高中人教A版数学课时素养检测6-4-3-1余弦定理

课时素养检测十一余弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在△ABC中,若b=1,c=QUOTE,C=QUOTE,则a=()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.由余弦定理c2=a2+b22abcosC,得3=a2+1-2a×1×cosQUOTE,即a2+a2=0.解之得a=1或a=2(舍去),所以a=1.2.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a=3,b=QUOTE,c=2,那么B等于()A.30° B.45° C.60° D.120°【解析】选C.因为a=3,b=QUOTE,c=2,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又因为B为三角形内角,所以B=60°.3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosA=QUOTE,a=7,c=6,则b=()A.8 B.7 C.6 D.5【解析】选D.由余弦定理得a2=b2+c22bccosA,所以49=b2+362b·6·QUOTE,整理得5b212b65=0,解得b=5或b=QUOTE(舍去).4.在△ABC中,a∶b∶c=3∶5∶6,那么△ABC是()A.直角三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.非钝角三角形【解析】选B.因为a∶b∶c=3∶5∶6,所以可设a=3t,b=5t,c=6t,由余弦定理可得cosC=QUOTE=QUOTE,因为0<C<π,所以C∈QUOTE,故△ABC是钝角三角形.5.已知△ABC的三边满足a2+b2=c2QUOTEab,则△ABC的最大内角为()A.60° B.90° C.120° D.150°【解析】选D.由已知得,c2=a2+b2+QUOTEab,所以c>a,c>b,故C为最大内角.由余弦定理,得cosC=QUOTE=QUOTE,又C∈(0,π),所以C=QUOTE,即C=150°.6.(多选题)在△ABC中,a=1,b=2,cosC=QUOTE,则()A.c=1 B.c=2C.sinA=QUOTE D.sinA=QUOTE【解析】选BD.根据余弦定理,得c2=a2+b22abcosC=12+222×1×2×QUOTE=4,解得c=2.由a=1,b=2,c=2,得cosA=QUOTE=QUOTE,所以sinA=QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为________.

【解析】方法一:在△ABC中,由余弦定理,得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,设中线长为x,由余弦定理,知x2=92+422×9×4×QUOTE=49,所以x=7.所以AC边上的中线长为7.方法二:设AC中点为M,连接BM(图略).则=QUOTE(+),所以=QUOTE(++2·)=QUOTE(92+72+2||||cos∠ABC)由余弦定理,得2||||cos∠ABC=||2+||2||2=92+7282,所以||2=QUOTE(92+72+92+7282)=49.所以BM=7,即AC边上的中线长为7.答案:78.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sinA=______.

【解析】在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理,得cosA=QUOTE=QUOTE,则sinA=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】已知在△ABC中,a=2,b=4,c=3,则cosB=________.

【解析】cosB=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题14分,共28分)9.在△ABC中,已知sinC=QUOTE,a=2QUOTE,b=2,求边c.【解析】因为sinC=QUOTE,且0<C<π,所以C为QUOTE或QUOTE.当C=QUOTE时,cosC=QUOTE,由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=4,即c=2.当C=QUOTE时,cosC=QUOTE,由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=28,即c=2QUOTE.所以边c的长为2或2QUOTE.10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2QUOTE+4sinAsinB=2+QUOTE.(1)求角C的大小;(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.【解析】(1)由已知得2[1cos(AB)]+4sinAsinB=2+QUOTE,化简得2cosAcosB+2sinAsinB=QUOTE,故cos(A+B)=QUOTE,所以cosC=cos(A+B)=QUOTE,又C∈(0,π),从而C=QUOTE.(2)如图S△ABC=QUOTEa·ha=QUOTEabsinC,由S△ABC=6,b=4,C=QUOTE,得a=3QUOTE.由余弦定理c2=a2+b22abcosC=10,得c=QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为cos∠BAC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=QUOTE.2.在△ABC中,a2+b2c2+QUOTEab=0,则C等于()A.30° B.45° C.120° D.135°【解析】选D.由a2+b2c2+QUOTEab=0知,a2+b2c2=QUOTEab,由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE,因为0°<C<180°,所以C=135°.【补偿训练】在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a2=c2+b2+bc,则角A的大小为()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.因为a2=b2+c2+bc,所以b2+c2a2=bc.由余弦定理得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为0<A<π,所以A=QUOTE.3.(多选题)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,b=7,c=8,S为△ABC的面积,则()A.B=60° B.sinA=QUOTEC.sinC=QUOTE D.S=10QUOTE【解题指南】利用余弦定理的变形公式计算三角形内角的余弦值,再计算角和面积.【解析】选ABD.最小的角为A,最大的角为C,则cosA=QUOTE=QUOTE,cosB=QUOTE=QUOTE,cosC=QUOTE=QUOTE,则sinA=QUOTE=QUOTE,S=QUOTEch=QUOTEcbsinA=10QUOTE.又0°<B<180°,所以B=60°.4.在△ABC中,cos2QUOTE=QUOTE,则△ABC的形状为()A.正三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【解析】选B.因为cos2QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,有cosB=QUOTE=QUOTE.整理得a2+b2=c2,故C=QUOTE,△ABC为直角三角形.【补偿训练】在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=QUOTE,则∠BAC为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选B.如图,设BD=CD=x.在△ABD和△ACD中,由余弦定理及诱导公式,得QUOTE,即14+2x2=20,解得x=QUOTE,即BC=2QUOTE.则cos∠BAC=QUOTE=QUOTE,且0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.二、填空题(每小题4分,共16分)5.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=QUOTE,a=QUOTE,c=QUOTE,则b=________.

【解析】由余弦定理得a2=6=b2+52QUOTE·b·cos60°,即b2QUOTEb1=0,解得b=QUOTE或b=QUOTE(舍去).答案:QUOTE6.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2c2=4,且C=60°,则ab的值为________.

【解析】因为(a+b)2c2=4,所以c2=(a+b)24=a2+b2+2ab4.由余弦定理可知:c2=a2+b22abcosC=a2+b22abcos60°=a2+b2ab,所以a2+b2+2ab4=a2+b2ab,即2ab4=ab,解得ab=QUOTE.答案:QUOTE7.如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=QUOTE,AB=3QUOTE,AD=3,则BD的长为________.

【解析】因为sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD=QUOTE,所以在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD22AB·ADcos∠BAD,所以BD2=18+92×3QUOTE×3×QUOTE=3,所以BD=QUOTE.答案:QUOTE8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=b2a2,A=QUOTE,则B=________.

【解析】由余弦定理,得a2=b2+c2QUOTEbc,所以b2a2=QUOTEbcc2,与ac=b2a2联立,得ac+c2QUOTEbc=0,即c=QUOTEba,代入ac=b2a2,得a(QUOTEba)=b2a2,解得b=QUOTEa,所以c=QUOTEba=2a,所以cosB=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因为B∈(0,π),所以B=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(共38分)9.(12分)如图,正方形ABCD的边长为1,延长BA至点E,使AE=1,连接EC,ED,求sin∠CED.【解析】由题意知CD=1,CE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,DE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以cos∠CED=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以sin∠CED=QUOTE=QUOTE=QUOTE.10.(12分)在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=3,c=4,求实数a的取值范围.【解析】因为b=3,c=4,且△ABC是锐角三角形,所以cosA=QUOTE=QUOTE>0,且cosC=QUOTE=QUOTE>0,所以7<a2<25,所以QUOTE<a<5,所以实数a的取值范围是(QUOTE,5).11.(14分)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=QUOTE,b=QUOTE,4a3QUOTEcosA=0.(1)求a的值;(2)若B=λA,求λ的值.【解析】(1)因为4a3QUOTEcosA=0,故4a=3QUOTEcosA,由余弦定理4a=3QUOTE×QUOTE,因为c=