2020-2021学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三(上)返校联考数学试卷 (含答案解析)

2020-2021学年浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三（上）返校联考数

学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.己知集合4={幻％<2},8={%21},则408=（）

A.{x\x<2}B.{%|1<%<2}C.{x\x>1}D.R

2.若复数2=（。一加）+31为纯虚数，则1082。的值为（）

A.iB.1C.ID.-i

3.己知等比数列{斯}中，。5=4,a7=6,则（Z9等于（）

A.7B.8C.9D.10

4.双曲线菖―2=i（b>。）的一条渐近线方程为丫=|》，则双曲线的离心率等于（）

A.在B.|C.[D.叵

3333

5.“m>3”是“曲线7nx2-（m-2）y2=i为双曲线，，的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知一l<a<4,l<b<2,贝ija—b的取值范围是（）

A.（-2,3）B.（-2,2）C.（-3,2）D.（-3,3）

7.已知圆G：（%+1/+（y+I）2=1>圆C2；（X—3）2+（y—4）2=9,A、B分别是圆G和圆C2上

的动点，则|AB|的最大值为（）

A.V41+4B.V41-4C.\<13+4D.V13-4

8.已知（1—2x）8=劭+%-+az-+…则%+2a2+3。3+…8a8=（）

A.-8B.8C.-16D.16

9.已知函数/"（x）=al+加/①/6R）的图像如图，则（）

A.a<0,b>0B.a>0,b<0C.a>0,d>0D.a<0,b<0

10.已知集合5=卜|3%+。=0},如果16S,那么“的值为（）

A.—3B.—1C.1D.3

二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）

11.已知|a—8b|+（4b—1）2=0,则log2ab=.

12.若sin?。+2cos9——2,则cos。=.

13,某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱为.

解树

x-y>1

x+y>l,则z=/+&+2下的最小值为.

I2x-y<4

15.已知直线/与圆M：/+y2=4交于A,B两点.若线段AB的中点为P（l,l）,则直线/的方程

是，直线/被圆M所截得的弦长等于.

16.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球，以f表

示取出球的最小号码，则Ef=.

17.边长为2的等边△力BC中，点M为8c边上的一个动点，则褊.（荏+而）=.

三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）

18.已知在锐角△ABC中，NA=45。，a=2,c=后，求8和边江

19.如图，在三棱柱ABC-AiBiG中，AB=AC=AAX,平面441GC1平面/.CAA1=

/.BAA1=60°,点。是的中点.

(1)求证：BD1平面A&CiC；

(2)求直线BCi与平面441cle所成角的正弦值.

20.已知等比数列｛斯｝的公比为q>1,%+。3+。5=42,。3+9是的,。5的等差中项•数列｛九｝的通

项公式为b=nGN*.

(1)求数列｛斯｝的通项公式;

n+1

(2)证明：b1+b2+...+bn<V2-1,nGW*.

21.2知椭圆,+?=l(a>6>0)过点(我》离心率e=当

(1)求椭圆的方程：

(2)若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，求出％的取值范围.

22.已知函数/(l)=-hn(a€R).

(I)当。=3时，求函数;"(X)在原2］上的最大值和最小值;

(II)函数/(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.

答案与解析

1.答案：D

解析：解：•・・集合4=｛工氏V2｝,B=｛x>1｝,

，AUB=R.

故选：D.

利用并集定义直接求解.

本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.答案：C

解析：

【试题解析】

本题考查复数的概念，对数的运算，属于基础题.

由复数z=（a-鱼）+3i为纯虚数，求出a的值，然后再由对数运算进行求解即可.

解：复数z=（a-丹）+3i为纯虚数，

所以Q—&=0，解得Q=四，

所以log2a=log2V2=P

故选C.

3.答案：C

解析：

本题考查等比数列的通项公式，属于基础题.

2

设等比数列｛斯｝的公比为q,由题意可求得q2,a.）=a7q,代入求解即可.

解：设等比数列｛an｝的公比为4，

故选c,

4.答案：。

解析：解：根据题意，得

Q=3c,-b=2

a3

:・b=2,

:.c=y/a24-b2=V13»

；・？=-c=-V-13.

a3

故选：D.

首先，根据双曲线的焦点在x轴上，且渐近线方程已知，得到。的取值，然后，求解离心率即可.

本题重点考查了双曲线的几何性质，理解双曲线的渐近线方程和离心率是解题关键，属于中档题.

5.答案：A

解析：当m>3时，m-2>0,mx2-（m-2）y2=1原方程是双曲线方程；当原

mm-2

方程为双曲线方程时，有m>0,7n-2>0=7n>2；由以上说明可知m>3是“曲线mx2-（7n-2）y2-

1是双曲线”充分而非必要条件.故本题正确选项为A.

6.答案：D

解析：

本题考查了不等式的性质，是一道基础题.

由l<b<2,得出-b的范围，然后利用不等式的基本性质求解即可.

解：-1<a<4,①，

■­,1<b<2,

-2<—b<—1,（2）,

①+②得：-3<a-b<3,

故选：D.

7.答案：A

解析:

本题考查了圆与圆的位置关系应用问题，是基础题.

求出两圆的圆心距Z再求圆G、上的两点间的距离最大值.

解：圆G：(X+1)2+(y+1)2=1的圆心为(―1,—1),半径为1,

圆C2：(x—3)2+(y—4)2=9的圆心为(3,4),半径为3,

则圆心距为d=，(一1-3)2+(-1一4/=V5T>1+3,两圆外离，

・•・圆G和圆上的两点|48|的最大值为d+rx+r2=V41+4.

故选：A.

8.答案：D

8

解析：解：；(1—2x)8=劭+a/++—1.a8x,

•••两端求导得：

7

8(1-2x)7x(—2)=%+2a2*+3a3/+…+8a8x,

令x=1得：a[+2a2+3a3+,1•8ug=8x(—1)x(—2)=16.

故选：D.

利用导数法与赋值法可求得%+2a2+3a3+…8a8的值.

2

本题考查导数与二项式定理的应用，对(1-2x)8=劭+ajx+a2x+•••+/两端求导是关键，也

是难点，属于中档题.

9.答案：B

解析：

本题考查了函数图象和利用导数研究函数的极值，属于基础题.

由图象可得/(0)=a>0,故排除A,。,又由图象可得/(x)有极大值极小值,所以/'(x)=aex+2bx=

0有两解，可得b<0,即可得出结论.

解：由图象可得/"(0)=a>0,故排除A,D,

又由图象可得f(x)有增有减，有极大值和极小值，

所以/''(X)=aex+2bx=0有两不等的解，所以ae*=-2bx有两不等的解，

即丫=&靖与y=-2bx有两个不同的交点，所以一2b>0,即b<0,故排除C,选项8符合题意，

故选员

10.答案：A

解析：解：♦••S={x|3x+a=0},且16S,

3x1+a=0,

解得：a=-3.

故选：A.

根据集合5={用3%+。=0},且16S,知道I满足等式，解此方程即可求得实数“的值.

此题考查元素与集合之间的关系，以及分式不等式的求解，对题意的正确理解和转化是解决此题的

关键，属基础题.

11.答案：；

4

解析：

本题考查了对数的运算性质，属于基础题.

根据绝对值和偶次方的非负性，得{:「二：二;，求出〃的值，然后利用对数的运算性质可得结果.

解：由|a-助|+（4匕-1）2=0,得{；「一：二;，

解得a-2,b=：,

4

所以log2ab—iOg224=i.

故答案为:.

4

12.答案:-1

解析：

本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题.

利用同角三角函数的基本关系可得（cos。-3）（cos。+1）=0,由此解得cose的值.

解：,.•$也2。+2cos。=-2,

•••1—cos20+2cos0=-2,（cos。—3）（cos。+1）=0>

解得cos。=-1,或cosJ=3（舍去），

故答案为：-1.

13.答案：3

解析:

本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力.难度不大，属于基础题.

由已知画出几何体，分别求出各棱长，得到最大值.

解：由三视图得到几何体如图，

CD=1,BC=V5.BE=遍,CE=2a,DE=3；

所以最大值为3,

故最长边为0E=3.

故答案为3.

14.答案：|

解析：

本题主要考查线性规划的应用，属于中档题.

作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义求解最小值.

z的几何意义为区域内的点到定点C(0,-2)的距离的平方，

则由图象可知，当Z=X2+(y+2)2所表示的圆与直线％+y-1=0相切时，距离最小,

即C(0,-2)到直线x+y-l=0的距离d=9沪=备，所以z=d2=1，

故答案为，

15.答案：x+y-2=02V2

解析：解：•；P(l,l)为线段43的中点，:OP_L4B,

k0p=1,**•1(AB—"一］，

则A,B所在直线/的方程为y-1=—1x1),即x+y-2=0；

\0P\=V2,圆/：M+丫2=4的半径为2,

二直线/被圆例所截得的弦长等于2J22-(V2)2=2V2-

故答案为：x+y-2=0,2V2.

由已知求得OP的斜率，得到A8所在直线当斜率，由直线方程的点斜式可得直线/的方程，再由垂

径定理求直线/被圆M所截得的弦长.

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题.

16.答案：0.5

解析：

【试题解析】

本题考查离散型随机变量的期望的计算，属基础题.

首先确定f的可能取值，再分别求出相应的概率，则数学期望Ef可求.

解：f的可能取值为0,1,2,则

P(f=O)/=|'

P("l)=尹春

P(f=2)/=三

...F<=0X|+1XA+2X±=0.5.

故答案为0.5.

17.答案：6

解析：解：设BC中点为。，

则宿■(AB+AC)=(AB+FM)(AB+AC)

=AB2+AB-'BM+AB-AC+'BM-AC

=22+2x2xco$600+BM-(AB+AC)

=4+2+2'BM-AD

=6.

故答案为：6.

设BC中点为D,则初■（AB+AC）=（AB+而）（荏+AC）=AB2+AB-JM+AB-AC+'BM-AC'

由此能求出结果.

本题考查与向量的数量积的求法，考查向量加法定理、向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算

求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

18.答案：解：在锐角△力BC中，由正弦定理得：亮=嘉，即正=赤，

sinAsine--

解得sinC=立，•••C=60。，B=180。一月一C=75。.

2

>a..2V6+V2BI1

・•・b=---sinBD=—X-----=V34-1

sinAv24,

2

解析：在锐角△ABC中，由正弦定理求得sinC=更，可得C=60。，再由三角形内角和公式求得8,

2

利用正弦定理求得匕的值.

本题主要考查正弦定理、根据三角函数的值求角，属于基础题.

19.答案：（1）证明：连接&B,

,:AB=A1AfZ.BAA1=60°,

为正三角形；

v。是的中点，

•••BD1AAr,

又•••平面AAiGC1平面44出8,平面AACCn平面44$避=A4,8。u平面44出8,

•••BD_L平面44CC.

(2)解：连接DC】,

Ci

由(1)知BD_L平面441GC,又DC]u平面441clC,

NBGD为直线BQ与平面A41GC所成的角，BD1DC「

设4B=2a,则正三角形中，BD=V3a-

△AiDCi中，ArD=a,41cl=2a,Z.DA1C1=120°,

DC,=a2+(2a)2—2xax2aXcosl20°=7a2.

故£>G=小a,

在Rt△BDCi中，BG=V3a2+7a2=VTOa-

则sin/BG。=—=-^?-=—,

1BQVlOa10

即直线Bq与平面A&CiC所成角的正弦值为察.

解析：本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属于中档题.

(1)连接4B,推导出BD144「由此能证明BD1平面A&GC.

(2)连接DC1，则NBG。为直线BCi与平面441GC所成的角，由此能求出直线BQ与平面/1&GC所成

角的正弦值.

20.答案：解：(/)由的+9是%,。5的等差中项得+。5=2。3+18,

所以%+%+。5=3a3+18=42,

解得的=8,

由%+的=34,得/+8q2=34,解得q?=4或q2=：,

因为q>1,所以q=2,

所以an=2%

(〃)证明：由(/)可得%=Wf，九6N*,

2“2n-1-V2n+1-1)

•<,bn=.~i.....—/

(V2n-1+V2n+1-l)(V2n-1-V2n+1-1)

2n(V2n-1-V2n+1-1)

-2n

:，瓦+Z?2+•••・・・+bn

=422―1-V21-1)+“23_1-V22-1)+-...+(依+1-1-V2n-1)

=V2n+1-1-1<V2n+1-I.

解析：(I)由等差中项的性质可求得。3=8,进而得到%+的=34,进一步求得公比q,由此即可

得解；

(II)化简垢，由此即可得证.

本题考查等差数列与等比数列的综合运用，考查化简运算能力及逻辑推理能力，属于中档题.

21.答案:解:(1)把点(百3)代入椭圆马+'=1,

得言+*=1，由£=立及c2=a2一b2,

a"4bza2

可得=4,b2=1.

则椭圆的方程为：-+y2=l；

4J

2

(2)联立直线方程y—kx+2和椭圆方程亍+y2=],

化简得，(4/c2+l)x2+16kx+12=0

根据题意，得4=(16fc)2-48(4fc24-1)=16(4/-3)>0,

解得k>在或k<—立，

22

则k的取值范围是(一8,-弓)U弓,+8).

解析：(1)代入点得到关于“，匕的方程，由离心率公式和。，b,C的关系，解出“，b,得到椭圆方

程；

(2)联立直线方程y=kx+2和椭圆方程杵+y2=1,消去必得到关于x的方程，由判别式大于0,