高中数学 两角和与差的正弦余弦正切公式(二)课时跟踪检测 新人教A版必修

【优化指导】2015年高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）课时跟踪检测新人教A版必修4知识点及角度难易度及题号基础中档稍难两角和与差正切公式的运用1、3、67、9给值求值(角)问题2、4、510、11综合问题8121．与eq\f(1－tan21°,1＋tan21°)相等的是()A．tan66° B．tan24°C．tan42° D．tan21°解析：原式＝eq\f(tan45°－tan21°,1＋tan45°tan21°)＝tan(45°－21°)＝tan24°.答案：B2．若tan28°·tan32°＝m，则tan28°＋tan32°＝()A.eq\r(3)m B.eq\r(3)(1－m)C.eq\r(3)(m－1) D.eq\r(3)(m＋1)解析：tan(28°＋32°)＝eq\f(tan28°＋tan32°,1－tan28°tan32°)＝tan60°＝eq\r(3)，又tan28°·tan32°＝m，∴tan28°＋tan32°＝eq\r(3)(1－m)．答案：B3.eq\f(tan10°＋tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)的值应是()A．－1 B．1C.eq\r(3) D．－eq\r(3)解析：∵tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°，∴原式＝eq\f(tan60°－tan60°tan10°tan50°＋tan120°,tan10°tan50°)＝－tan60°＝－eq\r(3).答案：D4．已知α＋β＝eq\f(3,4)π，则(1－tanα)(1－tanβ)＝()A．2 B．－2C．1 D．－1解析：∵－1＝tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，∴tanα＋tanβ＝－1＋tanαtanβ.∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2.答案：A5．若(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则α＋β＝______.解析：∵(tanα－1)(tanβ－1)＝2，∴1＋tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝2.∴－(tanα＋tanβ)＝1－tanαtanβ.∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝－1.∴α＋β＝kπ＋eq\f(3π,4)，k∈Z.答案：kπ＋eq\f(3π,4)(k∈Z)6．计算：eq\f(cos15°－sin15°,cos15°＋sin15°)＝______.解析：原式＝eq\f(\f(cos15°,cos15°)－\f(sin15°,cos15°),\f(cos15°,cos15°)＋\f(sin15°,cos15°))＝eq\f(1－tan15°,1＋tan15°)＝eq\f(tan45°－tan15°,1＋tan45°tan15°)＝tan(45°－15°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)7．化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋eq\r(3)[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．解：∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝eq\f(tan18°－x＋tan12°＋x,1－tan18°－x·tan12°＋x)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝eq\f(\r(3),3)[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]．∴原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.8．锐角△ABC中，tanAtanB的值()A．不小于1 B．小于1C．等于1 D．大于1解析：由于△ABC为锐角三角形，∴tanA，tanB，tanC均为正数．∴tanC>0.∴tan[180°－(A＋B)]>0.∴tan(A＋B)<0，即eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)<0.而tanA>0，tanB>0，∴1－tanAtanB<0，即tanAtanB>1.答案：D9．化简eq\f(tanα＋β－tanα－tanβ,tanαtanα＋β)的结果为______．解析：原式＝eq\f(\f(tana＋tanβ,1－tanαtanβ)－tanα－tanβ,tanα·\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ))＝eq\f(tanα＋tanβtanαtanβ,tanα＋tanβtanα)＝tanβ.答案：tanβ10．已知α，β均为锐角，有tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)，求tan(α＋β)的值．解：tanβ＝eq\f(cosα－sinα,cosα＋sinα)＝eq\f(1－tanα,1＋tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，因为α，β均为锐角．所以－eq\f(π,4)<eq\f(π,4)－α<eq\f(π,4)，0<β<eq\f(π,2).又y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是单调函数，所以β＝eq\f(π,4)－α，即α＋β＝eq\f(π,4)，tan(α＋β)＝1.11．已知tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两根，且－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，求α＋β的值．解：由根与系数的关系得tanα＋tanβ＝－3eq\r(3)，tanαtanβ＝4.∴tanα<0，tanβ<0.∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－3\r(3),1－4)＝eq\r(3).又－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，且tanα<0，tanβ<0，∴－π<α＋β<0.∴α＋β＝－eq\f(2π,3).12．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝eq\f(2π,3)，(2)taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．解：假设存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝eq\f(2π,3)，(2)taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)同时成立．由(1)得eq\f(α,2)＋β＝eq\f(π,3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))＝eq\f(tan\f(α,2)＋tanβ,1－tan\f(α,2)tanβ)＝eq\r(3).又taneq\f(α,2)tanβ＝2－eq\r(3)，所以taneq\f(α,2)＋tanβ＝3－eq\r(3).因此taneq\f(α,2)，tanβ可以看成是方程x2－(3－eq\r(3))x＋2－eq\r(3)＝0的两个根．解得x1＝1，x2＝2－eq\r(3).若taneq\f(α,2)＝1，则α＝eq\f(π,2)，这与α为锐角矛盾．所以taneq\f(α,2)＝2－eq\r(3)，tanβ＝1.所以α＝eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,4).所以满足条件的α，β存在，且α＝eq\f(π,6)，β＝eq\f(π,4).1．两角和与差的正切公式变形较多，这样变式在解决某些问题时十分便捷，应当利用公式能熟练推导，务必熟悉它们．例如，tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－e