新教材人教A版8.6.1直线与直线垂直课件（48张）

空间直线、平面的垂直直线与直线垂直必备知识·自主学习1.异面直线所成的角(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)本质:通过平移把异面直线转化为相交直线,即把空间图形问题转化为平面图形问题.(3)应用:刻画异面直线的位置关系.导思1.怎样刻画异面直线的位置关系?2.怎样定义空间中两条直线垂直?【思考】平面内两条相交直线所成角的定义是什么?提示:两直线相交,所成的锐角或直角叫做两相交直线所成的角.2.异面直线互相垂直(1)定义:如果两条异面直线所成的角是_____,那么这两条异面直线互相垂直;(2)记作:a⊥b;(3)异面直线所成角的范围:_____________.0°<α≤90°直角【思考】异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同?提示:相同点是所成的角都是90°,不同点是异面直线垂直没有交点,平面内两条直线垂直有公共点.3.空间两条直线所成的角(1)当两直线a∥b时,规定a与b所成的角为0°;(2)空间两条直线成角α的取值范围:0°≤α≤90°.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)空间中若两条直线垂直,则两条直线是相交直线. (

)(2)分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线. (

)(3)△ABC中,A=120°,则与AB,AC分别平行的异面直线所成的角为120°. (

)提示:(1)×.两直线可能是异面直线.(2)×.两直线可能相交.(3)×.与AB,AC平行的异面直线所成的角为60°.2.已知空间中的三条直线a,b,c满足a⊥c且b⊥c,则直线a与直线b的位置关系是 (

)

A.平行 B.相交C.异面 D.平行或相交或异面【解析】选D.如图,在长方体AC1中,AB⊥AD,AB⊥A1D1,AD∥A1D1,AB⊥AD,AB⊥AA1,AD∩AA1=A,AB⊥AD,AB⊥CC1,AD与CC1异面,所以,垂直于同一直线的两条直线可平行,可相交,也可异面.3.(教材二次开发:练习改编)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 (

)A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选C.连接BD,B1D1,D1C知△D1B1C是等边三角形,所以D1B1与B1C所成角为60°,故B1C与EF所成角也是60°.关键能力·合作学习类型一求异面直线所成的角(直观想象、数学运算)【题组训练】1.(2020·新乡高一检测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=1,AA1=,点O为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC1的中点,则异面直线AD1与OE所成的角为

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2.(2020·南京高一检测)如图,已知四面体ABCD的棱长均为2,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为

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【解析】1.连接AC,AC1,BD,因为点O为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC1的中点,所以OE∥AC1,所以∠D1AC1是异面直线AD1与OE所成角,在Rt△D1AC1中,AD1=,C1D1=3,所以tan∠D1AC1=,所以∠D1AC1=60°,所以异面直线AD1与OE所成的角为60°.答案:60°2.取AD的中点F,连接CF,EF,因为EF∥BD,所以∠CEF(或其补角)为所求,又CE=CF=,EF=1,所以cos∠CEF=所以异面直线CE与BD所成角的余弦值为.答案:

【解题策略】异面直线所成的角的求法(1)作:利用三角形的中位线、长方体中相对应的线段,平行四边形的对边等平移两异面直线使之相交于一个点,并说明相应的角为异面直线所成的角或其补角.(2)求:求出三角形的边,利用余弦定理求出角的余弦,进而求出角;如果是特殊三角形,如等边三角形、直角三角形等,则利用相应三角形的性质求角.【补偿训练】

(2020·长春高一检测)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M为B1C1的中点,连接A1B,D1M,则异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为

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【解析】如图,连接CD1,CM,由A1D1∥BC,A1D1=BC,可得四边形A1BCD1为平行四边形,则A1B∥CD1,所以∠CD1M为异面直线A1B和D1M所成角,由正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M为B1C1中点,得D1M=MC=,CD1=.在△CMD1中,由余弦定理可得,cos∠CD1M=,所以异面直线A1B和D1M所成角的余弦值为.答案:

类型二异面直线垂直的证明(直观想象,逻辑推理)【典例】正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥DA1.步骤内容理解题意(1)正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F分别是BB1,D1B1的中点(2)求证EF⊥DA1思路探求求出异面直线EF和DA1所成的角步骤内容书写表达如图,连接B1C,分别取BC,B1C1的中点G,I,连接GE,GF,FI,GI.因为A1D∥B1C∥EG,所以∠FEG是异面直线EF和A1D所成的角(或其补角),①设正方体的棱长为2,在Rt△FGI中,FI=1,GI=2,所以FG=,在Rt△EFB1中,B1E=1,B1F=,所以EF=,又EG=B1C=,FG2=EF2+EG2,所以△EFG是直角三角形,∠FEG=90°.②所以EF⊥DA1.①先作平行线,再注明异面直线所成的角(或其补角),②利用勾股定理的逆定理证明角为直角

步骤内容题后反思证明线线垂直的一种方法:求出两直线所成角为直角【解题策略】证明两异面直线垂直的步骤(1)作出两异面直线所成的角.(2)求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊三角形中说明垂直关系.(3)结论.【跟踪训练】如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.【证明】取CD1的中点G,连接EG,DG.因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG=BC.因为F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,所以DF∥BC,DF=BC,所以EG∥DF,EG=DF,所以四边形EFDG是平行四边形,所以EF∥DG,所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,所以DG⊥CD1,所以∠D1GD=90°,所以异面直线CD1,EF所成的角为90°.所以CD1⊥EF.类型三异面直线所成角的应用(直观想象、数学运算)

角度1补形求异面直线所成的角

【典例】正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则DB1与CM所成角的余弦值为

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【思路导引】要作异面直线所成的角,可以考虑将正方体补成一个长方体,方便作平行线构造角.【解析】将正方体ABCD-A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体,构成一个长方体,连接CE1,ME1.因为DB1∥CE1,所以∠MCE1是异面直线DB1与CM所成角(或其补角),设正方体的棱长为a.在三角形MCE1中,CM=那么cos∠MCE1=答案:

【变式探究】本例中,若N是BB1的中点,试求异面直线DN,CM所成角的余弦值.【解析】将正方体ABCD-A1B1C1D1补上一个棱长相等的正方体,构成一个长方体,P为所在棱中点,连接CP,MP,DN∥CP,所以∠MCP是异面直线DN与CM所成角,设正方体棱长为a.在三角形MCP中,CM=那么cos∠MCP=角度2利用异面直线所成的角求值

【典例】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点P是棱BB1上一点,若异面直线AC1与PD所成角的余弦值为,则BP=

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【思路导引】先补形作出异面直线所成的角,再设出BP,利用BP表示出异面直线所成角的余弦值后求值.【解析】将原正方体的一侧补上另一个正方体ABEF-A1B1E1F1变为如图所示的长方体.在EE1上取点P1使EP1=BP,连接AP1,C1P1,则DPAP1,∠P1AC1即为异面直线AC1,DP所成的角(或补角).设BP=x,则AP1=,P1C1=.又AC1=4,=48+32+x2=80+x2,P1=80+x2-8x,>P1,所以∠C1AP1为锐角,cos∠C1AP1=解得x=1.答案:1【解题策略】1.关于补形作异面直线所成的角当不方便作异面直线所成角时,可以考虑补形,一是补一个相同形状的几何体,以方便作平行直线,二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体,如四棱锥补成一个正方体.2.关于异面直线的应用当已知条件中含有异面直线所成角时,应先作出该角,才能应用此条件,但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角,也可能是已知角的补角,应分情况讨论.【题组训练】1.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别为棱A1D1,C1D1的中点,过M,N,B三点的截面与平面BCC1B1的交线为l,则直线l与AD所成角的余弦值为

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【解析】在平面ABCD中,连接AC,过B作BE∥AC,交DC的延长线于点E,连接NE,交CC1于F,连接BF,则BF就是过M,N,B三点的截面与平面BCC1B1的交线l,由题意得CE=DC=2NC1,所以CF=2C1F,因为BC∥AD,所以∠FBC是直线l与AD所成角(或所成角的补角),设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,则BC=3,CF=2,BF=所以cos∠FBC=所以直线l与AD所成角的余弦值为.答案:

2.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=a,对棱AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为

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【解析】取BC的中点E,连接EN,EM,因为M为AB的中点,所以ME∥AC,且ME=AC=,同理得,EN∥BD,且EN=,所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角,在△MEN中,EM=EN,若∠MEN=60°,则△MEN为等边三角形,所以MN=.若∠MEN=120°,可得MN=.答案:

或直线与直线垂直核心知识易错提醒核心素养方法总结直观想象：求作异面直线所成角的问题异面直线所成的角的求法(1)作：利用中位线、长方体、平行四边形等性质平移至一个三角形，并说明为异面直线所成的角或补角.(2)求：利用余弦定理求角（如果是特殊三角形），或利用三角形的性质求角。求异面直线所成的角时注意的范围直线与直线垂直异面直线所成的角求异面直线所成的角课堂检测·素养达标1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线B1D1与CD所成角的大小是 (

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A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为B1D1∥BD,所以∠BDC是异面直线B1D1与CD所成角,因为BC=DC,BC⊥DC,所以∠BDC=45°,所以异面直线B1D1与CD所成角的大小是45°.2.(教材二次开发:练习改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E