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朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第四节线性方程组1．线性方程组的概念（1)含有个未知数的个一次方程的方程组（16-1）称为个未知数个方程的线性方程组，简称线性方程组.倘若不全为零，则为非齐次线性方程组；倘若，即（16-2）则称为齐次线性方程组。（2)矩阵形式:记，，则方程组（16-1）和（16-2）可分离表示为和，并称为方程组的系数矩阵，为方程组的增广矩阵。2．线性方程组有解判定条件（1）齐次线性方程组有非零解（这时必有无穷多解）的充要条件是其系数矩阵的秩。当为方阵时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是。【例题10-15】设是3阶非零矩阵，已知的每一列都是方程组的解，则等于：(A)(B)(C)(D)解：由是非零矩阵，知所给齐次方程组有非零解，故其系数行列式应等于零，即，计算行列式并求解得，故选(D)。（2）非齐次线性方程组有解的充要条件是；当时，有无穷多解，当时，有唯一解。当为方阵时，即有惟一解的充足须要条件为（即可逆），这时解为。3．线性方程组解的性质（1）若均为齐次线性方程组的解（向量），则依然是的解。（2)若均为非齐次线性方程组的解（向量），则为对应的齐次线性方程组的解。（3)若为非齐次线性方程组的一个解,为对应的齐次线性方程组的解,则是非齐次线性方程组的解。（4)若是非齐次线性方程组的解，为常数,且，则仍是的解。4．线性方程组解的结构（1)齐次线性方程组的基础解系:若是齐次线性方程组的线性无关的解，并且的任一解向量均可被线性表出，则称为的一组基础解系。齐次线性方程组的基础解系不惟一,但基础解系所含解向量的个数是固定的。（2)倘若个未知量的齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则它的基础解系含个解向量，且通解为其中为的一组基础解系，为随意常数。并且的随意个线性无关的解向量都能构成它的一组基础解系。【例题10-16】设为非零矩阵，都是齐次线性方程组的解，则矩阵为：(A)(B)(C)(D)解：因为线性无关，知三元方程组的基础解系含两个向量，故有，显然选项（A）中矩阵秩为3，选项（B）和（C）中矩阵秩都为2，应选（D）。（3）非齐次线性方程组的任一解，均可表示为的一个特解与对应的齐次线性方程组的某个解之和。（4)若有无穷多解，则其通解为对应其中为的一组基础解系，为随意常数。【例题10-17】设是线性方程组的两个不同的解，是导出组的基础解系，是随意常数，则的通解是：(A)(B)(C)(D)解：首先的通解是其导出组的通解加上的一个特解，由是导出组的基础解系，知的基础解系含两个解向量，又可证实是的两个线性无关的解，故构成的通解；再由是线性方程组的两个不同的解，利用非齐次方程组解的性质知仍是的特解，从而是的通解，应选(C).5．线性方程组求解的主意【例题10-18】齐次线性方程组的基础解系为：(A)(B)(C)(D)解：主意一：方程组系数矩阵的秩为2，方程组有非零解。并且其基础解系含有个解向量，经验证和是方程组的解，并且线性无关，所以是方程

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