简明工程力学 课件 第6、7章 弯曲内力、弯曲应力

工程力学第六章弯曲内力

§6.1

弯曲的概念和实例第四种基本变形，也是最复杂最重要的基本变形！！！弯曲:外力（偶矩）垂直于杆轴心线，使得轴心线由直变曲。梁（beams）：承受横向载荷，以弯曲为主要变形的杆件。弯曲实例工厂厂房的天车大梁：FF火车的轮轴：FFFF楼房的横梁：阳台的挑梁：单杠，双杠，跳板，跳台etcAB对称轴纵向对称平面梁变形后的轴线与外力在同一平面内梁的轴线FRBF1F2FRA§6.2

梁的计算简图（3）支座的类型（1）梁的简化通常取梁的轴线来代替梁（2）载荷类型集中力集中力偶分布载荷

滚动铰支座

(rollersupport)FRAAAAA固定铰支座(pinsupport)固定端（fixedend)AAAFRAyAFRAxFRyFRxM

简支梁simplebeam,simplysupportedbeamABP2P1YAYBXA静定梁的种类悬臂梁cantileverbeamABP1P2MAYAXAP1P2

外伸梁overhangingbeamABCYAYBXA超静定？跨，跨度

起重机大梁为No.25a工字钢,如图所示,梁长L=10m,单位长度的重量为38.105kN/m,起吊重物的重量为100kN,试求起重机大梁的计算简图。q=38.105kN/mF=100kN§6.3

梁的弯曲内力（剪力和弯矩）第一个问题，为什么跟以往不同，是两个？看个例题。例6-1简支梁如图，已知F，a，l。

求：距A端m-m截面上内力。BAlFaxmmFAyFAxFBABF解：①求外力（支座反力）FAx

=0以后可省略不求。

ABFFAyFAxFBmmx②求任意截面m-m内力FsMMFs∴梁的弯曲内力：－剪力，－弯矩。FAyACFBFC研究对象：m-m截面的左段：若研究对象取m-m

截面的右段：结果与前述一致。问题来了，到底？从而引出弯曲内力的符号规定:①剪力Fs:②弯矩M：Fs(+)Fs(+)Fs(-)Fs(-)M(-)M(-)M(+)M(+)设正法！！！例6-2求梁1-1、2-2截面的内力。解:(1)确定支座反力

(2)取1-1截面左半：取2-2截面右半：FA1.2kN/m0.8kNAB1.5m3m2m1.5m11221.5mFAFB解:例6-3求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩。（1）求支座反力FRA=4kNFRB=-4kNC12M（2）求1-1截面的内力（3）求2-2截面的内力B1m2.5m10kN·mAC12FRAFRB§6.4

剪力、弯矩方程、图一般地，内力与截面位置坐标x间，有函数关系式：其图形表示：剪力方程弯矩方程剪力图的图线表示弯矩图的图线表示现在知道不同截面有不同的剪力和弯矩。那么如何全面表达任意截面的剪力和弯矩？解:（1）求梁的支反力例6-4

图示的简支梁在C点处受集中荷载F作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。lFABCabFRAFRB

因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段列剪力方程和弯矩方程。将坐标原点取在梁的左端A

AC段CB段xxlFABCabFRAFRB

由（1）,（3）两式可知，AC、CB两段的剪力图各是一条平行于

x

轴的直线。xxlFABCabFRAFRB

由（2）,（4）两式可知，AC、CB两段的弯矩图各是一条斜直线。看图说话。++例6-5图示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试作剪力图和弯矩图。解：（1）求支反力lqFRAFRBABx（2）列剪力方程和弯矩方程剪力图为一倾斜直线绘出剪力图x=0处,x=l

处,BlqFRAAxFRBql/2ql/2+弯矩图为一条二次抛物线得驻点弯矩的极值绘出弯矩图lqFRAABxFRB令l/2+

由图可见，此梁在跨中截面上的弯矩值为最大但此截面上FS=0

两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大lqFRAABxFRBql/2ql/2+l/2+例6-6图示简支梁在C点受力矩为M的集中力偶作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。解：求梁的支反力将坐标原点取在A点。

因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程

由(1)式画出整个梁的剪力图是一条平行于x

轴的直线。lABCabFRAFRBM+AC段CB段AC段和CB

段的弯矩方程不同AC、CB

两段的弯矩图各是一条倾斜直线x=l,M=0xxlABCabFRAFRBM+AC段:x=0,M=0

x=a,CB段:x=a,作图步骤小结：1、求支反力2、建立坐标系3、正确分段，分段原则？4、分段列方程作图，注意x取值范围§6.5

梁的内力平衡微分方程回忆上节例子，有偶然？必然？一、方程的推导

受一般载荷作用的简支梁，建立图示坐标系，规定分布载荷q(x)向上为正，且

q(x)≠constxyq(x)FMFs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)

假想地用坐标为x

和x+dx的两横截面m-m和n-n从梁中取出dx微段。n-n截面上则分别为

Fs(x)+dFs(x)，M(x)+dM(x)dx段内，q(x)视为常数m-m截面上内力为Fs(x),M(x)dx段内，无集中力，集中力偶的作用xyq(x)FMnxmmndxmmnnq(x)C∵整体平衡，∴dx亦然写出微段平衡方程得到略去二阶及以上小量即得Fs(x)M(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C公式的几何意义（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小;（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小;（3）根据q(x)＞0或q(x)＜0可以判断弯矩图的凹凸性。二、应用1、直接积分+B.C.

Fs和M2、讨论Fs

和M曲线形状①若某段q=0，则Fs图：M图：②若某段q=C3，则Fs图：M图：Fs图：M图：③若某段Fs=0，则

水平直线

纯弯曲PPaab四点弯曲如何实现？其弯矩图+Mmax=Pa④若某截面Fs=0，则，M取极值⑤集中力作用处，截面两侧。。。⑥集中力偶作用处，截面两侧。。。无荷载集中力FC集中力偶MC向下倾斜的直线

凸的二次抛物线在FS=0的截面水平直线一般斜直线或在C处有转折在剪力突变的截面在紧靠C的某一侧截面一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征Mmax所在截面的可能位置表6-1在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征q<0向下的均布荷载在C处有突变F在C处有突变M在C处无变化C控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。利用微分关系作Fs

，M图步骤1、确定梁上所有外力（求支座反力）；2、根据载荷情况合理分段;3、利用微分规律判断各段内力图的形状；4、确定控制点内力值；5、画内力图。例6-7解：

1.求支反力

3.绘内力图计算控制截面的内力值ABCqaqqa22aaFAFBFsMqaqaqaaqa2FA=qa(↑)FB=2qa(↑)求图示梁剪力弯矩图。

=qa

=2qa例6-8求图示梁的剪力图和弯矩图FA=14.5kN（↑）FB=3.5kN（↑）2.作Fs

,M图解：

1.求支反力3.58.5646.04674.83mACBD2m4m2mq=3kN/mMe=3kN·m

FAFBM（kN·m）Fs（kN）工程力学

第七章弯曲应力

§7.1

纯弯曲梁的内力Fs，M是由分布在横截面上应力构成的，其分布规律但总可以分解成

和

。FsMNyNl

内力剪力Fs

切应力t弯矩M

正应力s∴有结论：平面弯曲时横截面纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS)平面弯曲时横截面横力弯曲梁(横截面上既有FS又有M)s

s

t从纯弯曲purebending梁入手，研究

FFaaCDAB++FF+Fa先观察实验现象，再提必要的合理的假设。MMmmnnMMmmnn纵线横线提出假设(assumptions）（a）平截面假设（b）单向受力假设推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层选中性轴为坐标轴非常有意义，可使结果表达最简单§7.2

纯弯曲时的正应力横截面

z

轴——中性轴zy

y坐标相同的点所在纵线变形相同，因而应力相同，所以

=

(y)

yOy

轴——纵向对称轴计算点是何规律依然未知，所以。。。

1.变形几何关系（纵向线与中性层的变形关系）

b’b’的线应变2.物理关系当σ≤σp，有胡克定律ρO′d

O′yb′b′MyzOx?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径

3、静力关系

横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量。

列平衡方程可得

（1）

（2）（3）yzxOMdAzy

dAFNMzMy

可见，中性轴通过横截面的形心。由于y轴是对称轴，这一条自动满足。则所以弯曲正应力公式弯曲正应力沿。。。中性轴记惯性矩称之为。。。这个公式该怎么用§7.3

横力弯曲时的正应力最大正应力有

，截面翘曲，横截面假设不再成立，但对细长梁（l/h>>5）,

仍可用。则公式改写为引用记号—抗弯截面系数矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy常见截面Iz，Wz的计算弯曲正应力强度条件注：⑴当[

t]≠[

c](脆),应分别计算。

[

t]——许用拉应力

[

c]——许用压应力⑵型钢的Wz等参数应查表。⑶截面上下不对称应当用公式：若为等直梁：塑性材料：

[

t]=[

c]=[

]解：作弯矩图例7-1宽b=120mm,高h=180mm的矩形截面简支梁如图所示，求跨中截面上a,b,c三点的正应力。q=4kN/m3mz120180bac50a点：b点：c点：M(kN.m)4.5例7-2如图所示的简支梁，q=2kN/m，l=2m，分别采用截面面积相等的实心和空心圆截面，且D1=40mm，d2=0.6D2，计算最大正应力并比较。q=2kN/m2mM(kN.m)1zD1yzD2d2y解：作弯矩图危险截面：中间截面；危险点：上下点下面进行强度计算实心计算空心尺寸，d2=30mm，D2=50mm减少了(159-93.6)

159100=41

,说明。。。例7-3校核机车轮轴强度，并求中点位移

。已知d1=160mm，d2=130mm，l=1.58m，P=62.5kN，a=0.267m，b=0.160m，[

]=60MPa，E=200GPa。解：作弯矩图知|M|max=Pa=16.7kN

mPa校核强度，先|M|max处还有个位置也需要校核|M|=Pb=10kN

mPbPb∴安全求中点位移

，AB段纯弯sin=l/2

≈

∴

=0.5

2=0.81mm80y1y22020120z例7-4T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的许用拉应力为[

t]=30MPa，许用压应力为[

c]=160MPa。已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz

=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度。F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN·m2.5kN·m解：最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上

B截面C截面80y1y22020120z∴安全§7.4

弯曲切应力

平面横力弯曲时，梁横截面上既有Fs又有M，即存在有

。按照切应力互等定律，平行于中性层的纵向平面也有

。可能造成。。由矩形截面梁入手，研究

。横力弯曲变形特点：截面翘曲一、矩形截面BAF

z

y

xFs推公式前要干什么？必要的合理的假设！！！

′假设：①截面上任意一点

方向均平行于Fs；②

沿宽度方向均匀分布，即

=

(y)下面的任务：

=

(Fs,y)=?BAFFsFsFsMM+dMM11′22′x121′2′dxFsFsMM+dMzyxbdx

′xh/2dx121′2′A*

dA

′N1N2yzyxbdxA*

dA

′N1N21855Журавский注意各项含义，尤其是forrectangularsection,ybhFs

沿截面高度按抛物线规律分布∴（上、下边缘）

=0y=0（中性轴）zyτA*

亦抛物线分布，所以翘曲二、工字形截面h1bhzdy腹板——坐标y

处切应力符合矩形截面梁两个假定y抛物线y=0（中性轴）h1bhzdy腹板

剪力的（95～97%）分布在腹板上，且接近均匀分布，所以可近似计算为翼缘——剪应力较小，通常不予考虑

对型钢，应利用附录表中数据计算

maxh1bhzdy三、圆形截面Fszyd

a,a1两点：

在切线方向。

aa1连线上各点，

值相等，均交于一点。

a1a中性轴上各点：

∥Fs，设均匀分布

中性轴上各点：

∥Fs

均匀分布zyτmax四、环形截面切应力强度校核

以下情况需要校核切应力强度，即：下述情况切应力对强度的影响都较大：

1.短梁

2.薄壁梁

3.木梁（各向异性）

4.铆接焊接而成的组合截面梁切应力强度条件

max≤[

]

适用于

=0或数值很小、

≠0的点。一般来说

max和

max不在同一位置要分别考虑。例7-5一简易起重设备如图所示。起重量(包含电葫芦自重)F=30kN。跨长l=5m。吊车大梁AB由20a工字钢制成。其许用弯曲正应力[

]=170MPa,许用弯曲切应力[

]=100MPa，试校核梁的强度。+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁，力F

在梁中间位置时有最大正应力