2022-2023学年八年级数学知识点串讲（苏科版）：二次根式的乘除（解析版）

专题09二次根式的乘除

一.选择题（共8小题）

I.（2022秋•南通期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A.√03B.√7C.√12D.√18

【分析】根据最简二次根式的定义即可求解.

【解答】解：A.涵=标=答，故不是最简二次根式，不符合题意；

B.√7是最简二次根式，符合题意：

C.√12=2√3,故不是最简二次根式，不符合题意；

D.√18=3√2,故不是最简二次根式，不符合题意.

故选：B.

【点评】此题主要考查最简二次根式的判断，解题的关键是熟知最简二次根式的定义.

2.（2022秋•徐汇区期末）下列根式中，是最简二次根式的是（）

222

A.√02bB.√12a-12faC.y∕x-yD.√5αb

【分析】A选项的被开方数中含有分母；B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数

或因式；因此这三个选项都不是最简二次根式.

所以只有C选项符合最简二次根式的要求.

【解答】解：因为：A、Vθ2b=-

B、√12α-12b=2√3α-3b;

D、y∕5ab2=V5αI⅛|；

所以这三项都可化简，不是最简二次根式.

故选：C.

【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：

（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；

（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果累的指数大于或等于2,也

不是最简二次根式.

3∙（2022秋•如皋市校级期末）下列各式中，是最简二次根式的是（）

A.√2B.JiC.√27D.√07

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的

两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【解答】解：A.√2,被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是

最简二次根式，故本选项符合题意；

B.Jl=络，被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

C.√27=3√3,被开方数含能开得尽得因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D.病=∣α∣,被开方数含能开得尽得因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意：

故选：A.

【点评】本题考查最简二次根式，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法必须满

足两条，就是（I）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

4.（2022春•宜兴市期末）下列计算正确的是（）

A.（-√3）2=-3B.√OL001=0.1C.jlɪ=lɪD.2=√2

【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案.

【解答】解：A.（-√3）2=3,故此选项不合题意；

B.VU而I=笔，故此选项不合题意；

C.Jii=亭，故此选项不合题意；

D.2j∣=2×^=√2,故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键.

5.（2022秋•鼓楼区校级期末）已知l<p<2,化简√（1-p）2+（JF不）2=（）

A.1B.3C.3-2pD.\-2p

【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.

【解答】解：∙.T<p<2,

Λ1-p<0,2-p>0,

二原式=Il-PI+2-p

=P-1+2-p

=1.

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是掌握二次根式的性质.

6.（2022春•东海县期末）下列关于2遍的表述错误的是（）

A.它是最简二次根式B.它是无理数

C.它就是2X逐D.它大于5

【分析】根据最简二次根式、无理数的定义，估算无理数的大小，逐一判断即可解答.

【解答】解：A、是最筒二次根式，故A不符合题意：

B、2√S是无理数，故B不符合题意；

C、2遍就是2x√^,故C不符合题意;

D、,.∙(2√6)2=24,52=25,

Λ2√6<5,

故D符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了最简二次根式，无理数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键.

7.（2022春•江阴市期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.√15B.C.√α≡D.ɪ

【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母：（2）被开方数中不含能开

得尽方的因数或因式判断即可.

【解答】解：A选项，√∏是最筒二次根式，故该选项符合题意；

B选项，原式=孝，故该选项不符合题意；

C选项，原式="√H,故该选项不符合题意；

D选项，原式=苧，故该选项不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查J'最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母;

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键.

8.（2022春•靖江市校级期末）我们把形如+6（«,b为有理数，石为最简二次根式）

的数叫做√≡型无理数，如3√7+l是√7型无理数，则（√Σ+√IU）2是（）

A.鱼型无理数B.近型无理数C.√∏型无理数D∙√∑∏型无理数

【分析】根据完全平方公式展开，化简二次根式即可得出答案.

【解答】解：原式=2+2√Σδ+10

=2×2√5+l2

=4√5+12,

它属于√5型无理数，

故选：B.

【点评】本题考查了最简二次根式，掌握（α±6）2=α2±2"+/是解题的关键.

二.填空题（共10小题）

9.（2023•鼓楼区一模）计算√∑x√δ的结果是_^V3_.

【分析】根据二次根式乘法法则计算.

【解答】W：√2×√6

=√2×√2×√3

=（√2）2X√3

=2√3.

故答案为：25

【点评】本题考查了二次根式的乘法法则，灵活转化是解题的关键.

10.（2023春•栖霞区校级月考）计算√∏XJ的结果是2.

【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可.

【解答】解：原式=J12xg

=√4

=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键.

X

11.（2022秋♦常德期末）使式子及互有意义的X的取值范围是x>4.

【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.

X

【解答】解：使式子有意义，

则A-4>0,

解得：x>4.

故答案为：x>4.

【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式定义是解题关键.

X

12.（2023•沐阳县模拟）使得再与有意义的X的取值范围是

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答

案.

【解答】解：由题意得：χ-2>0,

解得：x>2,

故答案为：x>2.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分

母不为。是解题的关键.

13.（2022春•江宁区期末）计算：（52=9；"-9）2=9.

【分析】根据二次根式的性质即可求出答案.

【解答】解：（g）2=9,

J（-9）2=9,

故答案为：9,9.

【点评】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法

则，本题属于基础题.

14.(2022春•江阴市期末)写出一个二次根式，使它与应的积是有理数.这个二次根式是

y/2_.

【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断.

【解答】解：√2×√2=(√2)2=2；

故答案为：y∕2.

【点评】考查了正确选择二次根式，使它们的积是有理数是解答问题的关键.

15.(2022春•南京期末)计算：(夜)2=2；√(≡2)2=2.

【分析】利用二次根式的乘法的法则及化简的法则进行求解即可.

【解答】解:(√2)2=V2×VΣ=2;

2

Λ∕(-2)=√4=2.

故答案为：2,2.

【点评】本题主要考查二次根式的乘法，二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算

法则的掌握.

16.(2023春♦海安市月考)计一算：√2α∙√8α=4a.

【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定。的取值范围，再根据二次根式的性质

化简.

【解答】解：∙.∙2α20,

原式=√16α2=144：=4a,

故答案为：44.

【点评】本题考查二次根式的乘除法，掌握二次根式的化简是解题的关键.

17.(2023•天宁区校级模拟)若(2+8)(2+书的积是有理数,则无理数m的值为-√3.

【分析】根据题意，结合平方差公式特征确定出无理数，”的值即可.

【解答】解：(2+√3)(2-√3)

=22-(√3)2

=4-3

=1,

则(2+百)(2+加)的积是有理数时，无理数桁的值为一百.

故答案为：-√5∙

【点评】此题考查了分母有理化，以及无理数，熟练掌握平方差公式是解本题的关键.

18.(2022秋•姑苏区校级期中)gx√Σ÷g=-2√^.

【分析】利用二次根式的性质进行乘除运算.

【解答】解：√18×√2÷√3

=3'HX√2X∙y=

=3X2×尸

√3×√3

.√3

=6xT

=2√3,

故答案为：2K.

【点评】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则

和分母有理化.

三.解答题(共9小题)

19.(2022春•宜兴市校级月考)计算:

(1)Jl∣×2√3×(-∣√Tθ);

2-X3

(2)——÷(x+1——).

X-I、X-I

【分析】(1)先化简，再进行二次根式的乘法运算即可;

(2)先通分，再把除法转为乘法，最后约分即可.

【解答】解：(1)Jl∣×2√3×(-i√10)

=⅛y5×2√3×(-∣√10)

=-4√3;

2-x3

(2)——÷(x+l———)

X-I∖X-V

2—X,——1—3、

=E+⅛τ-)

_-(x-2)一一1

-%—1(X-2)(x+2)

1

=^x÷2,

【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，分式的混合运算，解答的关键是对相应的运

算法则的掌握与运用.

20.(2022春•黄冈期中)已知等式JIll=W成立，化简Ix-6|+√(x—2)2的值.

【分析】先根据二次根式有意义的条件求出X的值，再将X代入化简即可求值.

【解答】解：由题意得，卜一：H,

Λ3<x≤5,

ʌ∣Λ-6+√(X-2)2

=6-x+x-2

=4.

【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键.

21.(2022春•亭湖区校级月考)若实数p在数轴上的位置如图所示，化简下列式子：

22

yJp-6p+9+(J4-P)

，，I9，I，r

012345

【分析】直接利用数轴得出P的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案.

【解答】解：由数轴可得：2<p<3,

则原式=J(P-3)2+4-P

=3-p+4-p

=7-Ip.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴等知识，正确化简二次根

式是解题关键.

22.(2020秋•高邑县期末)观察下列一组等式，然后解答后面的问题

(√2+l)(√2-l)=1,

(√3+√2)(√3-√2)=1,

(√4+√3)(√4-√3)=1,

(√5+√4)(√5-√4)=1.......

(1)观察以上规律，请写出第〃个等式：(√im+√^)(√^ττ-√^)=i(〃

为正整数).

Ill1

(2)利用上面的规律，计算：-7=—+-7=―7=+^7=—7=++~7==—7==

√2+l√3+√2√4+√3√100+√99

(3)请利用上面的规律，比较√1X-√F与√眄-同的大小.

【分析】(1)归纳总结得到一般性规律，写出即可；

(2)原式利用得出的规律计算即可求出值；

(3)利用得出的规律比较即可.

【解答】解：(1)根据题意得：第〃个等式为(石彳I+代)(√^ΓTT-√H)=1;

故答案为：(7Tl+1+(√n+1—√n)=1；

(2)原式=加-1+代一&+…+√IUU-闻=√IUU-I=IO-I=9：

(3)√18-√17=ɛɪi=,√19-√18=7=,

√I8+√17√19+√18

11

,,-------------V-------------

•√19+√18√18+√17,

Λ√18-√17>√19-√18.

【点评】此题考查了分母有理化，实数比较大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

23.（2023•阜阳模拟）观察下列各式及其验算过程:

验证:

Ml=34,

验证:

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想口^的变形结果并进行验证;

（2）针对上述各式反映的规律，写出用〃（〃为大于1的整数）表示的等式并给予验证.

【分析】（1）根据材料中的方法即可求解∙J+3=4层将左右两边按照二次根式

的性质计算即可验证;

九

（2）由（1）中的式子可得规律:

n2-1,

13

【解答】解：（1）2+终=23+『3

8,

验证:5+条=隹=噜,正确；

(2)由(1)中的规律可知3=2?-1,8=32-1,15=42-1,

nnn

'J+⅛ι=√∑I,

nn3

验证:n+正确.

【点评】本题考查算术平方根以及数字的变化类，通过具体数值的计算，发现其规律是

解决问题的关键.

24.（2023春•海淀区校级期中）我们规定用（α,6）表示一对数对,给出如下定义：记Tn=ɪ,

n=y/b（其中α>0,⅛>0）,将Gn,〃）与（〃，相）称为数对（。，b）的一对"和谐数

11

对”.例如：（4,1）的一对“和谐数对”为（一，1）和（1,-）.

22

11

（1）数对（16,5）的一对“和谐数对”是（二，V⅞）和（V⅞,：）；

4——4

（2）若数对（9,b）的一对“和谐数对”相同，则6的值为-；

-9-

（3）若数对（α,b）的一个“和谐数对”是（2,1）,直接写出油的值，或4

【分析】（1）根据新定义即可得出结论；

（2）根据新定义，列等式W=瓜解方程进而得出结论；

√9

（4）根据新定义，列方程组，解出进而得出结论.

【解答】解：（I）,∙,∕n=-7==i,n=√5,

11

.∙.数对（16,5）的一对“和谐数对”是（-，√5）和（而，-）.

44

11

故答案为：（一,√5）和（遍，-）；

44

（2）∙.∙数对（9,b）的一对“和谐数对”相同，

.*=〃

∙>"7=Q.

故答案为：ɪ:

（3）Y数对（mb）的一个“和谐数对”是（2,1）,

1

QΓQ=1

得

牟

=-或κ

4lb=4

b=1

・F=4或4∙

1

故答案为：-或4.

4

【点评】此题主要考查了分母有理化，涉及到新定义，解方程组，解方程，理解和应用

新定义是解本题的关键.

25.（2023春•连江县期中）观察下列等式：

√1×3+1=√4=2；√2×4+1=√9=3；√3×5÷1=√16=4；√4×6+1=

√25=5;……

（1）请你按上述规律写出第5个等式：_V5X7+1=√36=6_；

（2）用含字母〃（〃为正整数）的等式表示这一规律，并给出证明.

【分析】（1）根据所给式子的形式进行求解；

（2）根据所给式子的形式不难看出式子的值与序号之间的关系：第n个等式:

yJn∙(n+2)+1=n+1.

【解答】解：(1)V√l×3+1=√4=2；√2×4+1=√9=3；√3×5+1=√16=4；

√4×6+l=√25=5;.......

.♦.第5个等式：√5×7+1=√36=6,

故答案为：√5×7+1=V36=6；

(2)第"个等式：√n-(n+2)+1=n+l,

证明：√n∙(n+2)+1

=√nz+2n+1

2

=λ∕(n+I)

=|〃+11,

∙.∙〃为正整数，

.*.ʌ/n∙(n+2)+1="+1.

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，掌握将数字与序号建立数量关系或者与前

后数字进行简单运算，从而得出通项公式是解题关键.

26.(2021秋•金牛区校级月考)已知X=击，

(1)求Λ2+y2-xy的值；

(2)若X的整数部分是α,y的小数部分是6,求蜻⑼+(》-。)2->的值.

【分析】(1)利用分母有理化化简X和y,并将所求式变形后代入可答案；

(2)根据无理数的估算可知0V2-g<l,3<2+√3<4,可得”和人的值，代入所求式

可得答案.

【解答】解：⑴∙.∙χ=ɪ=(2+嬴2)=2-8,)=ɪ=(2-^^√3)=2+8,

/.x2+y2-Xy

=(x+y)2-3xy

=(2-√3+2+√3)2-3(2-√3)(2+√3)

=16-3

=I3；

(2)∙.∙1<√3<2,

Λ0<2-√3<l,3<2+√3<4,

∙'∙Λ=O,⅛-2+√3-3=ʌ/ɜ—I)

.∙.5∕02∣+(χ-b)2_y

=5×0+(2-√3-√3+l)2-(2+√3)

=(3-2√3)2-2-√3

=9-12√3+12-2-√3

=19-13√3.

【点评】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和分母有理

化是解本题的关键.

27.(2022春•钢城区期末)阅读下列解题过程：

1=lx®l)=IT=y[i-∖-

√2+l—(√2+l)×(√2-l)—(√Z)2-12一”：

11×(V3-V∑)vɜ-V2;二

√iw∑=(√3+√2)(√3-√2)=(√3)2-(√2)2=V"72.

请回答下列问题：

(1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果.

11_____

①-7==V7-√6；®-j=—j===√n-√n-1；

√7+