新版高中数学人教A版选修2-1习题第三章空间向量与立体几何3.1.5

3.1.5空间向量运算的坐标表示课时过关·能力提升基础巩固1已知向量a=(3,2,1),b=(2,4,0),则4a+2b等于()A.(16,0,4) B.(8,16,4)C.(8,16,4) D.(8,0,4)解析:4a+2b=4(3,2,1)+2(2,4,0)=(12,8,4)+(4,8,0)=(8,0,4).答案:D2若a=(2,3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a·(b+c)的值为()A.4 B.15 C.7 D.3解析:∵b+c=(2,2,5),∴a·(b+c)=46+5=3.答案:D3已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),则|3a+b|为()A.15 B.4 C.5 D.17解析:∵3a+b=(3,3,0)+(1,0,2)=(2,3,2),∴|3a+b|=22答案:D4已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b与2ab相互垂直,则k的值是()A.1 B.15 C.35 D解析:ka+b=(k1,k,2),2ab=(3,2,2),且(ka+b)·(2ab)=3(k1)+2k4=0,故k=75答案:D5设M(5,1,2),A(4,2,1),若OM=AB,则点B应为()A.(1,3,3) B.(9,1,1)C.(1,3,3) D.(9,1,1)答案:B6已知向量a=(1,0,1),则下列向量与a成60°夹角的是()A.(1,1,0) B.(1,1,0)C.(0,1,1) D.(1,0,1)答案:B7已知向量a=(3,5,1),b=(2,2,3),c=(4,1,3),则向量2a3b+4c的坐标为.

答案:(16,0,19)8已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ1,2),若a∥b,则λ=,μ=.

解析:∵a∥b,∴存在实数m,使a=mb,即λ+1=6m,0=m(2μ-1答案:519已知向量a=(3,1,5),b=(1,2,3),试求一向量x,使该向量与z轴垂直,而且满足x·a=9,x·b=4.解:设向量x=(t,u,v),依题意及向量垂直的充要条件,可得(⇔v故所求向量x=22510已知空间四点A,B,C,D的坐标分别是(1,2,1),(1,3,4),(0,1,4),(2,1,2).若p=AB,q=CD,求下列各式的值:(1)p+2q;(2)3pq;(3)(pq)·(p+q).解:因为A(1,2,1),B(1,3,4),C(0,1,4),D(2,1,2),所以p=AB=(2,1,3),q=CD=(2,0,6).(1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,6)=(2,1,3)+(4,0,12)=(6,1,9).(2)3pq=3(2,1,3)(2,0,6)=(6,3,9)(2,0,6)=(4,3,15).(3)(pq)·(p+q)=p2q2=|p|2|q|2=(22+12+32)(22+02+62)=26.能力提升1已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若OC=25AB,则点C的坐标是A.-65,-C.-65,-解析:∵AB=(3,2,4),∴25设点C的坐标为(x,y,z),则OC=(x,y,z)=25AB=-答案:A2已知a=(1,0,1),b=(2,1,1),c=(3,1,0),则|ab+2c|等于()A.310 B.210 C.10 D.5解析:∵ab+2c=(3,1,0)+(6,2,0)=(9,3,0),∴|ab+2c|=90=310.答案:A3已知a=(1t,1t,t),b=(2,t,t),则|ba|的最小值是()A.55 B.555 C.35解析:∵ba=(1+t,2t1,0),∴|ba|2=(1+t)2+(2t1)2+02=5t22t+2=5t-∴|ba|min2=95.∴|ba答案:C4已知A(1,2,11),B(4,2,3),C(6,1,4),则△ABC的面积是()A.5422 B.5C.53 D.514解析:∵AC=(5,1,7),BC=(2,3,1),∴AC·BC=1037=∴AC⊥BC,即AC⊥∴S△ABC=12|AC|·=12答案:A5如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.55 B.53 C.25解析:不妨设CA=CC1=2CB=2,则A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0),则AB1=(2,2,1),BC从而cos<AB1=(-2故直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为55答案:A6已知空间三个向量a=(1,2,z),b=(x,2,4),c=(1,y,3),若它们两两垂直,则x=,y=,z=.

解析:由a⊥b,得x44z=0;由a⊥c,得12y+3z=0;由b⊥c,得x+2y12=0.故x=64,y=26,z=17.答案:6426177若a=(2,3,1),b=(2,1,3),则以a,b为邻边的平行四边形的面积是.

解析:|a|=4+9+1=|b|=4+1+9=设θ为a与b的夹角,则cosθ=a·b|所以sinθ=35所以S平行四边形=|a||b|sinθ=14×357=6答案:658已知空间三点A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4).设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,c∥BC,求c;(2)若ka+b与ka2b互相垂直,求k;(3)若向量ka+b与a+kb平行,求k.解:(1)∵BC=(2,1,2),且c∥BC,∴设c=λBC=(2λ,λ,2λ),λ∈R.∴|c|=(-2λ)2+(-λ解得λ=±1.∴c=(2,1,2)或c=(2,1,2).(2)∵a=AB=(1,1,0),b=AC=(1,0,2),∴ka+b=(k1,k,2),ka2b=(k+2,k,4).∵(ka+b)⊥(ka2b),∴(ka+b)·(ka2b)=0.即(k1,k,2)·(k+2,k,4)=2k2+k10=0.解得k=2或k=52(3)∵ka+b=(k1,k,2),a+kb=(1,1,0)+(k,0,2k)=(1k,1,2k),又ka+b与a+kb平行,∴ka+b=λ(a+kb)(λ∈R),即(k1,k,2)=λ(1k,1,2k).∴k∴k∴k的值为±1.★9在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AA1的中点,问当点N位于线段AB何处时,M