2020年河北省高考理数真题试卷及答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。．若z=1+i，则zzA0．设集合A={xx–4≤0}，={x|2xa≤0}，且∩={x|–2≤x≤1}，则a=A–4–2C21C．2D．2D．4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为51515151A．．C．D．4242．已知为抛物线Cy=2pxp>0）上一点，点A的焦点的距离为，到y轴的距离为，则p=A23C6D．9．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度°C20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x,yi,20)得到下面的散点图：ii10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A．y．yae．函数f(x)xa．ya2xD．yabx42x3的图像在点f处的切线方程为A．y2x1．D．y2x1y2x1．y2x3π．设函数f(x)cos(x)在[π,π]的图像大致如下图，则(x)的最小正周期为610π7πA．．B．D．94π63π32y2．(x)(xy)5的展开式中xy3的系数为xA5．15B10D．20．已知(0,π)5523A．．B．D．31539．已知,B,CO的球面上的三个点，⊙O为的外接圆，若⊙O的面积为4π，111，则球O的表面积为A．B．C．D．x2y2x2y20，直线l：2xy20，P为l上的动点，过点P作⊙M2．已知⊙M：线,PB，切点为,B|PM||AB|最小时，直线AB的方程为A．2xy10B．2xy10C．2xy10D．2xy102alog2a4b24bA．abB．abC．ab2D．ab2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2xy2．若xy满足约束条件xy1则z=x+7y的最大值为.y1．设a,b为单位向量，且|ab1|ab.x22y22F为双曲线C:ab0)A为CB为C垂直于xab.若的斜率为3C的离心率为16．如图，在三棱锥–的平面展开图中，=1，3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cosFCB=..70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60．（12设a}是公比不为1的等比数列，a为a，a的等差中项．n1231）求n}的公比；211，求数列na}n项和．n．（12如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，AEAD．△是底面的内接正6三角形，P为DO上一点，．61）证明：PA；2）求二面角BPCE的余弦值．19.12甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.1经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，2（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.20.1221（>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，8，P为直x已知A、B分别为椭圆E：y2a2线上的动点，与E的另一交点为，与E的另一交点为D．（1E的方程；（2）证明：直线过定点.12f(x)exx.2已知函数（1a时，讨论（x）的单调性；1（2x≥0时，x≥x+1a的取值范围.2（二）选考题：共10分。请考生在第2223题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。．—4：坐标系与参数方程]（10xt,kC(t)x为参数轴正半轴为在直角坐标系的参数方程为1ytk4cos16sin30极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1k1是什么曲线？C1（2k4时，求C1与的公共点的直角坐标．C2．—5：不等式选讲]10f(x)|3x1|2|x1|已知函数．yf(x)（1）画出的图像；f(x)f(x（2）求不等式的解集．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.z=1+，则|z–2z若（）0B.122D【答案】【解析】【分析】由题意首先求得z22z的值，然后计算其模即可.z1i2i2z2zi21i2.2【详解】由题意可得：2z2z22.故故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.设集合A={xx2–4≤0}B={x|2xa≤0}∩={x|–2≤x≤1}a=（）A.–22D.4B【答案】【解析】【分析】由题意首先求得集合,，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.Ax|2x2，【详解】求解二次不等式x240可得：a2xa0Bx|x.2求解一次不等式可得：aABx|2x11，解得：2.a，故：2故选：【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）51515151A.D.4242C【答案】【解析】【分析】1设CDa,b，利用2CDa,b得到关于的方程，解方程即可得到答案.22a【详解】如图，设CDa,bPO，PEOE22b241a21bb2abb2ab4()2210由题意，化简得，242aab15（负值舍去）.a4故选：【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.A为抛物线（y=2pxAC的焦点的距离为y轴的距离为129（到）A.2B.3C.6D.9C【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.pp|AFxA12，即129p=6.【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知故选：，解得22【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度°C20个不同的温度yx条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x,yi,20)得到下面的散点图：ii由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）yabxya2A.D.yabxyaexD【答案】【解析】【分析】根据散点图分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，yxyabx因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题..f(x)x42x3(1f的图像在点处的切线方程为（）y2x1y2x3y2x1A.D.y2x1B【答案】【解析】【分析】求得函数，计算出f和f的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.yfx的导数fxfxx【详解】2xfx，，f1，f2，6x2434x3y12xy2x1.因此，所求切线的方程为故选：【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题πf(x)x)在[π,π]的图像大致如下图，则(x)的最小正周期为（设函数）610π7πA.C.B.D.94π63π32C【答案】【解析】【分析】6,00,0fx是函数99932x与轴负半轴的第一个交点即可得到962得解.,0【详解】由图可得：函数图象过点，96将它代入函数可得：0fx9,0fxx图象与轴负半轴的第一个交点，又是函数93，解得：9622T所以函数的最小正周期为32fx3故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.y2(x)(xy)5的展开式中xy3的系数为（）xA.5B.10D.20C.15C【答案】【解析】【分析】2yrrx求得(xy)5展开式的通项公式为T5rx5y（rNr5且与(xy)5展开式r1x的乘积为Cr5x6ryr或Cxyr54rr2形式，对分别赋值为31即可求得rx33y的系数，问题得解.5展开式的通项公式为T5rx5ryrrNr5且）【详解】(xy)（r12yx的各项与(xy)5展开式的通项的乘积可表示为：xy2y2r15rx5ryr5rx6ryrr15rx5ryr5rx4ryr2和xxrx6ryr453x3y3x3y3的系数为，该项中，r15r3在在中，令，可得：y2y2rx4ryr2中，令r1，可得：2C51x3y3x3y35的系数为r15，该项中xx3xy3的系数为5故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.已知(0,π)5sin（）523A.C.B.D.31539A【答案】【解析】【分析】coscos函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos56cos28cos80，23440，解得cos或2即25又(0,sin12.3故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.,B,CO的球面上的三个点，⊙1为ABC的外接圆，若⊙O的面积为4π，11，则球O的表面积为（）A.B.C.36πD.A【答案】【解析】【分析】由已知可得等边ABC1径，即可得出结论.【详解】设圆O半径为，球的半径为R，依题意，r1得rr2ABC为等边三角形，2由正弦定理可得AB2rsin6023，1AB23，根据球的截面性质OO1，，OOO,ROAOO21A212r42111球OSR.2的表面积故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.已知⊙：x2y22x2y20，直线：l2xy20，P为上的动点，过点P作⊙lMPA,PB,B|PM||AB|AB线，切点为最小时，直线的方程为（）2xy102xy102xy102xy10D.A.D【答案】【解析】【分析】,,,M共圆，且AB，根据由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点4PAM4MPl为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．21122y12d52，所【详解】圆的方程可化为x14，点M到直线的距离为l222l以直线与圆相离．,,,M依圆的知识可知，四点四点共圆，且AB，所以1PMAB4S4PAAM4PA4，2251，此时当直线MPl，最小．1212yx1x111即yxx1解得，．∴:y1222y0yy10，2xy20所以以MP为直径的圆的方程为x1x1yy10x222xy10两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．2aa424bb若，则（）2abB.abab2ab2B【答案】【解析】【分析】设f(x)2xlog2x，利用作差法结合f(x)f(x)的单调性即可得到答案.【详解】设f(x)2xlog2x为增函数，因为2alog2a4b24b22blog2b1f(a)f)2f(a)f(2b)a2a(22b2b)22b2b(22b2b)log210，2ab.，所以f(a)fb2)2aa(2b22b)22blog2b(2b2log2b2)22b2b22b22，f(a)fb2)20f(a)fb2)ab当b1，此时2当b2故选：f(a)fb2)10，此时f(a)fb2)ab，所以CD错误.2【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2xy2xy1若，满足约束条件y则zx+7y的最大值为______________.y1【答案】1【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，11zx7yyxz，目标函数77z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，2xy20A0)，，可得点A的坐标为：联立直线方程：xy10z1701.据此可知目标函数的最大值为：故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z＝＋(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值yzb0yzy轴上截距最小时，z值最大.a,b|ab1|ab______________.设为单位向量，且【答案】3【解析】【分析】整理已知可得：aba,b2ab变形可得：ab，再利用为单位向量即可求得2ab1，对22abaabb，问题得解.ab1【详解】因为a,b为单位向量，所以aba22ab122ababb解得：2ab1a222abababb3故答案为：3【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.x22y22F为双曲线C:ab0)的右焦点，为的右顶点，为CACB垂直于xab.若的斜率为3C的离心率为______________.【答案】2【解析】【分析】b2ca根据双曲线几何性质可知，xc，，即可根据斜率列出等式求解即可．axcx2y2b21，解得b2，所以.【详解】联立a2b2yaaca2b22b23cac2a2依题可得，，a3，变形得caa，ca,caaca因此，双曲线C的离心率为2.故答案为：2．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．–的平面展开图中，，，⊥，⊥，∠CAEAC3如图，在三棱锥，则cosFCB______________.14【答案】【解析】【分析】在△中，利用余弦定理可求得，可得出，利用勾股定理计算出、，可得出，然中利用余弦定理可求得的值.31，，，由勾股定理得222，6，6，同理得在△1，3，CAE30，3由余弦定理得CFCE1，在2，6，1，222213231，2CF2BC2BF214621214由余弦定理得FCB.CFBC1故答案为：.4【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.a}a1a2a，的等差中项．3设是公比不为1的等比数列，为na}12的公比；na11}n项和．，求数列n13)(2)n【答案】（）22）Sn.9【解析】【分析】q1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；2（）由（）结合条件得出1a}}.的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论的通项，根据nnq的公比为，a}a1a,a为的等差中项，n23aaa,aqq20，21231qq2；2（}项和为nnSaa(2)n1，，1nnSn112(3(2n(2)n1①，2Sn1(2(23((n2)n1n(3n②，Sn1(((2)n1n(①②2n1(2)n13)(2)nn2)n，1(2)31n)(2)nSn.9【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.D为圆锥的顶点，OAE．ABC为底面直径，是底面的内接如图，是圆锥底面的圆心，6．正三角形，P为上一点，61）证明：；BE2）求二面角的余弦值．25【答案】（）.5【解析】【分析】1）要证明，只需证明即可；，2O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面nm的法向量为，利用公式mcos,n计算即可得到答案.向量为n，平面|nm|）由题设，知△DAE为等边三角形，设1，3121262则DO，CO，所以，2646622,22,443又ABC为等边三角形，则，所以，sin6023PA2PB2AB2APB，所以，；4P，所以2O作∥交OOA为xON为y立如图所示的空间直角坐标系，12213143则E(,0,0),(,,C(,,0)，4444)，(,0,13213212(,,)，(,,)，44444n(x,y,z)，424设平面的一个法向量为111x3y2z0111nPC0zy0，11x12由nPB0x320yz111n(2,，m(x,y,z)的一个法向量为设平面222x3y2z0222m03x12z2,y22由，m02x2z03223m,2)3nm2225,n故|n||m|1035，3255BE的大小为cos.设二面角【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、1乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，21）求甲连胜四场的概率；2）求需要进行第五场比赛的概率；3）求丙最终获胜的概率.137【答案】（）2）3）.4【解析】【分析】1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.411）记事件M:甲连胜四场，则PM2；2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛概率为41214，PPPPP34所以，需要进行第五场比赛的概率为P1P；3）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，记事件M:甲赢，记事件N:丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，14159所以，甲赢的概率为PM7.22由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，97所以丙赢的概率为PN12.【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题.x22、分别为椭圆：BEy21GE的上顶点，8P为a线x上的动点，与E的另一交点为与E的另一交点为D．1E的方程；2）证明：直线过定点.x2y12）证明详见解析.2【答案】（）9【解析】【分析】A,0B,0G，a1a29，，2问题得解.yx3的方程与椭圆方程即可求得点CPy的方程为：y0092922y033y0y0276y03y0y0,，同理可得点D的坐标为,y203时，可表示出直的坐标为2y02921y1204y033y3232yx即可知直线过定点CDCD,0y203时，线2033CDx，直线过点,0，命题得证.：22x2A,0G，E:y2a可得：B,0由椭圆方程，a2,1,1，a218，a92x2椭圆方程为：y219（2）证明：设，Py0003yx3yx3则直线的方程为：，即：y0692xy129联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：y0x3y93029x3或xy029x26y02x9y02810，解得：02302960yx可得：yx3将代入直线y02902903y029276y0所以点C的坐标为,.y02y02922y033y0y0同理可得：点D的坐标为,21y012y203当6y02y0y029y21y3022y3的方程为：0，CDy01xy023y0293y23y0210y02y0218yy232y03y0y0238y0y3y023y00xx整理可得：y02169y0421632y02104y033y02y04y032yxx整理得：所以直线y0233y023232CD,0过定点．332y203时，直线CD：x,0当，直线过点．23,0故直线过定点2．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.f(x)exx.2已知函数1a时，讨论fx）的单调性；12x≥0时，fx）≥x+1a的取值范围.2x,0时，f'xfx时，xf'xfx单调递增.【答案】17e2,2）4【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定a的取值范围.xxfxex2x1，，【详解】(1)当a1fxex2fxex20f'xf00，故：单调递增，注意到单调递减，x,0xfxfxfxfx当当单调递增.11fxexax2x31，其中x0x31x(2)由，22.当时，不等式为：11，显然成立，符合题意；1exx32x1x0.当时，分离参数a2，ax11xx32x1x2exxx12e记2，23，gxgxxx12hxexx2x1x0令，则xx1hxex10hxe，，，hxh00，h'x故单调递增，hx0hxh0单调递增，故函数122hx0可得：x10exx由恒成立，x0,2g¢x>0gx()，单调递增；单调递减；xg¢x<0gx()当，7e2因此，gxg2,427e,综上可得，实数a的取值范围是.4(最值)的应用的考查主要从以下几个角度进行：考查导数的几何