统计学列联分析

第九

章列联分析9.1分类数据与列联表9.2c2

检验9.3列联表中的相关测量9.4列联分析中应注意的问题学习目标1. 解释列联表进行c2

检验拟合优度检验独立性检验3. 测度列联表中的相关性9.1

分类数据与列联表9.1.1分类数据9.1.2列联表的构造9.1.3列联表的分布数据数据分类数据顺序数据数值型数据分类数据和顺序数据都属于分类数据。其共同特征是，调查结果虽然是用数值表示的，但不同数值描述了调查对象的不同特征。分类数据例如：我们关心原料的质量和原料的产地是否存在相关关系原料的质量是顺序数据，可以分为“一级品”“二级品”“三级品”等原料的产地是分类数据，可以分为“甲地区”“乙地区”“丙地区”等数值型数据可以转化为分类数据。例如，“收入”是一个数值型数据，但可以按照一定的标准把不同收入的被调查者分为不同的类型，如“高收入群”“较高收入群”“低收入群”等。列联表的构造列联表

(contingencytable)由两个以上的变量交叉分类的频数分布表行变量的类别用r

表示，ri

表示第i

个类别列变量的类别用c

表示，cj

表示第j

个类别每种组合的观察值用fij

表示，也叫条件频数表中列出了行变量和列变量的所有可能的组合，所以称为列联表一个

r行c

列的列联表称为r

c

列联表列联表的结构

(22列联表)列(cj)合计j=1j=1i=1f11f12f11+f12i=2f21f22f21+f22合计f11+f21f12+f22n列(cj)行(ri)列联表的结构

(r

c

列联表的一般表示)列(cj)合计j=1j=2…i=1f11f12…r1i=2f21f22…r2:::::合计c1c2…n列(cj)行(ri)fij

表示第i

行第j

列的观察频数列联表

(例题分析)一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32753331141合计10012090110420【例】一个集团公司在四个不同的地区设有分公司，现该集团公司欲进行一项改革，此项改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽样调查方式，从四个分公司共抽取420个样本单位(人)，了解职工对此项改革的看法，调查结果如下表列联表的分布观察值的分布期望值的分布观察值的分布边缘分布行边缘分布行观察值的合计数的分布例如，赞成改革方案的共有279人，反对改革方案的141人列边缘分布列观察值的合计数的分布例如，四个分公司接受调查的人数分别为100人，120人，90人，110人条件分布与条件频数变量X条件下变量Y

的分布，或在变量Y

条件下变量X

的分布每个具体的观察值称为条件频数观察值的分布

(图示)一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32753331141合计10012090110420行边缘分布列边缘分布条件频数基数不同，故不能直接比较条件频数。百分比分布

(概念要点)条件频数反映了数据的分布，但不适合对比为在相同的基数上进行比较，可以计算相应的百分比，称为百分比分布行百分比：行的每一个观察值除以相应的行合计数(fij

/ri)列百分比：列的每一个观察值除以相应的列合计数(fij

/cj)总百分比：每一个观察值除以观察值的总数(fij

/N

)百分比分布

(图示)一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案24.4%26.9%20.4%28.3%66.4%68.0%62.5%63.3571.8%—16.2%17.8%13.6%18.8%—反对该方案22.7%31.9%23.4%22.0%33.6%32.0%37.5%36.7%28.2%—7.6%10.7%7.9%7.4%—合计23.8%28.6%21.4%26.2%100%总百分比列百分比行百分比观察值的分布

(图示)一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32753331141合计10012090110420行边缘分布列边缘分布条件频数

期望频数的分布假定行变量和列变量是独立的一个实际频数fij

的期望频数eij

，是总频数的个数n乘以该实际频数fij

落入第i

行和第j列的概率，即期望频数的分布

(例题分析)由于观察频数的总数为n

，所以f11

的期望频数e11应为

例如，第1行和第1列的实际频数为f11

,它落在第1行的概率估计值为该行的频数之和r1除以总频数的个数n

，即：r1/n；它落在第1列的概率的估计值为该列的频数之和c1除以总频数的个数n

，即：c1/n。根据概率的乘法公式，该频数落在第1行和第1列的概率应为观察值的分布

(图示)一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32753331141合计10012090110420行边缘分布列边缘分布条件频数

期望频数的分布

(例题分析)一分公司二分公司三分公司四分公司赞成该方案实际频数68755779期望频数66806073反对该方案实际频数32753331期望频数344030379.2

检验9.2.1

统计量9.2.2拟合优度检验独立性检验

统计量

统计量用于检验列联表中变量间拟合优度和独立性用于测定两个分类变量之间的相关程度

计算公式为列联表

(例题分析)一分公司二分公司三分公司四分公司合计赞成该方案68755779279反对该方案32753331141合计10012090110420【例】一个集团公司在四个不同的地区设有分公司，现该集团公司欲进行一项改革，此项改革可能涉及到各分公司的利益，故采用抽样调查方式，从四个分公司共抽取420个样本单位(人)，了解职工对此项改革的看法，调查结果如下表

统计量

(例题分析)实际频数(fij)期望频数(eij)fij-eij(fij-eij)2(fij-eij)2eij687557793245333166806073344030372-5-36-253-64259364259360.06060.31250.15000.49320.11760.62500.30000.9730合计：3.0319拟合优度检验拟合优度检验

(goodnessoffittest)检验多个比例是否相等检验的步骤提出假设H0：1=2=…=j；H1：

1,2,…,j

不全相等

计算检验的统计量

进行决策根据显著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出临界值

2

若2>

2，拒绝H0；若

2<

2，接受H0拟合优度检验

(例题分析)H0:

1=

2=

3=

4

H1:

1,

2,

3,

4

不全相等

=0.1df=(2-1)(4-1)=3临界值(s):统计量:

在

=0.1的水平上不能拒绝H0可以认为四个分公司对改革方案的赞成比例是一致的

决策:结论:独立性检验

(testofindependence)检验列联表中的行变量与列变量之间是否独立检验的步骤为提出假设H0：行变量与列变量独立H1：行变量与列变量不独立计算检验的统计量进行决策根据显著性水平和自由度(r-1)(c-1)查出临界值

2若2

2，拒绝H0；若

2<

2，接受H0独立性检验

(例题分析)【例】一种原料来自三个不同的地区，原料质量被分成三个不同等级。从这批原料中随机抽取500件进行检验，结果如下表。检验各地区与原料之间是否存在依赖关系（

0.05)地区一级二级三级合计甲地区526424140乙地区605952171丙地区506574189合计162188150500独立性检验

(例题分析)提出假设H0：地区与原料等级之间独立H1：地区与原料等级之间不独立计算检验的统计量根据显著性水平＝0.05和自由度(3-1)(3-1)=4查出相应的临界值

2=9.488。由于2=19.82>

2＝9.448，拒绝H0拟合优度检验

(例题分析)H0:地区与原料等级之间独立H1:地区与原料等级之间不独立

=0.05df=(3-1)(3-1)=4临界值(s):统计量:

在

=0.05的水平上拒绝H0地区和原料等级之间存在依赖关系

决策:结论:9.3列联表中的相关测量9.4.1

相关系数9.4.2列联相关系数9.4.3V

相关系数列联表中的相关测量品质相关对品质数据(分类和顺序数据)之间相关程度的测度列联表变量的相关性属于品质相关列联表相关测量的统计量主要有

相关系数列联相关系数V

相关系数

相关系数

(correlationcoefficient)测度22列联表中数据相关程度对于22列联表，

系数的值在0～1之间

相关系数计算公式为

相关系数

(原理分析)一个简化的22列联表因素Y因素X合计x1x2y1aba+by2cdc+d合计a+cb+dn

相关系数

(原理分析)列联表中每个单元格的期望频数分别为将各期望频数代入

的计算公式得

相关系数

(原理分析)将

入

相关系数的计算公式得ad等于bc，

=0，表明变量X与Y

之间独立若b=0

，c=0，或a=0

，d=0，意味着各观察频数全部落在对角线上，此时|

|=1,表明变量X与Y

之间完全相关列联表中变量的位置可以互换，

的符号没有实际意义，故取绝对值即可当列联表中行数和列数大于2时，

相关系数将会随着R和C的增大而增大，

值没有上限，描述相关程度不够清晰。列联相关系数

(coefficientofcontingency)用于测度大于22列联表中数据的相关程度计算公式为C的取值范围是0C<1C=0表明列联表中的两个变量独立C的数值大小取决于列联表的行数和列数，并随行数和列数的增大而增大根据不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较-----局限性V相关系数

(Vcorrelationcoefficient)计算公式为

V的取值范围是0V1

V=0表明列联表中的两个变量独立

V=1表明列联表中的两个变量完全相关不同行和列的列联表计算的列联系数不便于比较当列联表中有一维为2，min[(r-1),(c-1)]=1,此时V=

、C、V的比较同一个列联表，

、C、V的结果会不同不同的列联表，

、C、V的结果也不同在对不同列联表变量之间的相关程度进行比较时，不同列联表中的行与行、列与列的个数要相同，并且采用同一种系数列联表中的相关测量

(例题分析)【例】一种原料来自三个不同地区，原料质量被分成三个不同等级。从这批原料中随机抽取500件进行检验，结果如下表。分别计算系数、C系数和V系数，并分析相关程度地区一级二级三级合计甲地区526424140乙地区605952171丙地区506574189合计162188150500列联表中的相关测量

(例题分析)解：已知n=500，

＝19.82，列联表为33结论：三个系数均不高，表明产地和原料等级之间的相关程度不高§9.4列联分析中应注意的问题§9.4.1条件百分表的方向§9.4.2分布的期望值准则44§9.4.1条件百分表的方向条件百分表方向一般在列联表中变量的位置是任意的，即既可以把变量X放在列的位置，也可以放在行的位置。如果变量X与Y存在因果关系，令X为自变量（原因），Y为因变量（结果），那么一般的做法是把自变量X放在列的位置，条件百分表也多按自变量的方向计算，因为这样便于更好地表现原因对结果的影响。如有下面的一个2*2列联表。45§9.4.1条件百分表的方向

表9-12职业背景与工作价值观取向46§9.4.1条件百分表的方向

表9-12分析

数据显示，总共调查了225人，其中制造业145人，服务业80人；在制造业被调查者中，以物质报酬为价值取向的有105人，占该群体的72%；以人情关系为价值取向的有40人，占该群体的28%。而服务业被调查者中，以物质报酬为价值取向的有45人，占该群体的56%；以人情关系为价值取向的有35人，占该群体的44%；数据表明，与制造业相比，服务业就业人员更注重人情关系。人们的职业背景不同，工作的价值观有可能不同。47§9.4.1条件百分表的方向特殊情况如果因变量在样本内的分布不能代表其在总体内的分布，例如，为了满足分析的需要，抽样时扩大了因变量某项内容的样本容量，这时仍以自变量的方向计算百分表就会歪曲实际情况。48§9.4.1条件百分表的方向例:社会学家欲研究家庭状况（自变量）对青少年犯罪（因变量）的影响。该地区有未犯罪记录的青少年10000名，犯罪记录的青少年150名。如果从未犯罪青少年中抽取百分之一，即100名进行研究，则用相同比例从犯罪青少年中抽取的样本量仅为1.5人。显然，这样少的数量无法满足对比研究的需要。因此，对犯罪青少年的抽样比要扩大，譬如扩大到二分之一，即抽取75人。假定从两个样本调查所获得的数据如表9-13所示。49§9.4.1条件百分表的方向

表9-13家庭状况与青少年犯罪50§9.4.1条件百分表的方向表9-13是调查结果的条件分布。由表9-13可以计算其条件百分表，如表9-14表9-14家庭状况与青少年犯罪百分表51§9.4.1条件百分表的方向表9-14分析

表9-14中得到的显示是，在完整家庭接受调查的130人中，犯罪青少年所占的比例是29%。其实，这个比例是歪曲的，这是由于抽样时扩大了对犯罪青少年抽取的数量。如果把计算百分表的方向变换一下，改为按因变量方向计算，则得到表9-1552§9.4.1条件百分表的方向

表9-15家庭状况与青少年犯罪百分表53§9.4.1条件百分表的方向表9-15分析在完整家庭中，未犯罪青少年的比例占到92%，而在离异家庭中，这个比例仅为8%。完整家庭的青少年未犯罪率远远高于离异家庭的这个比例。家庭状况对青少年行为的影响得到了比较真实的反映。54§9.4.2分布的期望值准则用

分布进行独立性检验，要求样本容量必须足够大，特别是每个单元中的期望频数（理论频数）不能过于小，否则应用

检验可能会得出错