2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第一章 第三讲　全称量词与存在量词 学案

第三讲全称量词与存在量词

•双基自测SHl

知识梳理

知识点全称量词与存在量词

1.全称量词与存在量词

⑴全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词,

用符号“上表示.

⑵存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在

量词，用符号表示.

2.全称量词命题和存在量词命题

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中的任意一个X,有P(X)成立存在M中的一个xo,使P(Xo)成立

简记VX∈M,〃(X).mxodM,HxO)

否定3xo^M,MXo)RXRM,〃(X)

归纳拓展

1.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

2.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否

定.

3.命题〃和狒”的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断

此命题的否定的真假.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论正误(在括号内打“或“X”)

(1)至少有一个三角形的内角和为无是全称量词命题.(义)

(2)命题“正方形都是矩形”的否定是存在一个正方形，这个正方形不是矩

形.(J)

(3)若命题p：Vx∈R,占＜0，则*R,4∙(X)

(4)若命题p：D”，⅛∈R,方程0x2+b=0恰有一解，则㈱p：3a,b^R,

方程加+Z?=0无解.（X）

题组二走进教材

2.（必修1P3∣练习Tl改编）命题''Vx∈R,x2+x+l>0w的否定是3x∈R,

f+x+iWO.

3.（必修IP3I习题T3改编）下列命题中的假命题是（C）

A.3x∈R,Igx=IB.3x∈R,SinX=O

C.Vx∈R,√>0D.∀X∈R,2Λ>0

［解析］当X=IO时，Ig10=1,则A为真命题；当X=O时，SinO=O,则B

为真命题；当x≤0时,x3W0,则C为假命题；由指数函数的性质知，Vx∈R,2'>0,

则D为真命题.故选C.

4.泌修IP32T6改编）已知命题p：Vx∈R,SinX20,则下列说法正确的是

（A）

A.p的否定是存在量词命题，且是真命题

B.〃的否定是全称量词命题，且是假命题

C.P的否定是全称量词命题，且是真命题

D.〃的否定是存在量词命题，且是假命题

［解析］命题p：VXeR,sinXN0,该命题为假命题.〃的否定是存在量词

命题，且是真命题.故选A.

题组三走向高考

5.（2016•浙江）命题"Tx∈R,3∕7∈N*,使得〃2/”的否定形式是（D）

A.Vx∈R,3∕ι∈N*,使得〃

B.∀Λ∈R,VX∈N*,使得

C.3Λ∈R,≡∏∈N∖使得〃<x2

D.3%∈R,∀∕7∈N%使得〃<r2

［解析］根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D.

考点一含有一个量词的命题的否定——自主练透

例1（1）（2022.青岛模拟）设命题p：所有正方形都是平行四边形,则^〃为（C）

A.所有正方形都不是平行四边形

B.有的平行四边形不是正方形

C.有的正方形不是平行四边形

D.不是正方形的四边形不是平行四边形

(2)(2023・武汉模拟)命题''Vx∈[0,+∞),Λ3+X20”的否定是(C)

A.Vx∈(-∞,O),x3+x<0

B.VΛ∈(—8,0),%3+X20

i

C.3x∈[O,+∞)tx+x<0

D.≡x∈[0,+∞),√+x≥0

(3)已知命题p：u3x∈R,ev-Λ-1≤0",则睇P为(C)

A.≡x∈R,ex-χ-1≥0

B.≡Λ∈R,eʌ-ɪ-1>0

C.∀Λ∈R,er-χ-l>0

D.VχGR,ex-χ~1≥0

[解析](1)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都

是“(或"不是")，即为有的正方形不是平行四边形.

(2)含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，所以，命题“V

x∈[0,+∞),x3+x2(Γ'的否定是''mx∈[O,+∞),x3+x<0w,故选C.

(3)根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系，可得〃为"Vx∈R,

e'—x—1>0”，故选C.

名用点彼MINGSHIDIANBO

否定全称量词命题和存在量词命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存

在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直

接否定结论.

考点二全称量词命题、存在量词命题的真假判断——师生共研

例2(1)(多选题)(2022.德州模拟)下列四个命题中为真命题的是(BD)

A.3x∈(0,+°°),

B.3X∈(0,1),IOgy>1OgP

23

X

C.∀Λ∈(0,+∞),自I>logιx

D.Vx∈fθ,Iɪ

<1Og产

（2）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（B）

A.锐角三角形有一个内角是钝角

B.至少有一个实数九，使x2≤0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数X,使：>2

［解析］（1）对于A,当x∈（0,+8）时，总有（，>（；）成立，故A是假命题；

对于B,当X=百时，有I=IOgg=IOg<>logg；成立，故B是真命题；对于C,当

0<x<；时，IOg尹>1〉（，，故C是假命题；对于D,VXe（0,∣）,æ<l<log∣Λ,

故D是真命题.

（2）A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当X=O时，x2

=0,满足VWO,所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为6+（一6）

=0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数X,都有:<0,不满

足：>2,所以D是假命题.

名獐A拨MINGSHIDIANBO

判断全称量词命题”V九∈M,p（xY,是真命题，需要对集合M中的每一个

元素无，证明Pa）成立；要判断存在量词命题是真命题，只要在限定集合内找到

一个X=X（）,使PQ））成立即可.

〔变式训练1〕

（1）（多选题）已知下列命题，其中是真命题的是（CD）

A.Vx≡R>—x2<0

B.3Λ∈Q,Λ2=5

C.3x∈R,x2—x—1=O

D.若p：Vχ∈N,x221,则㈱p：3x∈N,x2<l

(2)已知定义域为R的函数7U)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是

(C)

A.Vx∈R,Λ~x)≠f(x)

B.∀x∈R,fi-χ)≠~f(x)

C.3x≡R,我—X)≠∕(x)

D.3x∈R,八一x)≠-^fix)

［解析］(I)A中，当X=O时，-N=O,故A是假命题；B中，X2=5,X=±√^,

玷是无理数，故B是假命题；C中，当X=喈时，X2-X-I=O;D中，全称

量词命题的否定是存在量词命题，故C,D是真命题.

(2)：定义域为R的函数式处不是偶函数，二Vx∈R,1一x)=«r)为假命题，

3%∈R,_/(—x)壬/(x)为真命题.

考点三由命题的真假求参数的取值范围——师生共研

例3已知命题p：VχGR,x2—a20；命题q：3%∈R,x2+20r+2-α=0.

若命题p,q都是真命题，则实数α的取值范围为(-8,—2］.

［解析］由命题P为真，得αW0,由命题q为真，得/=4/-4(2—α)20,

即α≤-2或α21,所以0W-2.

名獐A拨MINGSHIDIANBO

已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用结合的运算求解参数的取值范

围.

〔变式训练2〕

⑴已知命题p：3x>0,x+a~∖=Q,若P为假命题，则实数。的取值范围

是(D)

A.{a∖a<1}B.{α∣α≤1}

C.{a∖a>∖}D.{4∣α21}

(2)能说明命题"Vx∈R且x≠0,x+^2”是假命题的X的值可以是一1(任

意负数)(写出一个即可).

[解析](D；p为假命题，p为真命题，即VX>0,尤+a—1W0,即VX〉0,

x≠l-a,Λl-α≤O,则心1,二实数α的取值范围是{α∣α21}.

(2)当x>0时，x+⅛2,当且仅当x=l时取等号，当x<0时，x+∕w-2,

当且仅当x=-l时取等号，.∙.x的取值为负数即可，例如X=-L

臾破双变量”存在性或任意性”问题

逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变

量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价

转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养

学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.

2

例4已知√(x)=ln(x+l),g(x)=Q]一机，若对于Vxι∈[0,3],3χ2∈[l,2],

使得加π)2g(x2),则实数m的取值范围是(A)

,

-I+8

A.ʃ

c∙⅛+8)D∙(―8,ɪ

［解析］当X∈［0,3］时，./(x)min=ΛO)=O,

当XG［1,2］时，g(x)min=g(2)=；—〃2,

由"x)min2g(x)min得。导彳一〃2,所以相巳不

［引申1］把本例中"3X2∈［1,2Γ,改为:“V尤2∈［1,2］”,其他条件不变,则

实数m的取值范围是加马.

［解析］当X∈［0,3］时，∕U)min=ΛO)=O,

当X∈［l,2］时，g(x)max=g(l)=T-"Z，

由Xx)min2g(x)max得0差一〃?，所以"?2,

[引申2]把本例中，VM∈[0,3]改为mxι∈[O,引其他条件不变，则实数机的取

值范围是/n^ɪ-In10.

［解析］当x∈［0,3］时，7U)max=Λ3)=ln10,

当X∈［l,2］时，g(x)min=g(2)=(-Μ，

由/(©max2g(x)min得1∏IoNa一加，

所以〃22［一In10.

［引申3］把本例中,∀xι∈［0,3］,mX2∈引,2］改为m*ι∈［0,3］,Vχ2∈［l,2］,

其他条件不变，则实数加的取值范围是机2,一InlO.