新教材2023版高中数学第3章概率3.2离散型随机变量及其分布列3.2.4离散型随机变量的方差课件湘教版选择性必修第二册

3.2.4离散型随机变量的方差新知初探·课前预习题型探究·课堂解透新知初探·课前预习

Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(x1－E(x))2p1＋(x2－E(x))2p2＋…＋(xn－E(x))2pn

要点二几个特殊分布的期望与方差要点三几个常用公式若Y＝aX＋b，a，b是常数，X是随机变量，则(1)E(k)＝k，D(k)＝________，其中k为常数；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(X＋b)＝D(X)，D(aX＋b)＝a2D(X)❷分布数学期望(均值)方差两点分布X～B(1，p)E(X)＝pD(X)＝________二项分布X～B(n，p)E(X)＝npD(X)＝________p(1－p)np(1－p)0批注❷离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变；若离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍．基

础

自

测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平．(

)(2)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(

)(3)离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的．(

)×××2．已知随机变量ξ的分布列如下表，则D(ξ)＝(

)A.0.95B．3.2C.0.7D．3.56ξ135P0.40.10.5答案：D解析：由题意，得E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.3．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为(

)A.0.25；0.5

B．0.5；0.75C.0.5；0.25

D．1；0.75

答案：C解析：E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.

题型探究·课堂解透题型1方差、标准差的概念及性质例1已知X的分布列如表：(1)计算X的方差及标准差；(2)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．X－101Pa

方法归纳对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．巩固训练1

已知η的分布列为：(1)求η的方差及标准差；(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．

η010205060P

题型2几类特殊的分布例2已知某运动员投篮命中率P＝0.6.(1)求一次投篮中命中次数X的期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的期望与方差．解析：(1)方法一投篮一次命中次数X的分布列为则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.方法二X服从两点分布，∴E(X)＝p＝0.6，D(X)＝p(1－p)＝0.24.(2)由题意可知，重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．故由二项分布期望与方差的计算公式有E(Y)＝5×0.6＝3，D(Y)＝5×0.6×0.4＝1.2.X01P0.40.6方法归纳求几类特殊分布的方差的步骤巩固训练2

甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出此密码的概率均为0.25.设随机变量X表示译出密码的人数，求期望，方差和标准差．

题型3方差的实际应用问题例3为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．

解析：(1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋a＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.因为E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．又因为D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲的射击技术好，故应选甲．方法归纳利用期望与方差的意义分析解决实际问题的策略巩固训练3

有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：乙：试分析两名学生的成绩水平．分数X8090100概率P0.20.60.2分数Y8090100概率P0.40.20.4解析：因为E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E(Y)＝80×0.4＋90