2023-2024学年高考数学专项复习-三角函数与解三角形（附答案）

2023-2024学年高考数学专项复习——三角函数与解三角形决胜2024年高考数学专项特训:三角函数与解三角形（解答题篇）1．已知角的终边经过点．(1)求的值；(2)求的值．2．已知为锐角，．(1)求和的值；(2)求的值．3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.(1)求；(2)若，求的面积.4．设(1)将化为最简形式；(2)已知，求的值．5．已知函数．(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取值范围及的值．6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.(1)求的值；(2)求的值.7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点．(1)若，求及的值；(2)若，求点P的坐标．8．记的内角A，，的对边分别为，，，已知，.(1)求A；(2)若，是边上一点，且是的平分线，.求的长.9．在△中，，，为边上一点，且平分.(1)若，求；(2)若，求线段的长.10．已知函数（）的最小正周期为．(1)求函数在区间上的最大值和最小值；(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．11．在中，，点D在AB边上，且为锐角，，的面积为4.(1)求的值；(2)若，求边AC的长.12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，．(1)求；(2)求的最小值．13．已知函数且的最小正周期为．(1)求函数的单调递减区间；(2)若，求x的取值范围．14．已知函数在上单调递增．(1)求的取值范围：(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，得到的图象，求在内的值域．15．在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．16．已知函数.(1)若，求；(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且.17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第三象限点.(1)求的值；(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.18．设函数，且．(1)求的值；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值及的零点．条件①：是奇函数；条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

答案：1．(1)(2)【分析】（1）根据点坐标求得.（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.【详解】（1）即，所以.（2）由（1）得，所以，，.2．(1)，(2)【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，所以，又因为，所以，（2）因为为锐角，，所以，解得，所以，，所以，又因为为锐角，所以，所以.3．(1)(2)【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合已知条件，有，，代入解三角形即可.（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面积公式即可求得面积为.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，因为，且，所以，，所以即，所以，所以，因为，所以，所以；（2）由余弦定理可得，即，得，得，因为，所以，所以4．(1)(2)【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.（2）由，则，，.5．(1)答案见解析(2)【分析】（1）由题意分别令，，解不等式即可得解.（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.【详解】（1）由题意令，解得，即函数的单调递增区间为，令，所以，所以，解得，所以不等式的解集为.（2）由题意即，即在上有两个不相等的实数解，当时，，而在上单调递减，在上单调递增，所以当即时，，当即时，，又即时，，所以若在上有两个不相等的实数解，则实数的取值范围为，因为，所以是的对称轴，所以.6．(1)(2)【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，因为第四象限角，所以（2）第四象限角.7．(1)，；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，当时，，则，所以．（2）依题意，，由，得，代入，于是，解得，即，所以点P的坐标为．8．(1)；(2)．【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．【详解】（1）由正弦定理及已知得，或，又，所以，所以，从而，所以；（2）由余弦定理得，，，又是角平分线，所以，又，则，记，因为，所以，所以，，则，由正弦定理得，所以，所以，解得，即．9．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，在中，由正弦定理知：，由余弦定理有，又因为，所以,即；（2）由，得，则，又由，得.10．(1)最大值和最小值分别为；(2).【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.（2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，当时，，则当，即时，，当，即时，，所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.（2）由，得，即，由函数在区间上恰有2个零点，得在上恰有2个根，而当时，，显然余弦函数在上递增，在上递减，且在上的图象关于直线对称，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上的图象关于直线线对称，因此，.11．(1)(2)【分析】（1）借助面积公式表示出面积即可计算得，借助同角三角函数基本关系即可得；（2）由余弦定理可计算出，由勾股定理的逆定理可得，结合计算即可得边AC的长.【详解】（1），故，又为锐角，故；（2），故，有，故，则，即.12．(1)；(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所以；（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在上单调递增，可得无最小值；【详解】（1）因为，由正弦定理得，由余弦定理可得，所以可得，解得或；又为锐角，所以（舍），即，因此；（2）结合（1）中，又可得：；令，则，又为锐角，，所以，可得，所以，当时，恒成立，即可得为单调递增，所以时，，所以无最值；因此无最小值；13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；（2）根据写出x的取值范围．【详解】（1）因为的周期为，故，所以.当时，，由，得到，故的递减区间为.当时，，由，得到故的递减区间为.（2）当时，，所以，解得.当时，，即，所以，解得.综上：当时，；当时，.14．(1)(2)【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求出值域.【详解】（1）由，得，又函数在上单调递增，所以，解得因为，所以．（2）由（1）知的最大值为，此时，根据题意，，当时，．所以，故值域为．15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，∴，∴，根据正弦定理可知：，∴．又．（2）∵外接圆的半径为，∴，解得．又由（1）得，故，∴，当且仅当时等号成立∴，∴的面积最大值为．16．(1)(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等式成立.【详解】（1）由，则，所以.（2）证明：由题意得.①当时，，所以单调递增.又，由于，而，所以.又，所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.当时，，所以，则在上无零点；当时，，所以，则在上无零点.综上，在上有且仅有一个零点.②由①得，且，则.由函数的单调性得函数在上单调递增，则，故.求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)(2)【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，所以；（2）角的终边绕原点O按逆时针方向旋转，得到角，则，，所以点Q的坐标为.18．(1)(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三