新版高中数学人教A版选修1-2习题第二章推理与证明检测

第二章检测(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线;已知直线b⊄平面α,a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”,这个结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.非以上错误解析“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选A.答案A2.已知f(x+1)=2f(x)f(x)+2,f(1)A.f(x)=C.f(x)=解析当x=1时,f(2)=当x=2时,f(3)=当x=3时,f(4)=故可猜想f(x)=2x答案B3.如图所示,4只小动物换座位,开始时鼠,猴,兔,猫分别坐1,2,3,4号座位,如果第1次前后排动物互换座位,第2次左右列动物互换座位,第3次前后排动物互换座位……这样交替进行下去,那么第2018次互换座位后,小兔坐在()号座位上.A.1 B.2 C.3 D.4解析由题意得第4次互换座位后,4只小动物又回到了原座位,即每经过4次互换座位后,小动物回到原座位,而2018=4×504+2,所以第2018次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同,故小兔坐在2号座位上,应选B.答案B4.已知x∈(0,+∞),不等式x+1x≥2,x+4x2≥3,x+27x3≥4,…,可推广为x+aA.2n B.n2 C.22(n1) D.nn解析∵第一个不等式中a=11,第二个不等式中a=22,第三个不等式中a=33,∴第n个不等式中a=nn.答案D5.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形解析因为正弦值在(0°,180°)内是正值,所以△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,因此△A1B1C1是锐角三角形.由于△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,因此△A2B2C2不可能为直角三角形,故假设△A2B2C2也是锐角三角形,并设cosA1=sinA2,则cosA1=cos(90°A2),所以A1=90°A2.同理设cosB1=sinB2,cosC1=sinC2,则有B1=90°B2,C1=90°C2.又A1+B1+C1=180°,则(90°A2)+(90°B2)+(90°C2)=180°,即A2+B2+C2=90°.这与三角形内角和等于180°矛盾,所以原假设不成立.故选D.答案D6.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10等于()A.28 B.76 C.123 D.199解析利用归纳法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案C7.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式:22=1+332=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+19根据上述分解规律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整数是21,则m+n等于()A.10 B.11 C.12 D.13解析∵m2=1+3+5+…+11=∴m=6.∵23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,∴53=21+23+25+27+29.又n3的分解中最小的正整数是21,∴n3=53,n=5,∴m+n=6+5=11.答案B8.对于奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组有1个数{1},第二组有2个数{3,5},第三组有3个数{7,9,11},……,依此类推,则每组内奇数之和Sn与其组的编号数n(n∈N*)的关系是()A.Sn=n2 B.Sn=n3 C.Sn=n4 D.Sn=n(n+1)解析当n=1时,S1=1;当n=2时,S2=8=23;当n=3时,S3=27=33.归纳猜想Sn=n3.故选B.答案B9.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数,又是正方形数的是()A.289 B.1024 C.1225 D.1378解析根据图形的规律可知,第n个三角形数为an=n(n+1)2,第n个正方形数为bn=n2,由此可排除选项D(1378不是平方数),将选项答案C10.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体.如图甲所示,在平行四边形ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在图乙所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA.2(AB2+AD2+AC.4(AB2+AD2+A解析如图,连接A1C1,AC,则四边形AA1C1C是平行四边形,故A1C2+A连接BD,B1D1,则四边形BB1D1D是平行四边形,故又在▱ABCD中,AC2+BD2=2(AB2+AD2),A则故选C.答案C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.

解析由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.答案A12.已知函数f(x)=x3+x,a,b,c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值一定比零(填“大”或“小”).

解析∵f(x)=x3+x是R上的奇函数,且是增函数,又由a+b>0可得a>b,∴f(a)>f(b)=f(b),∴f(a)+f(b)>0.同理,得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0.三式相加,整理得f(a)+f(b)+f(c)>0.答案大13.在平面几何中,△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为解析∵CE平分∠ACB,而平面CDE平分二面角ACDB,∴答案14.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.

解析由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;(2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;(3)当③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.故答案为201.答案20115.把数列1111…第k行有2k1个数,第t行的第s个数(从左数起)记为A(t,s),则A(6,10)=.

解析前5行共有20+21+22+23+24=31个数,A(6,10)为数列的第41项.∵an=答案三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°sin13°cos17°;②sin215°+cos215°sin15°cos15°;③sin218°+cos212°sin18°cos12°;④sin2(18°)+cos248°sin(18°)cos48°;⑤sin2(25°)+cos255°sin(25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.解法一(1)选择②式,计算如下:sin215°+cos215°sin15°cos15°=1-12sin30(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°α)sinαcos(30°α)=证明如下:sin2α+cos2(30°α)sinαcos(30°α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2sinα·(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α+32sin=解法二(1)同解法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°α)sinα·cos(30°α)=证明如下:sin2α+cos2(30°α)sinαcos(30°α)=1-cos2α2+1+cos(60°-2α)2-sin=12-12cos2α+12+12(cos60°cos2α+sin60°=12-12cos2α+12+14=1-14cos2α17.(8分)已知函数f(x)=ax+(1)证明函数f(x)在(1,+∞)内为增函数;(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.分析对第(1)小题,可用定义法证明;对第(2)小题,可按反证法证明命题的步骤加以证明.证明(1)设x1,x2是(1,+∞)内的任意两个实数,且x1<x2.∵a>1,∴又x1+1>0,x2+1>0,∴==于是f(x2)f(x1)=故函数f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)假设存在x0<0(x0≠1)满足f(x0)=0,则ax于是0<-这与假设x0<0矛盾,故方程f(x)=0没有负数根.18.(9分)先解答(1),再通过结构类比解答(2):(1)求证:tan(2)设x∈R,a为非零常数,且f(x+a)=(1)证明由两角和的正切公式得tan即tanx(2)解猜想f(x)是以4a为周期的周期函数.证明过程如下:∵f(x+2a)=f[(x+a)+a]=∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-∴f(x)是以4a为周期的周期函数.故f(x)是周期函数,其中一个周期为4a.19.(10分)已知0<b<a<e,其中e是自然对数的底数.(1)试猜想ab与ba的大小关系;(2)证明你的结论.(1)解取a=2,b=1可知ab>ba,又当a=1,b=12时,ab由此猜测ab>ba对一切0<b<a<e成立.(2)证明要证ab>ba对一切0<b<a<e成立,需证lnab>lnba,需证blna>alnb,需证设函数f(x)=lnxf'(x)=当x∈(0,e)时,f'(x)>0恒成立.所以f(x)=lnxx所以f(a)>f(b),即lnaa>ln20.(10分)已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1=(1)求证:对任意实数λ,数列{an}不是等比数列;(2)求证:当λ≠18时,数列{bn}是等比数列;(3)设Sn为数列{bn}的前n项和,是否存在实数λ,使得对任意正整数n,都有Sn>12?若存在,求实数λ的范围;若不存在,请说明理由.分析解答本题,需综合运用等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和基本运算技能,并注意分类讨论思想的应用.(1)证明假设存在实数λ,使得数列{an}是等比数列,则有又因为a2=所以即则9=0,这是不可能的.所以假设不成立,原结论成立.故对任意实数λ,数列{an}不是等比数列.(2)证明因为λ≠18,所以b1=(λ+18)≠0.又bn+1=(1)n+1[a