S讥。=?最大，此时即直线DE与平面PBC所成角的最大值为余

故选：C.

根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，利用函数的最值，即可得结果.

本题考查线面所成角，最值问题，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：第一个正方形的边长为瓦=1,面积为的=&=1,

2

第二个正方形的边长为电=2X瓦)=√^2瓦，面积为a2=好=(√^7h1)=2瓦=2a1,

,2

第三个正方形的边长为b3=2×2)=√^2⅛2面积为α3=优=(y∕~2b2)=2b1=2α2,

进而可知：｛αj是以公比为2,首项为1的等比数列，

n1n1

所以Qn=2^,log2an—log22~=Tl-1,

Ln为偶数

由于C0snττ=

-l,n为奇数'

所以Σ[cos(mr)[0①噎|=∑∏='ι3[cos(nπ)∙(n-1)]=0+1—2+3—4+54------F2021—

2022

=0+(1-2)+(3-4)+-+(2021-2022)=-1×202^-1=-1011.

故选：B.

n

根据图形规律可知｛an｝是以公比为2,首项为1的等比数列，进而根据c。Smr=F'为偶?”，并

I-I,n为奇数

项求和即可.

本题考查了等比数列的通项公式和分组求和，属于中档题.

8.【答案】B

1

-1X2+X

【解析】解：令g(χ)=/(X)--％,则g(-%)=/(-%)2-

则g(x)+g(-χ)=f(χ)+/(-χ)-χ2=0,得g(χ)为RJs的奇函数，

•・,X≥0时，g'(%)=∕,(x)一%—1V0,故g(X)在(0,+8)单调递减，

再结合g(0)=。及g(%)为奇函数，知g(x)在(-8,+8)为减函数，

由不等式f(2-α)≥/(α)+4-4a,

可得/(2-a)—2(2—Q)2—(2—Q)≥/(Q)+4—4a——(2—ɑ)2—(2—Q),

1-1

2

整理得到/(2—ɑ)--(2—a)2—(2—Q)≥f(Q)--CL-Cl9

即g(2-a)≥g(a),可得2-a≤Q,解得a≥l,

所以实数a的取值范围为［1,+8).

故选：B.

令g(x)=/'(无)-卜2一X,由g(τ)+g(%)=0,可得函数g(χ)为R上的奇函数.利用导数可得函

数g(%)在R上是增函数,/(2-a)-/(a)≥2-2a,即g(2—a)≥g(a),可得2-a≥a,由此解

得a的范围.

本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题.

9.【答案】ABC

【解析】解：根据题意，依次分析选项:

对于4,若A,B为相互独立事件，贝IJP(AB)=P(AB),则有P(BIA)=嬲=笔翼=P(B),A

正确；

对于B若P(BM)=P(B),即需=P(B),变形可得P(4B)=P(A)P(B),故P(AIB)=翻=

rlzι√γ∖d)

畸詈=P(A),B正确；

对于C,由全概率公式可得：P(B)=P(A)P(BM)+P(4)P(B∣4)=P(4B)+P(4B)，C正确；

对于D,P(AB)=P(A)P(BM),。错误.

故选：ABC.

根据题意，由条件概率的计算公式依次分析选项是否正确，综合可得答案.

本题考查条件概率的性质以及应用，涉及相互独立事件的性质，属于基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：由函数/(x)=2sin(ωx+¾o)(ω>

0,0<φ<π),

因为「给)=2√φ=0,可得Sin(3×⅞+φ)=

l,sin(ωxg+尹)=0,

可得驾+卜逐号+

<P=≡+2φ=k2π,(∕c1∈

Z,k2∈Z),

则3=(后的∈

4(fc2-2∕c1)-2,eZ,Z),

又因为f(X)在XeGJ)上单调,所以袅JY=I即τ≥∕,

。乙ZZOɔɔ

因为3>0,可得CI)=—≤3,

⅛-2k=4,可得3=2,则萼+w=3+2的兀,七6Z,可得W=T+2七兀,七eZ,

1IZZJ

又因为0<9<τr,可得s=g,可得f(x)=2sin(2x+

检验：当X∈GW),2x+∣∈(y,y),故f(X)=2S讥(2X+)单调递减,满足题意,

所以4不正确，8正确;

由％∈[0,争可得2%+T∈g,2ττ],

令/(x)=0,即sin(2%+勺=0,解得％=g或X=罟

所以函数/(X)在[0,普]上有两个零点，所以C正确；

令则弓寿

⅛x∈≠x2,2x+∈(ɪ,ɪ)'2x+g=t,t6)，

因为％,&且可得

e(π,y)(x1≠X2)-/(Xl)=Z(X2)>f(tl)=/«2)，

根据函数的对称性，可得空=*即〃+逅=5叫

即2X]+g+2xι+g=5π,可得X÷x=~τ~>

ɔɔ1O2

所以乂早+今=所以不正确.

/Qι+x2)=2sin(2√~3>D

故选：BC.

根据题意求得函数/(X)=2sin(2x+今,可判定4错误,8正确；由X∈[0,手,得到2%+为∈臣2利，

令求得=裁%=,可判定正确；令转化为得到

f(x)=0,X⅞C2x+?=t,fG)=/(t2),G+t2=

5π,进而可判定。错误.

本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题.

11.【答案】AD

【解析】解：在正四棱锥P-ABCD中，AC.BD、PO两两垂直，建系如图，

因为PA=2,AB=O,则APAC,APBD是等边三角形，

Λ(0,-l,0),B(LO,0),C(0,l,0),D(TO,0),P(0,0,√3),

若M是PD中点，则过M作MQIBC交BD于Q,则Q为OD中点，EF交OP于G,

∣∣∣∣∣β≤_-2_<32√3215

则BM-MQ-3，n0Gr=~X3=~'PG=M，

—=—∙,4A正确.

POAC,EcFc=~j^~=3

PD1平面BEMF,则M是P。中点，且BM1EF,

S四边形BEMF=%X%XJ（_,2+W）2=浮，B错误；

当E、F均为中点时，

设打=2丽，PM=μ^PD,

-->1—>1一>…，>,>»1一,>>—»2»1,

・・・PG=-PO=4（PB+PD）,BG=PG-PB=Z（PB+PD）-PB=--PB-{--PD9

又BM=PM-PB=NPD-PB，：.BG=λfiPD一入PB,：・人μ

ʌPM=|，故C错误；

若£、F均为中点，则EQ,-；,?）,/7（0；,?）,

・•・BE=（-1,一；,?）,BF=（―l,ɪ,ɪ）,

n•丽=-X--y+—z=0

2

设平面尸的法向量是记=_C，令

BEM(x,y,z)1k1X=I,y=0,Z=TT

n.RF=—X÷-y+—z=0

平面BEMF的法向量是记=(1,0,1)，

又丽=（一LO,√3）,

,∖BP∙n∖-1+2

•••点P到平面BEMF的距离为d=；故。正确.

11I0+1+4

故选：AD.

根据空间几何体的特征，结合每个选项的条件计算可判断每个选项的正确性.

本题考查利用向量法求空间距离，考查截面面积，属中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：4将(α,b),(瓦。)代入曲线方程有(？+。3-6助=0都成立,即曲线G关于直线y=X

轴对称，A对；

B.将y=6-X代入曲线方程有炉+(6-X)3-6x(6-X)=0,整理得/-6x+9=(x-3)2=0,

.∙.x=y=3,即曲线G与直线X+y-6有唯一公共点(3,3),B对；

C.将y=X+1代入曲线方程有/+(χ+1)3-6x(X+1)=0,整理得2/-3x2-3x+1=0,

令/(x)=2/—3/—3x+1,则/'(X)=3(2χ2-2x-1),且％>0,

・・.在(匕/,+8)上[(X)>0,"%)递增；在(0,巨尹)[(X)<0,f(x)递减，

又f(0)=1>0,〃|)=6>0,/(手)=-年-1<0,

.∙∙f(x)在(0,+8)上有两个零点，C错；

。.令曲线G上任意一点(rcosO,rsinO)且。∈(。,今，且到原点的距离为r,

•••r3(cos30+s20)=6r2cosθsinθ,则r=黑黑⅞=砌湍罂脸P

设t=cosθ+sinθ=√7sin(0+≡)∈(1,√^2],则cos9sin8=

6(t2-l)612

:∙T=-----T-=------l1-------7，

t(3-t)f3t—£

令y=3t—t3,t∈(l,√^^2],y,=3(1-t2)<0,即t6上y单调递减，

.■r=-5+券在te(1,上单调递增，

∙,∙rmax=1+=3√^^Σ,D对•

故选：ABD.

A可看出(α,b),(b,α)都满足曲线G的方程，从而得出曲线G关于y=x对称；

B.联立直线％+y—6=0和曲线G的方程解出X,y即可判断B的正误；

C.将y=X÷1代入曲线G的方程,整理得2/-3X2-3x+1=0,然后设/(%)=2x3-3x2-3x÷

I,求导可得出/(X)在(竽,+8)上递增；在(0,匕F)上递减，并得出/(O)>o,∕(∣)>

oj(iip)<o,从而可判断C的正误；

。.曲线G上任意一点(rcosars讥。)且。e(O,ξ),且到原点的距离为r,然后得出r=

(cos"：；黑，SinT设t=cosθ+sinθ=QSin(O+》得出t∈(1,。］,然后可得出r=-θ+

悬，并可判断该函数在(1,47]上单调递增，从而可求出r的最大值，从而可判断。的正误.

本题考查了关于y=χ对称的点的坐标的关系，直线和曲线交点坐标的求法，根据导数符号判断函

数单调性的方法，根据函数的单调性判断函数零点个数的方法，增函数的定义，考查了计算能力,

属于中档题.

13.【答案】2兀(答案不唯一)

【解析】解：令C=2π,/(x)=SinXSiMX+2ττ)=sinxsinx=sin2%,

m%o=P则/(Xo)=/⑤=siM>l,故*=2兀符合题意.

故答案为：2以答案不唯一).

令<jp=2τr,化简函数∕^(x),/(x)=Sin2%,验证f(A⅛)=1即可.

本题考查诱导公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.

14.【答案】(—1,1)

【解析】解：依题意，令铲+(α2—l)x2+asinx+(-x)4+(α2—l)(-x)2+asin(-x')=0,

BP2X4+2(a2—I)X2=0,BPx2[x2+(a2—1)]=0,

2

则/+a-l=。存在有限个非零实数解，

则1-a2>0,解得一1<a<1.

故答案为：(—1,1).

根据题意可得/+a2-1=0存在有限个非零实数解，由此可建立关于a的不等式，解出即可.

本题考查函数奇偶性的应用，理解类奇函数的定义，方程有解的含义是解题的关键，考查逻辑推

理能力和运算能力，属于中档题.

15.【答案】bca

【解析】解：a=log23+看,b=log2e+康,C=V=I+|,

设/(%)=%+%(%>1)，

则Q=/(log23),b=/(log2β),C=∕φ,

∙∙"'(χ)=i—妥>o在(i,+8)上恒成立，.•・/(%)在(1,+8)上单调递增,

,

∙∙∙Iog23>IOg22。=|,log2e<log22√^2=

3

.∙.log23>->log2e,

・•・a>c>b.

故答案为：b<c<a.

先得到对勾函数/(x)=久+：在(L+8)上单调递增，再利用对数函数的性质求解即可.

本题考查对勾函数的单调性，对数函数的运算法则与性质，属于中档题.

16.【答案】10

【解析】解：由题意得5个1分布图表：

11145

11245

22245

33245

33345

依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论，确定M的最大值，

(I)若5个1分布在同一列，则M=5：

(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3,故2M≤5×l+5×3=20,

故M≤10；

(3)若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3,故3M≤5xl+5x2+

5×3=30,故M≤10；

(4)若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3,这与已知矛盾，

综上所述，M≤10；

另一方面，如上表的例子说明M可以取到10,故”的最大值为10∙

故答案为：10.

根据题意，由5个1分布的列数不同情形进行讨论，即可确定用的最大值.

本题考查了合情推理的应用，属于基础题.

17.【答案】(1)证明：连接00「。。InAlB=N,则0。1/CC1，且。Ol=CC1，

VO1N=ON,MC=MC1,.∙.01C1//MN,

VOIClC平面41BM,MNU平面&BM,.∙.OlCI〃平面&BM,

(2)解：设4C=α,BC=b,则α2+∕√=8,VAi.ABC=∣5ΔΛBC-AA1=1ab≤^×2ʃ=

当且仅当AC=BC=2,体积最大，

如图所示，建立空间直角坐标系C-盯z,

Aι(2,0,2),B(0,2,0),M(0,0,1).则前=(0,2,-1),MA^=(2,0,1),

设平面M的法向量元=(%,y,z),

贝Ji?.吧=2y-z=0

不妨取Z=2,则记=(-1,1,2),

{n∙MA1=2x+z=0

取平面BCM的法向量而=(1,0,0),则ICos＜而，元＞|=得得=詈,

所以平面AlBM与平面BCM夹角的余弦值为华.

6

【解析】(1)由已知可证OlCi〃MN,进而可证结论;

(2)设4C=α,BC=b,可得AC=BC=2,体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法可求平

面4BM与平面CBM夹角的余弦值.

本题考查线面平行的证明，考查面面角的求法，属中档题.

18.【答案】解：⑴Vn∈N*,2Srι=3(匕-1),当n≥2时，2Srιγ=3(垢T-1),两式相减得:

2bn=3bn-3hn.1,

即brι=3brι-ι,而2瓦=2S1=3(b1—1),

解得瓦=3,

因此数列｛砥｝是首项为3,公比为3的等比数列，

所以“=3巳

在等差数列｛cτι｝中，由Cl+C2+c3=27,得3C2=27,

解得C2=9,

则公差d=c3-C2=4,cn=c1+(n-l)d=4n+1,

n

所以｛%｝和｛〃｝的通项公式分别为&=3,cn=4n+l;

(2)令数列｛%｝的第Tn项与数列｛与｝的第k项相同，即Cm=bk,m,k∈N*,

于是4m+1=3k=(4-l)k=以#+(-l)C3k^1+(-l)2Cfc4fc-2+…+(-l)k-1⅛-14+

(T)"，

显然Cf4∙k+(-l)C3k^1+(T)2或小-2+...+(—1)JCtT4是4的正整数倍，要4m+1=3小成

立，

当且仅当k为正偶数，因此数列｛brι｝与｛cn｝的共同项为∕⅛n=32n=＞，即厮=＞，

所以T20=9X92X93X…X920=91+2+3+"+2°=921°.

【解析】(1)根据给定的递推公式求出bn=3%γ(n≥2),即可求出匕，再求出等差数列｛d｝的公

差，利用等差数列的通项公式求出Cn作答；

(2)利用二项式定理分析、探求出即的表达式即可求出「20作答.

本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了数列的函数特征，属于中档题.

19.【答案】解：(1)在△?!BC中，AB=c,AC=b,BC=a,

过点4作4D1BC,设4D=∕ι,BD=x,CD=y,

fx+y=a-------------------------

由/l2=c2_/得：%=次+'2-庐,=业V,J4α2c2-(α2+c∙2-b2)2,

(h2=b2-y22a2an~~

222222

]y∣4αc-(α+c-ft)

/1r97zc2+(z2-∕j2

√—2—)「

.,,,LCL111x∏L5y∏∖∏L0

(z2π)λffla∕ι=bht)—chff知rQ：b：c=­：—：——―-—：-τ-：，

acZIa∣lfyZICɔ乙XU

设CI=1^k,b==k,c=^^∙k,k>0,

・•・号l<2=gk，ʌk—2√^5，

ʌa=2yJ~3,b=ʌ/IO1c=V-2,

所以S=Ta%=；x2qxf=C.

LL3

【解析】(1)在AaBC中，过点4作ADJ_BC,设AD=∕ι,BD=x,CD=y,算出九=

J4α2c2-(α2+c2-b2)2,然后利用面积公式即可证明；

2a

(2)由α%=b∕⅛=c七可设a=Wk,b=?k,c=[*k，k>0,代入三角形面积公式可得S=

*k2=gk,解出k,求出a,即可求解.

本题考查解三角形问题，三角形面积的求解，方程思想，属中档题.

20.【答案】解：(1)设事件4表示“1个月的碳排放量低于6个月碳排放量的平均值”，事件B表示

“1个月碳排放量高于6个月碳排放量的平均值”，

cjcj

则P(B⑷=需=3Ca=

P(A)C3C3÷c32

(2)由P=POeM可得，》p=kc+仇po，

则k=%t即PT%S≈γ.32,

∑之济-6t

7

所以a=3.75+0.32XI=4.87,

所以回归方程为)p=-0.32t+4.87,

所以P=e4∙87•e-0∙32t≈130e-o∙32t.

【解析】(1)利用条件概率的概率公式求解；

(2)由P=Poekt可得，InP=kt+Inpo,利用所提供的数据求出々,进而求出a,得到P关于t的回归

方程；

本题主要考查了条件概率的概率公式，考查了非线性相关的回归方程的求解，属于中档题.

21.【答案】解：(I)证明：当y0=0时，XO=±2，直线表+平=1与椭圆C相切,

当y°≠0时J+季=1，

z16-xox

联立4y0,得(诏+4弁)％2-32&%+16(16-4据)=0,

%2+4y2-16=O

所以M—2x0x+16-4yθ=0,

所以Zl=%Q+4yθ-16=0,

所以直线裳+孥=1与圆C相切.

IO4

(2)设M(Xl,%),/V(x2,y2),

(汕+竺=1(2+坚=i

则由⑴得性+白=]，则患+身=]'

1164V164

所以M(XI,%)，N(X2/2)是方程兼+¥=1的两根，

IO4

所以直线MN的方程为鬟+孥=1，

Io4

16r0;C

y

联立/°，得XA=瀛,

y

同理可得&=Wv

162_64

&&=WB=石n'

__1_1

tan乙4。B=—=一工,

1+(-∣)∙53

所以Sin乙40B=2

所以SgoB=：|。*|。BISin乙40B=TJTTlI∕∣JTTɪlXBl[=8,

所以4据一就=±16,点P的轨迹是双曲线，

所以存在久轴上的点尸1（—2/亏,0）,尸2（2，