【初中数学 】第1课时 勾股定理及验证课件 2023--2024学年人教版数学八年级下册

第十七章

勾股定理17.1第1课时

勾股定理及验证

毕达哥拉斯(Pythagoras·公元前572—前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.他是公元前五世纪的人,比我国西周时期的数学家商高晚出生五百多年.相传毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明方法后,欣喜若狂,杀了一百头牛祭神.由此,西方世界把勾股定理称为毕达哥拉斯定理,又戏称“百牛定理”.人物介绍

相传在公元前500年,毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.现在我们来观察图中的地面,看能发现什么.【思考】

1.三个正方形的面积之间有什么关系？

2.直角三角形三边有什么数量关系？一、新知探索——勾股定理ABC①正方形A中含有

个小方格,即A的面积是

个单位面积;②正方形B中含有

个小方格,即B的面积是

个单位面积;③正方形C中含有

个小方格,即C的面积是

个单位面积.444488正方形面积关系:A的面积+B的面积=C的面积

→a2+b2=c2Rt△三边关系:

两直角边的平方和等于斜边的平方.【活动】观察图形abcA的面积(单位长度)B的面积(单位长度)C的面积(单位长度)图1图2A、B、C面积关系直角三角形三边关系图1491392534sA+sB=sC两直角边的平方和等于斜边的平方ABC对于任意直角三角形都有这样的性质吗？请观察下图并思考填空a2+b2=c2设正方形A、B、C的边长分别是a,b,c.图2ABCabccba【勾股定理】如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么:a2+b2=c2.知识归纳——勾股定理□【小知识】公元前500年希腊人毕达哥拉斯发现了勾股定理;我国西周时的商高比希腊人早500多年发现了勾股定理.

= a2-2ab+b2+2ab∴

c2 = a2+b2【方法1——“赵爽弦图”证明法】

3世纪三国时期吴国的数学家赵爽,用两直角边分

别为a、b,斜边为c的四个全等直角三角形,拼成一个

如图所示中空的正方形,完整地证明了勾股定理.这个图案是2002年北京国际数学家大会的会徽.赵爽弦图cab你会证吗？利用正方形的面积证明二、勾股定理的证明

【方法2——“总统”证明法】1876年4月1日,伽菲尔德在发表了他对勾股定理的一种证法.1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就称这一证法称为“总统”证法.他是如何证明的？abbcc∟∟∟a利用直角梯形的面积证明bac目前,世界上有500多种证明“勾股定理”的方法.下图是如何证明的？

a2+2ab+b2=c2+2ab∴

a2+b2

=

c2

利用正方形的面积证明正方形面积证明法例1.

求出下列直角三角形中未知边的长度.解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理得：x2=62+82=36+64=100∴x=10∵x>0,68xACB5x13ACB(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得：x2+52=132∴x=12.∵x>0,x2=132-52=169-25=144三、勾股定理的应用举例例2.

在Rt△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,∠B=900.

(1)a=6,b=10,求c;(2)a=24,c=7,求b.解:(1)在Rt△ABC中,∠B=900,a=6,b=10,

由勾股定理得:c2=b2-a2=102-62=64∴c=8.∵c>0,(2)在Rt△ABC中,∠B=900,a=24,c=7,

由勾股定理得:b2=a2+c2=242+72=625∴b=25.∵b>0,例3.

如图,在四边形ABCD中,∠A=900,∠DBC=900,AD=

3,AB=4,BC=12.

求CD.解:在Rt△ABD中,∠A=900,AD=3,AB=4,由勾股定理得:BD2=AB2+AD2=42+32=25∴BD=5.

在Rt△BCD中,∠DBC=900,BC=12

由勾股定理得:CD2=BC2+BD2=122+52=169∵CD>0,∴CD=13.DCBA2m1m一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?例4.生活中的数学问题:解:连结AC.在Rt△ABC中,由勾股定理:

AC2=AB2+BC2=12+22=5∵AC大于木板的宽∴

木板能从门框内通过.例5.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB’C’D’的位置,连接CC’,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC’D’的面积验证勾股定理:a2+b2=c2.证明:由图可知四边形BCC’D’为直角梯形∴S梯形BCC’D’=1/2(C’D’+BC)BD’=1/2(a+b)(a+b)=1/2(a+b)2∵Rt△ABC≌Rt△AB’C’,∴∠1=∠3∵∠1+∠2=∠BAD=900∴∠CAC’=∠2+∠3=900∴S梯形BCC’D’=S△ABC+S△CAC’+S△AC’D’=1/2ab+1/2c2+1/2ab=1/2(2ab+c2)∴1/2(a+b)2=1/2(2ab+c2),即(a+b)2=2ab+c2∴a2+b2=c2.123例6.如图,Rt△ABC的面积为20cm2,在AB的同侧,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,求阴影部分面积.ABC解:设以AB,AC,BC为直径的半圆的面积分别为S1,S2,S3.则S阴=S△ABC+S2+S3-S1∵在Rt△ABC中,由勾股定理得

AB2=AC2+BC2∴S阴=S△ABC=20(cm2).D

B

四、勾股定理的应用课堂练习1.下列说法正确的是().A.若a,b,c分别是△ABC的三边,则a2+b2=c2B.若a,b,c分别是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2C.若a,b,c分别是Rt△ABC的三边,且∠A=900,则a2+b2=c2D.若a,b,c分别是Rt△ABC的三边,且∠C=900,则a2+b2=c22.已知△ABC的三条边长分别是a,b,c,则下列各式成立的是().A.a+b=c

B.a+b>cC.a+b<cD.a2+b2=c2A3.若三角形的三个内角度数之比是1:2:1,则它们所对的边的平方之比是().A.1:2:1B.1:1:2C.1:4:1D.1:3:15.如下图所示,两个小正方形的面积分别是225和400,

则正方形A的面积是().A.425B.525

C.625D.725C4.直角三角形的三边长分别为3,4,x,则x2等于().A.5B.25C.7D.25或7D10

2.5

9

9

6.如下图所示,在各横线上填上适当的值.x=

;y=

;m=

;n=

.7.

△ABC中,a=6,b=8,第三边c的取值范围是

.8.在一个直角三角形中,两边长分别为6和8,则第三边的长为

.2<c<14

9.已知:在平面坐标系中A(-5,12),则点A到x轴的距离为

,到y轴距离为

,到原点的距离为

.1351210.已知:如图所示,∠C=900,c=10,a:b=3:4,求a,b和三角形周长．解:设a=3x,则b=4x∵∠C=900,c=10

∴由勾股定理得a2+b2=c2

即(3x)2+(4x)2=102解得x=2∴a=6,b=8,周长=6+8+10=24.□cbaCBA能力提升——特殊直角三角形的三边关系:1.等腰直角三角形的直角边为a，b，斜边为c.若a=x,则

b=

,c=

.

由此可知等腰直角三角形三边的比为a:b:c=

.2.有一个角为300的直角三角形的直角边为a、b(a<b),斜边为c.若a=x,则b=

,c=

.

由此可知有一个角是300的直角三角形三边之比的比值为:a:b:c=

.3.在△ABC中,∠C=900.∠A、∠B、∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列要求填空:（1）若∠A=450,a=3,则b=

,c=

.（2）若∠A=300,a=6,则b=

,c=

.4.若一个等腰直角三角形的面积为2,则斜边长为

.5.边长为2的等边三角形的面积为

.6.等腰三角形三边为13,13,10.此三角形的面积为

.7.求下列图中字母所代表的正