4311651137平面解析几何中简化计算量的技巧重难点专题（学生版）

37平面解析几何简化计算重难点专题常考结论及公式结论一：直线与圆锥曲线的参数方程（1）直线的参数方程：设定点在倾斜角为的直线上，则为直线上任意一点，且，其中为直线的单位方向向量，则直线的参数方程为（其中为参数）.（2）圆的参数方程：设圆的方程为，为圆上的任意一点，则圆的参数方程为（其中为参数）.（3）椭圆的参数方程：设椭圆的方程为，为椭圆上的任意一点，则椭圆的参数方程为（其中为参数）.（4）双曲线的参数方程：设双曲线的方程为，为双曲线上的任意一点，则双曲线的参数方程为（其中为参数）.（5）抛物线的参数方程：设抛物线的方程为，为抛物线上的任意一点，则抛物线的参数方程为（其中为参数）.结论二：关于直线方程的设法建议（1）下面两种情形可以将直线方程设为，一是直线的斜率存在且不需要对斜率不存在进行分类讨论时；二是将直线方程与圆锥曲线方程联立时消去后计算量比消去的计算量小.（2）若必须讨论直线的斜率存在与否，且联立直线方程后明显消去后计算量较大时，可将直线方程设为，如直线与抛物线联立时采用此方程较为简单.结论三：关于曲线系方程的拓展（1）直线系：；（2）圆系：相交圆系：；与直线切于一点的圆系：；（3）二次曲线系方程（不全为）上的点的切线方程为；（4）点在圆锥曲线（不全为）的外部时，过点引两条直线切曲线于两点，则切点弦所在的直线方程为；（5）圆、椭圆、双曲线与抛物线统称为“二次曲线”，两条相交直线被看作为二次曲线的退化形式，故二次曲线系的一般形式为：，其中，我们把具有某一共同性质的二次曲线，并以这样形式呈现的曲线系叫做二次曲线系.圆锥曲线系的定理和推论：定理一：给定五点，其中三点在直线上，另外两点不在直线上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线（即两条直线）；定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线；推论一：若圆锥曲线与有四个不同的交点，则过两曲线的交点的曲线方程为：；推论二：若直线及直线与圆锥曲线有四个不同交点，则过这四个交点的曲线系方程为：；推论三：若四直线，，及有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为：；推论四：设为不共线三点，直线的方程为：，则过这三点的二次曲线系方程为：.☀☀重难点题型归纳与精讲题型一回归概念，定义获胜【例1】已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【跟踪训练1】已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于两点，且，则（

）A． B． C． D．题型二设而不求，间接解题【例2】已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．【跟踪训练2】设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．题型三巧设参数，另辟天地【例3】已知圆,圆,直线分别过圆心,且与圆相交于两点,与圆相交于两点,点是椭圆上任意一点,则的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【跟踪训练3】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求△AF1F2的周长；（2）设点M在椭圆E上，记△OAB与△MAB的面积分别为S1，S2，若S2=3S1，求点M的坐标．题型四向量工具，事半功倍【例4】已知椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，则（其中为原点）的形状为（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角或直角三角形【跟踪训练4】已知是的三个顶点．(1)写出的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线;(2)当直线与平行时,求顶点C的轨迹．题型五数形结合，无往不胜【例5】已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【跟踪训练5】如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．若平面，则动点Q的轨迹是一条线段C．存在Q点，使得平面D．若直线与平面所成角的正切值为，那么Q点的轨迹长度为题型六曲线方程，别有洞天【例6】设直线与椭圆交于两点，过的圆与椭圆交于另外两点，则直线的斜率为（）A． B． C． D．【跟踪训练6】已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线不经过点且与相交于两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点.题型七结构相似，构造搭桥【例7】抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．【跟踪训练7】已知圆O：，过直线l：在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为（）A． B． C． D．2题型八依托平几，轻轻松松【例8】如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，，P是双曲线右支上的一点，与y轴交于点A，的内切圆在边上的切点为Q，若，则双曲线的离心率是______.【跟踪训练8】已知实数满足，，，则的最大值是（

）A． B．6 C． D．12题型九二级结论，省时省力【例9】如图，已知点是双曲线上的点，过点作椭圆的两条切线，切点为、，直线交的两渐近线于点、，是坐标原点，则的值为（

）A．B．C．D．【跟踪训练9】已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则__________．题型十特值化法，先人一步【例10】平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（

）A．曲线C与y轴的交点为， B．曲线C关于x轴对称C．面积的最大值为2 D．的取值范围是【跟踪训练10】已知点是圆与轴的交点，为直线上的动点，直线与圆的另一个交点分别为，则直线恒过定点（

）A． B． C． D．课后突破训练1．已知双曲线：上的一点（异于顶点），过点作双曲线的一条切线.若双曲线的离心率，为坐标原点，则直线与的斜率之积为（

）A． B． C． D．32．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．3．已知是椭圆上满足的两个动点为坐标原点），则等于（

）A．45 B．9 C． D．4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B为平面上两点，且，M为线段AB中点，其坐标为，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．已知椭圆的左焦点为，离心率为．过点作直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若恰好是的中点，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．6．已知A，B，C，D是椭圆E：上四个不同的点，且是线段AB，CD的交点，且，若，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．27．已知为抛物线的焦点，点的坐标为，过点作斜率为的直线与抛物线交于、两点，延长、交抛物线于、两点设直线的斜率为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．48．（多选）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力.设A，B是抛物线C：上两个不同的点，以A，B为切点的切线交于P点.若弦AB过，则下列说法正确的有（

）A．点P在直线y＝－1上 B．存在点P，使得C．AB⊥PF D．△PAB面积的最小值为49．写出与圆和都相切的一条直线的方程_____________