数学分析1-34 函数

第一章二、映射三、函数一、集合第三节集合与函数3/2/20241元素a

属于集合

M,记作元素a

不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.

具有某种性质的事物的全体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M

为数集表示M

中排除0与负数的集.3/2/202422.表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整数集合或有理数集

p与q

互质实数集合

x

为有理数或无理数(3)公式法：3/2/202431.区间3.常用集合2.邻域3/2/20244是B的子集

,或称B包含A,4.集合之间的关系及运算定义2

.则称A若且则称A

与B

相等,例如,显然有下列关系:

,

,

若设有集合记作记作必有3/2/20245定义3

.

给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或B在A中的余集3/2/20246二、函数概念1.【函数定义】设数集D包含于R，若因变量自变量函数定义域函数值值域则f称为为定义在D上的函数，通常简记为:3/2/202472.【几个特殊的函数举例】(1)【常数函数】c为常数

图形是一条平行于轴的直线(2)【绝对值函数】3/2/20248

(3)

【符号函数】1-1xyo或3/2/20249(4)

【取整函数】y=[x][x]表示不超过的最大整数

12345-2-4-4-3-2-1

4321-1-3xyo阶梯曲线该函数是数论中一个极为重要的函数[3.5][-3.5]3/2/202410有理数点无理数点•1xyo(5)

【狄利克雷函数】3/2/202411(6)

【取大（小）函数】yxoyxo3/2/202412在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.(7)【分段函数】3/2/202413三、具有某种特性的函数1.【有界函数】上界下界(1)【定义】则称函数f(x)在X上有界.否则称无界.界不唯一3/2/202414M-MyxoXM-Myxoy=f(x)X有界无界【结论】f(x)在X上无界3/2/2024152．【单调函数】xyo则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.3/2/202416xyo则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.3/2/2024173．【函数的奇偶性】偶函数yxox-x图象关于y轴对称称f(x)为D上的偶函数3/2/202418奇函数yxox-x图象关于原点对称则称函数f(x)为D上的奇函数3/2/202419偶函数双曲余弦记3/2/202420又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记3/2/2024214．【函数的周期性】（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.且则称

f(x)为周期函数

,若称

l

为周期【定义】3/2/202422周期为

周期为【注】

周期函数不一定存在最小正周期.【例如】

常量函数3/2/202423【例2】【解】单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,特别注意狄利克雷函数3/2/202424四、函数的四则运算3/2/202425对映射若,则称f为满射;若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.①满射②单射③双射五、反函数3/2/202426五、反函数DWDW【定义】若函数为一、一映射（单射,满射）则存在逆映射称此映射为f

的反函数.3/2/202427【注】3/2/202428六、复合函数1.【复合函数】(1)【定义】【说明】通常f称为外层函数，g称为内层函数.则设有函数链称为由①,

②确定的复合函数,①②u称为中间变量.3/2/202429(2)【注意】2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.三重复合函数1）构成复合函数的条件不可少.（即：内层函数在复合函数定义域D内的值域g(D)一定包含在外层函数的定义域D1内）3/2/202430七.初等函数常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数这六种函数,称为基本初等函数.1.基本初等函数3/2/2024313/2/2024323/2/2024333/2/2024343/2/2024353/2/2024363/2/2024373/2/202438【定义】由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合运算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.否则称为非初等函数.2.初等函数3/2/202439八.平面曲线的其他表示方法平面曲线在直角坐标系下，1.参数方程形式有些表示比较复杂，使用不方便，往往用参数方程形式或极坐标形式表示.3/2/2024402.极坐标形式oo几个重要曲线附录2.ppto3/2/202441【例1】【解】3/2/202442综上所述3/2/2024433.【非初等函数举例】①［符号函数］②［取整函数］当有理数点无理数点•1xyo③［狄里克雷函数］1-1xyo④［分段函数］（略）：一般是非初等函数.3/2/202444九、小结1.基本概念集合,区间,邻域。2.函数的概念3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.4.反函数5.复合函数，初等函数3/2/202445且练习题证明证:

令则由消去得时其中