2023年高考数学三轮复习06 解析几何含答案

2023年高考数学三轮复习查补易混易错点06解析几何

ɑlj

1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确

定倾斜角的范围时出错.

2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视

截距为0的情况，直接设为；+1；再如，过定点P(XO,yo)的直线往往忽视斜率不存在的情

aa

况直接设为y-yo=A(X-XO)等.

3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，

一条直线的斜率不存在另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时,两直线平行或重合,

易忽视重合.

4.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式JA?+晶,导

致错解.

5.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线

的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2α<∣B∕¾如果不满足第一个条件，动

点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.

6.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a,b,c三者之间的关系，导

致计算错误.

7.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解.

8.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注

意：二次项的系数是否为零，判别式/K)的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，

必须先有“判别式/加”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“/>0”下

进行.

好题演练

1.（2023•吉林•统考三模）已知圆C:x2+y2-2x+2y=0,直线/：X-y+l=0,则圆心。到直

线/的距离为（）

A.yB.在C.ID.逑

2222

2.（2023•四川遂宁•统考二模）过直线/:x+y-5=0上的点作圆C:（X-1）2+（），+2『=6的切线，

则切线段长的最小值为（）

A.√6B.2√3C.√L5D.3√2

3.（2023•甘肃兰州•校考模拟预测）若直线x+y-α=0与曲线y=2-J-f-2χ恰有两个公共点,

则α的取值范围是（）

A.[l-^,l+√2]B.（l-√2,0]

C.[2,l+√2)D.(1-√2,0)

4.（2023•河南开封•开封高中校考模拟预测）设尸为抛物线Uy2=4X的焦点，点A在C上，点

3（4,0）,若∣AF∣=∣BF∣,则43的中点到，轴的距离是（）

A.2B.2√2C.3D.3万

5.（2023•陕西榆林•统考二模）已知双曲线C：^-⅝=1（⅛>0）的左、右焦点分别是K,F2,

49b

。是双曲线C上的一点，且∣PK∣+IPEl=34,若抽_LP/"则双曲线。的离心率是（）

、13n13C13n17

A.—B∙—C.-D.—

57127

6.（2023•山东潍坊联考二模）椭圆£+方=1,>石）的左、右焦点分别为K,F2,A为上顶

点，若的面积为6,则△4中；的周长为（）

A.8B.7C.6D.5

7.（2023•天津河东•一模）已知双曲线'-g∙=l（a>0,6>0）的实轴为4,抛物线丁=2px（p>0）的

准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为尸（4,机），则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±述XB.y=±MχC.y=+→D.y=+^-x

,3334

8.（2023•江西南昌•统考一模）“米”是象形字.数学探究课上，某同学用抛物线G：V=-2PXs>0）

和G：/=2px（p>0）构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线G,G的焦点分别

为6,8，点P在抛物线G上，过点尸作X轴的平行线交抛物线G于点Q,若P4=2尸。=4,则

A.2B.3C.4D.6

9.（2023•天津•校联考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStUdio设计的南非双曲线大教堂惊

讶世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一

段近似看成双曲线，-1∙=l（α>0）下支的一部分，以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的

圆与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B、C、。四点，四边形ABC。的面积为2”,则双曲

线的方程为（）

10.（2023•新疆阿克苏•校考一模）如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡户（当成

质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右

焦点.若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平

面上的点为A,椭圆的右顶点到A点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率，等于（）

A

11.（多选题）（2023•广东江门•统考一模）已知曲线UYsina+/COSa=I（O≤α<7r）,则下列说

法正确的是（）

A.若曲线C表示两条平行线，则。=0

B.若曲线C表示双曲线，则T<a<π

C.若0<α<],则曲线C表示椭圆

D.若0<α<%则曲线C表示焦点在A轴的椭圆

22

12.（多选题）（2023•湖北•校联考模拟预测）已知6,K是椭圆从上+上=1的两个焦点，点P

43

在椭圆E上，则（）

A.点片,工在X轴上B.椭圆E的长轴长为4

C.椭圆E的离心率为TD.使得aEPE为直角三角形的点P恰有6个

13.（多选题）（2023•山东着泽预测）已知双曲线£-《=1（。>0,〃>0）的左、右顶点分别为A,

aa

B,M是双曲线右支上一点，且在第一象限，线段MA被两条渐近线三等分，则（）

,_b„,_3b

Aa.∣<-=—B.=一

ma5aa

C.zM14B的面积为34bD.若K4垂直于一条渐近线，则双曲线的离心率为3

14.（多选题）（2023∙黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考一模）已知抛物线U∕=4y,O为坐标

原点，尸为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的是（）

A.若点A（2,3）,则IPAI+|尸日的最小值为4

B.过点B（3,2）且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条

C.若正三角形OoE的三个顶点都在抛物线上，则OOE的周长为8√J

D.点”为抛物线C上的任意一点，G（O,-1）,∖HG∖=t∖HF∖,当，取最大值时，GF"的面积

为2

15.(多选题)(2023•广东•校联考模拟预测)已知双曲线C:4-4=1(«>0,⅛>0),C

a^b

的左、右焦点分别为K,F2,P为C上一点，则以下结论中，正确的是()

A.若P(屈1),且空口轴，则C的方程为/-V=1

B.若C的一条渐近线方程是J%-y=0,则C的离心率为当

C.若点尸在C的右支上，C的离心率为√J,则等腰。冗。的面积为从

D.若SinNP耳心=e∙sinN∕EK,则C的离心率，的取值范围是(1,0+1]

16.(2023•江西•校联考二模)写出与圆/+V=4和抛物线Y=3「都相切的一条直线的方程

17.(2023•河南开封•开封高中校考模拟预测)已知椭圆∖→]1=1的左焦点为BP是椭圆上

一点，若点A(LT),则IPAl+1PFI的最小值为.

18.(2023•山东聊城•统考模拟预测)已知双曲线CW-I=I(α>0,6>0)的左、右焦点分别为£,

ab~

F2,且恒4∣=4,P(3,√Σ)是。上一点.

(1)求。的方程；

(2)不垂直于坐标轴的直线/交C于M,N两点，交X轴于点4,线段MN的垂直平分线交X

轴于点O,若IAMl∙∣AN∣=2∣A0,证明：直线/过四个定点(-3,0),(-1,0),(1,0),(3,0)中的一个.

19.(2023•辽宁段山•统考二模)抛物线C:V=2px(P>0)上的点M(l,%)到抛物线。的焦点F

的距离为2,A、B(不与。重合)是抛物线C上两个动点，且OALO8.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)X轴上是否存在点P使得ZAP3=2ZAPO?若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

22

20.(2023•陕西汉中•统考二模)已知过点(Le)的椭圆E：宗+白=旧>∕,>o)的焦距为2,其

中e为椭圆E的离心率.

⑴求E的标准方程；

(2)设。为坐标原点，直线/与E交于AC两点，以OA,OC为邻边作平行四边形OSC,且点5

恰好在E上，试问：平行四边形。ABC的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，

说明理由.

查补易混易错点06解析几何

ɑlj)/易混易错归纳/

1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率

的取值范围确定倾斜角的范围时出错.

2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设

方程时，忽视截距为0的情况，直接设为%》1；再如，过定点P(xo,yo)的直

线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y-y。=k{x-Xo)等.

3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条

直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率

相等时，两直线平行或重合，易忽视重合.

4.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式

aQ,导致错解.

√A2+β2

5利用椭圆、双曲线的定义解题时,要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如

在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2α<PB∣∙如果

不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,

那么其轨迹只能是双曲线的一支.

6.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中alb,c三者之

间的关系，导致计算错误.

7.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴

导致漏解.

8.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到

的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式∕≥0的限制.尤其是在应用

根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式/K)”；在求交点、弦长、中点、

斜率、对称或存在性问题时都应在“/>0”下进行.

____________

EJ好题演练t

1.(2023•吉林•统考三模)已知圆C:x2+y2-2x+2y^0,直线/：x-y+l=O,

则圆心C到直线/的距离为()

√2

20浮

【答案】D

【解析】依题意，圆C:(x-l)2+(y+l)2=2的圆心C(I,-1),

所以圆心C到直线/的距离”

故选：D

2.(2023•四川遂宁•统考二模)过直线/:x+y-5=0上的点作圆C：

(X-I)∙(y+2)2=6的切线，则切线段长的最小值为()

A.√6B.2yβC.√15D.3亚

【答案】B

【解析】设直线上任意一点为P,过P作圆的切线,切点为M,圆C圆心C为(1,-2),

半径r=瓜,

则∖MP∖=JlPCF-，=√∣PC∣2-6,

要使IMPl最小，则IPC最小，易知IPq最小值为圆心C到直线/的距离.

即IPqN"尸）/=3√2,

故选：B.

3.(2023•甘肃兰州•校考模拟预测)若直线x-∖-y-a=。与曲线y=2-J-χ2-2X恰有

两个公共点，则α的取值范围是()

A.[l-√2,1+^^]B.(l-√2,0]

C.[2,l+√2)D.(l-√2,0)

【答案】B

【解析】y=可化为(V-2)2+(x+l)2=l且y≤2,

即曲线y=2-，-一―2X是以(-1,2)为圆心,1为半径的圆的下半圆，

作出曲线Iy=2-J-X2一2x,如图，

作直线χ+y=0,而直线χ+y-a=。与直线χ+y=0平行，

当直线x+y-α=O过A(-2,2)时，4=0,

1-1+2-«1L

当直线x+y-α=0与半圆相切时，由J~忑~~^=1得〃=1-0(4=1+应舍去)，

由图象可知”的取值范围是(l-√∑,0∣.

4.(2023•河南开封•开封高中校考模拟预测)设/为抛物线C：V=4x的焦点,

点A在C上，点3(4,0),若IAFI=I附，则A3的中点到丁轴的距离是()

A.2B.2√2C.3D.3√2

【答案】C

【解析】由题意得，F(LO),则IM=网=3,

所以，由抛物线的定义得点A到准线4-1的距离为3,

所以点A的横坐标为-1+3=2,

不妨设点A在.'轴上方，代入抛物线方程得，A（2,2应）,

所以AB的中点坐标为（3,√∑）,到J轴的距离是3.

故选：C

5.（2023•陕西榆林•统考二模）已知双曲线C:—-ɪ-=1（⅛>O）的左、右焦

49b-

点分别是月，F-P是双曲线C上的一点，且归4+上用=34,若PK_LP心，则双

曲线C的离心率是（）

13131317

A.-B.-C.—D.—

57127

【答案】B

【解析】不妨设P在双曲线C的右支上,由题意可得α=7,

根据双曲线定义IP周一IPEl=2=14,又IP用+1PEI=34,

所以IPMl=24,陶=10.

因为PFjPE2,所以忻Yl=亚西而7=26=2c,

c13

则c=13,故双曲线C的离心率e=£=g.

a7

故选：B.

9夕

6.（2023•山东潍坊联考二模）椭圆・→q=l（α>√J）的左、右焦点分别为G,E,

A为上顶点，若的面积为白，则AAKE的周长为（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

22

【解析】设椭圆点+q=l（">⑹的半短轴长为3半焦距为c,

则b=√J,4AEE的面积S=JKEIb=&

由题知y∣3c=G9

所以C=1,a=Jb*+H=29

由椭圆的定义知∣AK∣+∣A周=24=4,又山尸2∣=2C=2,

所以AAZ5的周长为4+2=6.

故选：C.

7.（2023•天津河东•一模）已知双曲线W-W=I（。>（）2>0）的实轴为4,抛物线

y2=2Px（p>0）的准线过双曲线的左顶点，抛物线与双曲线的一个交点为P（4,附,

则双曲线的渐近线方程为（）

A.y=±^^-xB.y=±^^-xC.y=±∣∙xD.y=±—x

3334

【答案】A

【解析】由题意得加=4,。=2,故双曲线左顶点坐标为（-。,0）,

抛物线的准线为x=-∙^,就a=g,解得〃=4,

点P（4,附为抛物线与双曲线的一个交点，故∕=8p=32,*/=1,

即4-*1,解得从夸，解得/y*,

4√6

故双曲线的渐近线方程为b工丁J瓜.

y=±-x=±^-x=±----X

a23

故选：A

8.（2023•江西南昌•统考一模）“米”是象形字.数学探究课上，某同学用抛物线

C,：/=-2px（p>0）和G：V=2px（p>0）构造了一个类似“米”字型的图案，如图所

示，若抛物线G,G的焦点分别为用，点尸在抛物线G上，过点P作X轴的

平行线交抛物线G于点Q,若P"=2PQ=4,则P=（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【解析】因为2尸。=4,即PQ=2,由抛物线的对称性知牛=T,

由抛物线定义可知，IPFJ=^f,即4=勺（-1）,解得P=6,

故选：D

9.（2023•天津•校联考一模）由伦敦著名建筑事务所SteynStUdiO设计的南非双

曲线大教堂惊讶世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图

所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线5∙-1=l（a>0）下支的一部分，以

原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线分别相交于A、

8、C、。四点，四边形ABC。的面积为24,则双曲线的方程为（）

Rʃ2ɪ21

A.匕-工=115.-----------=1d=1

94124∙V-7

【答案】B

2

2,,ax

【解析】双曲线a%地〉。）的渐近线方程为)'=±万，

以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆的方程为炉+丁=4,

不妨设点A、5、C、。分别为第一、二、三、四象限内的点,

42a42a

则AB

2

`+4yJa+4>Ja2+4Ja2+4,

D

84a

易知四边形ABCO为矩形，且IAM=

6+4Ja2+4

故四边形A5C。的面积为∣ABHAD∣=∕^=2%可得.2=12,

2ɔ

因此，该双曲线的方程为限£=1,

故选：B.

10.（2023•新疆阿克苏•校考一模）如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个

灯泡P（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与

桌面的接触点是椭圆的右焦点.若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距

离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A,椭圆的右顶点到A点的距

离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率，等于（）

【答案】D

【解析】以A为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系,

设Q(〃,0)("-3),则M(%l),

・..点"到直线PR的距离4=也F=1,解得："T，

71

.∙.∖QR∖^-3+-=-f即…；；

设直线PMy=丘+4(A>0),即"-y+4=0,

，点用到直线PN的距离*」成+3|」3一义_解得：上=4或Z=:，

a

2-;--------1153

√Λ2+1√⅛2+l

QQ

又鱼级kpN<kpli,:.k=3即直线PN*x-y+4=0,

令y=o,解得：χ=~,即

715

∙,∙∣∕V2∣=--+y=4,即cz+c=4;

9

1a=—_

.a-c=一,6,jr7

由J2得：<7，椭圆离心率e=-=g.

/a9

α+c=4c=-

4

故选：D.

1L（多选题）（2023∙Γ东江门•统考一模）已知曲线C：VSina+√cosa=I（O≤α<π）,

则下列说法正确的是（）

A.若曲线C表示两条平行线，则α=0

B.若曲线C表示双曲线，贝∣]'<α<π

C.若0<α<5,则曲线C表示椭圆

D.若0<£<：,则曲线C表示焦点在1轴的椭圆

【答案】BD

【解析】对于A选项，若曲线C表示两条平行线，则有Sina=O或CoSa=0,且

0≤α<π.

若Sina=0,则==0,此时曲线C的方程为V=1,可得"T或尸】，合乎题意，

若COSa=0,则ɑ=],此时曲线C的方程为χ?=ι,可得α―]或X=1,合乎题意，

故A错；

对于B选项，若曲线C表示双曲线，则SinaCC）SaVO,

由于0≤α<7i且Sina声0,贝IJSina>0,可得COSaV0,则∙^<α<π,B对；

sincr>O

对于C选项，若曲线C表示椭圆，则：t">°,解得O<α<S且a#；,C错;

（）≤a<π24

Sina≠cosa

1]

对于D选项，^0<a<π-,则O<sina<cosa,贝4------>------>0,

4SmaCoSa

厂I）广T

曲线C的方程可化为1+1-1

SinaCOSCT

此时，曲线C表示焦点在I轴上的椭圆，D对.

故选：BD.

12.(多选题)(2023•湖北•校联考模拟预测)已知耳,乃是椭圆E：M+£=1的

43

两个焦点，点P在椭圆E上，则()

A.点6,用在X轴上B.椭圆E的长轴长为4

C.椭圆E的离心率为TD.使得为直角三角形的点P恰

有6个

【答案】BC

【解析】由题意£:《+片=1的长半轴长α=2,短半轴长〃=百，焦半距c=l,

43

椭圆£:3+\=1的焦点在y轴上，A错误；

椭圆E的长轴长为为=4,B正确；

椭圆E的离心率为£=：,C正确；

椭圆的右顶点M(H0),焦点耳(0,-1),乙(0,1),

所以ME=(-√3,-l),MF=(-ʌl),cos<M∕∙,MFJ=前,踞=∣>0

2j

则〈MR/砧e(θg),即3M行为锐角，

故根据椭圆的对称性可知，使得P鸟为直角三角形的点P恰有4个(以Fl或心

为直角)，D错误.

故选：BC.

13.(多选题)(2023•山东蒲泽预测)已知双曲线1-5=l(α>(),6>())的左、右顶

ab,

点分别为A,B,M是双曲线右支上一点，且在第一象限，线段MA被两条渐近

线三等分，则()

A.k=γ-B.k=—

MA3。MBa

C.ZiMAB的面积为3"D.若MA垂直于一条渐近线，则双曲

线的离心率为3

【答案】AB

【解析】对于A：易知直线M4的方程为y=%Λw（χ+4）,

设直线y=-"与尸砥分别交直线M4于点P（XQJ,Q（x2,y2）f如图所示:

aa

将y=&(X+")与y=-3χ联立，解得X=%

将尸%（』）与—X联立'解得'"黑

因为线段MA被两条渐近线三等分,

kMAab2kMAab

所以力=2%，即,得L=故A正确.

b-akMAb+akMA

对于B:设必伍,几)，则镰∙L=+∙q=/1T,

Λθ+ClX^-ClXQ-CI

由盘-*=1,得尤=4(片-叫，则白%=耳，得G=步,故B正确.

Crbav73aCra

13

所以Sw=3∙2"∙W=w",故C错误.

对于D:设。为坐标原点，易知OPLMA,因为IAH=IPQ

所以ZAoP=NQOP,又/AOP=NQOB,所以/008=60,⅛t-=√3,

a

所以双曲线的离心率e=JZgj=2,故D错误.

故选：AB

14.（多选题）（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考一模）已知抛物线UX2="，

O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点P在抛物线上，则下列说法中正确的

是（）

A.若点A(2,3),则∣%∣+∣P尸I的最小值为4

B.过点B(3,2)且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条

C.若正三角形Oz)E的三个顶点都在抛物线上，则OoE的周长为8√J

D.点H为抛物线C上的任意一点，G(0,-l),∖HG∖^t∖HF∖,当，取最大值时，

GFH的面积为2

【答案】AD

【解析】A选项，过尸点做准线y=τ的垂线，垂足为九则由抛物线定义，有

IpFl=IPil.则I网+IPPl=IM+∣%∣,则当4P,《三点共线时，∣PAl+∣PF∣有最小值

4.故A正确；

B选项，当过点5直线斜率不存在时，直线方程为x=3,此时直线与抛物线只

有一个交点；当过点5直线斜率存在时，设直线方程为：y=A(x-3)+2,将直线

方程与抛物线方程联立，则X2-4fcv+I2Z-8=0.令

Δ=16Λ2-48%+32=O=>k=1或

k=2,则直线y=χ-ι或y=2x-4为抛物线切线.综上，过点B(3,2)且与抛物线只有

一个公共点的直线有3条，故B错误；

C选项，设。(XUX)，E(χ2,y2),因三角形0。E为正三角形，

则∖OD∖=∖OE∖=X：+4=¥+¥,又片=4y,考=4y2,

则4(X-%)=W-4=>(为_X)(%+X+4)=0.

因乂，%>°,则为=X=X2+百=O.又由图可得/0。F=7-

O

得ODE的周长为24√L故C错误;

D选项，设“(X，y),则f

y2+2y+\

,当r取最大值时,

y=l.取“（2,1）,则此时G尸〃的面积为gx,GIXkJ=gx2χ2=2.

故D正确.

22

15.（多选题）（2023•广东•校联考模拟预测）已知双曲线C：⅛-4=l（«>0,

a~b~

b>0）,C的左、右焦点分别为月，F2,尸为C上一点，则以下结论中，正确的

是（）

A.若P（√∑,l）,且也心轴，则C的方程为/-V=1

B.若C的一条渐近线方程是0χ-y=O,则C的离心率为亚

2

C.若点尸在C的右支上，C的离心率为G,则等腰尸耳。的面积为

D.若SinNpzM=e∙sinNP死耳，则C的离心率，的取值范围是（1,√∑+1]

【答案】AD

【解析】对于A,若P（√I1）,且PFTX轴，则耳卜衣0）,6（立0）,c=4,

所以IPKITPGI=J（2&）+F-JO`r=3-1=2=24,则4=1,所以从=C?-6=ι,

则C的方程为--V=],故A正确；

对于B,若C的一条渐近线方程是"r-y=O,则∖=√∑,离心率e=/=6,

故B不正确；

对于C,若C的离心率为6,JHc=&,所以A=TJ二∕=J2,若点尸在C的右

支上，W。为等腰三角形，则IPa=IO不，连接PF2,如图，

y

FΓTO∖UF2X

q-lς-Ib2-b2

则APEB是直角三角形，所以呻-万^历弓-]丁丁-万，故C不正确；

tan—

4

对于D,若SinNP/祀=esinNP//，由正弦定理得∣∕1E∣=e∣P用，可知点P在双曲

线的左支上，故IP闯—∣PR∣=2α,

则归用=必；，^∖PFl∖≥c-af所以兰≥c-α,整理得二≥e-l,解得e≤√∑+l,

e—ie—le—1

所以C的离心率，的取值范围是（1,五+1],故D正确.

故选：AD.

16.（2023•江西•校联考二模）写由与圆./+）,2=4和抛物线Y=3y都相切的一条

直线的方程.

【答案】y=2√Σx-6或.y=-2Λ∕ΣX-6（写出其中之一即可）

【解析】由题知：与圆/+V=4和抛物线V=3）都相切的直线存在斜率，

设切线方程为y=kx+bf

所以7鼻=2,化简得：k2=--l.

√l+⅛~4

Y2=3v

又{∙=^>x2-3Ax-3⅛=0

[y=kx+b9

（h2}2

因为A=9∕+12）=0,所以9彳-1+126=0,解得。=-6或〃=：.

当6=-6时，k2=^-1=8,⅛=±2√2.

24

当时，」2=0一1=-[<0,舍去•

49

所以切线方程为y=2y∣2x-6或y=-2&x-6.

17.（2023•河南开封•开封高中校考模拟预测）已知椭圆q→q=l的左焦点为Ft

P是椭圆上一点，若点A(1,-1),则以∣+∣p目的最小值为.

【答案】6-√2⅛⅛-√2+6

【解析】根据椭圆的定义：∖PA∖+∖PF∖^PA∖+2a-∖PF2∖f

.JΛ4∣+∣PF∣取得最小值时,

即∣Λ4∣-∣P居I最小,

如图所示：IPAl+1PFl≥2"-|A局=6-五，当P,A,巴共线时取得最小值.

.∙∣PA∣+∣P用的最小值为：6-√2•

18.(2023•山东聊城•统考模拟预测)已知双曲线cJ-∕l(α>0,6>0)的左、右

焦点分别为£,F2,且忸闾=4,P(3,四)是C上一点.

⑴求C的方程；

(2)不垂直于坐标轴的直线/交。于M,N两点，交X轴于点A,线段MN的垂

直平分线交无轴于点。，若IAMliAN∣=2∣A0,证明：直线/过四个定点

(―3,0),(-1,0),(1,0),(3,0)中的一个.

【解析】(D设C的焦距为2c,则2c=4,即c∙=2,fl(-2,0)f用(2,0),

由双曲线的定义，得力=IP用TPFJ=7(3+2)2+(√2)2-√(3-2)2+(√2)2=2√3,

即α=>∕J,所以6=Vc2-a2=1,

故。的方程为丁=1;

(2)设A(s,0),M(xl,y,)fN(x2,y2)f直线/的方程为X=)+s(tHθ),

x=ty+s

2

联立*2_整理得(产-3)V+2sty+s-3=09

-----y=1

3

[r-3≠0βlfr≠3

222,

由题意，^μ=4Λ-4(r-3)(5-3)>0则江+/>3,

则％+为=怖三，MM=Ff,

I—ɔI—5

IAMHANI=IAM∙A7V∣=∣(x∣-s)(x2-s)+y%∣=H•优+X%∣

∣/,∖Ip-3)(r2+ι)

=h+l)x%∣'，

设MN的中点G(Xo,九)为，则为=^^1=pz!⅛,Xo="。+s='∙7¾+s=;¾,

所以线段MN的垂直平分线的方程为丫+仁=-/小+工］,

t—jII~JJ

令.V=。，得X=反，即。(泻,0),所以IADl=泻-S=华?，

t-J—ɔ)t—Jt-J

2

(--3)(r+1)L√r+l)∣ll

由题意，得^~~ɪ~~,即卜2-3∣=2⑶，从而.*-3=±2S,

当S?-3=2s,即s'-2s-3=0时,解得S=T或s=3;

当$2-3=-2s,即s?+2s-3=0时，解得s=-3或s=l,

所以直线/的方程为x=，」3,或x="-l,或x="+l,或x=)+3,

故直线/过四个定点(-3,0),(-1,0),(1,0),(3,0)中的一个.

19.(2023•辽宁鞍山•统考二模)抛物线C:y2=2px(p>0)上的点M(l,%)到抛物

线。的焦点尸的距离为2,4、3(不与。重合)是抛物线。上两个动点,且OALOB.

⑴求抛物线。的标准方程；

(2)X轴上是否存在点P使得ZAPB=2ZAPO?若存在，求出点P的坐标，若不存

在，说明理由.

【解析】⑴由抛物线的定义得网=1+勺2,解得P=2,

则抛物线C的标准方程为,F=4x.

(2)依题意知直线。4与直线。8的斜率存在，设直线04方程为y=乙伏WO),

由得直线。B方程为：尸-卜,

由H、，解得心，

1

V=——X

由,k解得B(4∕T%)

y2=4x

由ZAPB=2ZAPO得AOPA=NOPB,假定在'轴上存在点P使得^OPA=NoPB,设

点P(%,0),

4

jAk—4k

则由⑴得直线PA斜率％=才J=直线P5斜率α=κ7,

--Y"KXQX0

k20

4jt4%

22

由NOPA=NOPB得%+A⅛=0,则有=^4-kx0=4k-x0f

整理得