备考2024届高考数学一轮复习讲义第八章平面解析几何第6讲双曲线

第6讲双曲线课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质.2.体会数形结合的思想.双曲线的定义及应用2020全国卷ⅢT11该讲每年必考，命题热点为双曲线的定义、标准方程、渐近线、离心率，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏上.在2025年高考备考中，训练常规题型的同时，应强化有关解答题的训练.求双曲线的标准方程2023新高考卷ⅡT21；2023天津T9；2022新高考卷ⅡT21双曲线的几何性质2023新高考卷ⅠT16；2022全国卷乙T11；2022全国卷甲T14；2022北京T12；2021新高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT13；2021全国卷甲T5；2021全国卷乙T13；2020新高考卷ⅠT9；2020全国卷ⅠT15；2020全国卷ⅡT8；2020全国卷ⅢT11；2019全国卷ⅠT16；2019全国卷ⅡT11；2019全国卷ⅢT101.双曲线的定义和标准方程（1）定义在平面内到两定点F1，F2的距离的差的①绝对值等于常数（小于｜F1F2｜且大于零）的点的轨迹叫做双曲线.定点F1，F2叫做双曲线的②焦点，两焦点间的距离叫做③焦距.集合语言：P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，2a＜｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.a.当2a＝2c时，P点的轨迹是④两条射线；b.当2a＞2c时，P点轨迹不存在.（2）标准方程a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为⑤x2a2－y2b2＝1（a＞b.中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为⑥y2a2－x2b2＝1（a＞0规律总结焦点位置的判断在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.思维拓展双曲线的第二定义、第三定义双曲线的第二定义：{P｜｜PF｜d＝e，e＞1，F∉l，其中F为定点，l为定直线，e为离心率，d为点P到直线l双曲线的第三定义：{P｜kPA·kPB＝e2－1，e＞1，其中kPA，kPB分别表示点P与两定点A，B连线的斜率，e为离心率}（注意，此时确定的双曲线不包含两个顶点，且焦点在x轴上）.2.双曲线的几何性质（1）双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1（a＞y2a2－x2b2＝1（a＞图形标准方程x2a2－y2b2＝1（a＞y2a2－x2b2＝1（a＞几何性质范围｜x｜≥a，y∈R｜y｜≥a，x∈R对称性对称轴：⑦x轴，y轴；对称中心：⑧原点焦点F1⑨（－c，0），F2⑩（c，0）F1⑪（0，－c），F2⑫（0，c）顶点A1（－a，0），A2（a，0）A1（0，－a），A2（0，a）轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为⑬2a，虚轴长为⑭2b；实半轴长为a，虚半轴长为b焦距｜F1F2｜＝⑮2c离心率e＝⑯ca＝1+b2a2，e∈⑰渐近线直线⑱y＝±bax直线⑲y＝±abxa，b，c的关系a2＝⑳c2－b2（2）特殊双曲线等轴双曲线共轭双曲线定义实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.如果一双曲线的实轴和虚轴分别是另一双曲线的虚轴和实轴，那么这两个双曲线互为共轭双曲线.性质（1）a＝b；（2）e＝2；（3）渐近线互相垂直；（4）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.（1）它们有共同的渐近线；（2）它们的四个焦点共圆；（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.常用结论1.双曲线的焦点三角形与焦半径F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，（1）S△PF1F2＝b2ta（2）△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a.（3）当点P（x0，y0）在双曲线右支上时，｜PF1｜＝ex0＋a，｜PF2｜＝ex0－a；当点Px0,y0在双曲线左支上时，｜PF1｜＝－ex0－a，｜PF2｜＝－（4）当点P在双曲线右支上时，｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a.2.双曲线中两个常见的直角三角形如图所示，F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为右顶点，过点F2向渐近线引垂线，垂足为C，过点A向x轴引垂线交渐近线于点B，则△COF2≌△AOB，且有｜OC｜＝｜OA｜＝a，｜F2C｜＝｜AB｜＝b，｜OF2｜＝1.下列说法正确的是（D）A.平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线B.关于x，y的方程x2m－y2n＝1（mn＞C.双曲线y29－x24＝1的渐近线方程是yD.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于22.[浙江高考]渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（C）A.22 B.1 C.2 解析因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝2a，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.故选3.[2023北京高考]已知双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），离心率为2，则C的标准方程为x22－y22解析解法一因为双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上.又离心率e＝2，所以ca＝2，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝2，所以双曲线C的标准方程为x22－解法二因为双曲线C的离心率e＝2，所以该双曲线为等轴双曲线，即a＝b.又双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上，所以a2＋b2＝c2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线C的标准方程为x22－y4.已知等轴双曲线过点（5，3），则该双曲线方程为x216－y216解析设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），将（5，3）代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即x216－y5.[教材改编]设双曲线x29－y2b2＝1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为双曲线上的一点，若｜PF1｜＝5，则｜PF2｜解析由双曲线的方程x29－y2b2＝1（b＞0），可得a＝3，根据双曲线的定义可知PF1-PF2=±2a=±66.已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距为43，实轴长为42，则双曲线C的渐近线方程为2x解析由题意知，2c＝43，2a＝42，则b＝c2－a2＝2，所以C的渐近线方程为y＝±abx＝±2x，即2研透高考明确方向命题点1双曲线的定义及应用例1（1）[全国卷Ⅲ]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则A.1 B.2 C.4 D.8解析解法一设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P为双曲线右支上一点，则由双曲线的定义得m－n＝2a.由题意得S△PF1F2＝12mn＝4，且m2＋n2＝4c2＝（m－n）2＋2mn＝4a2＋16，又e＝ca＝5，故c2a2解法二由题意及双曲线焦点三角形的结论，得S△PF1F2＝b2tan45°＝4，得b2＝4，又c2a2＝（2）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹为（C）A.双曲线 B.椭圆C.双曲线左支 D.双曲线右支解析设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得｜MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1－3,方法技巧1.双曲线定义的主要应用（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为双曲线；（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.2.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义以及余弦定理.训练1（1）已知P是双曲线C：x22－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则｜PF1｜＋｜PQ｜的最小值为（DA.1 B.2＋15C.4＋155 D.22＋解析设双曲线的右焦点为F2，因为｜PF1｜－｜PF2｜＝22，所以｜PF1｜＝22＋｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PQ｜＝22＋｜PF2｜＋｜PQ｜.当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，｜PF2｜＋｜PQ｜最小，且最小值为点F2到直线l的距离.点F2到直线l的距离d＝1，故｜PQ｜＋｜PF1｜的最小值为22＋1，故选D.（2）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为23.解析解法一不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF解法二由题意可得双曲线C的标准方程为x22－y22＝1，所以可得b2＝2，由双曲线焦点三角形的面积公式S△PF1F2命题点2求双曲线的标准方程例2（1）已知定点F1（－2，0），F2（2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是（B）A.x2＋y23＝1 B.x2－yC.x23＋y2＝1 D.x23－解析如图，当点P在y轴左侧时，连接ON，PF1.因为｜ON｜＝12｜F2M｜＝1，所以｜F2M｜＝2，由PN所在直线为线段MF1的垂直平分线，可得｜PF1｜＝｜PM｜＝｜PF2｜－｜F2M｜＝｜PF2｜－2，所以｜PF2｜－｜PF1｜＝2＜｜F1F2｜＝4.同理，当点P在y轴右侧时，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＜｜F1F2｜＝4.故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，对应的方程为x2－y23（2）[2023天津高考]双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知｜PF2｜＝2，直线PF1的斜率为A.x28－y24＝1 B.xC.x24－y22＝1 D.x解析解法一由题意可知该渐近线方程为y＝bax，直线PF2的方程为y＝－ab（x－c），与y＝bax联立并解得x＝a2c，y＝abc，即P（a2c，abc）.因为直线PF2与渐近线y＝bax垂直，所以PF2的长度即为点F2（c，0）到直线y＝bax（即bx－ay＝0）的距离，由点到直线的距离公式得｜PF2｜＝bca2＋b2＝bcc＝b，所以b＝2.因为F1（－c，0），P（a2c，abc），且直线PF1的斜率为24，所以abca2c＋c＝24，化简得aba2＋c2＝24，又b＝2解法二因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且｜PF2｜＝2，所以b＝2，（双曲线中焦点到渐近线的距离为b）再结合选项，排除选项B，C.若双曲线方程为x28－y24＝1，则F1（－23，0），F2（23，0），渐近线方程为y＝±22x，由题意可知该渐近线方程为y＝22x，则直线PF2的方程为y=-2（x－23），与渐近线方程y＝22x联立，得P（433，263），则kPF1＝2方法技巧求双曲线标准方程的两种方法1.定义法先根据双曲线定义确定a，b，c的值，再结合焦点的位置求出双曲线方程.2.待定系数法（1）先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由题中条件确定a2，b2的值；若不能确定焦点位置，可以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）.（2）常见设法①与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ（②与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2训练2（1）[浙江高考]已知点O（0，0），A（－2，0），B（2，0）.设点P满足PA-PB=2，且P为函数y＝34－x2图象上的点，则｜A.222 B.4105 C.7 解析由｜PA｜－｜PB｜＝2＜｜AB｜＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2－y23＝1（x≥1），又y＝34－x2，所以x2＝134，y2＝274，所以｜OP（2）与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点P（32，2）的双曲线的标准方程为x212解析解法一设所求双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1（－25，0），F225,0，则｜PF1｜－｜PF2｜＝（32+25）2+4－（32－25）2+4＝212=2a，∴解法二设所求双曲线的方程为x216－λ－y24+λ＝1（－∵双曲线过点P（32，2），∴1816－λ－44+λ＝故双曲线的标准方程为x212－y命题点3双曲线的几何性质角度1渐近线例3（1）[2022北京高考]已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝解析依题意得m＜0，令y2－x2－m＝0，得y＝±1－mx＝±33（2）[2021新高考卷Ⅱ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为y解析e＝ca＝1+（ba）2＝2，得ba＝3，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±方法技巧（1）求双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程的方法：令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为（2）在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba满足关系式角度2离心率例4（1）[2021全国卷甲]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（A）A.72 B.132 C.7 解析设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝m2+9m2－2×3m×m×cos60°＝7m（2）双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，过点A的直线交双曲线C于另一点B，当BF⊥AF时满足｜AF｜＞2｜BF｜，则双曲线离心率A.（1，2） B.（1，32C.（32，2） D.（1，3+解析由BF⊥AF，可得｜BF｜＝b2a，又｜AF｜＞2｜BF｜，｜AF｜＝a＋c，所以a＋c＞2·b2a，即a＋c＞2·c2－a2a，即a2＋ac＞2（c2－a2），两边同时除以a2，整理可得2e2－e－3<0，又e所以双曲线离心率e的取值范围是（1，32）（3）[2023新高考卷Ⅰ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F解析解法一由题意可知，F1（－c，0），F2（c，0），设A（x1，y1），B（0，y0），所以F2A＝（x1－c，y1），F2B＝（－c，y0），因为F2A＝－23F2B，所以x1－c＝F1A＝（83c，－23y0），F1B＝（c，y0），因为F1A⊥F1B，所以F1A·F1B＝0，即因为点A（53c，－23y0）在双曲线C上，所以25c29a2－4y029b2＝1，又y02＝4c2，所以25c29a2－16c29b2＝解法二由前面解法一得A（53c，－23y0），y02＝4c2，所以｜AF1｜＝（53c＋c）2＋（－23y0）2＝64c29＋4y029＝64c29＋16c29＝45c3，｜AF2｜＝（53c方法技巧1.求双曲线的离心率的方法（1）直接利用公式求离心率：e＝ca＝1+（2）利用双曲线的定义求离心率：在焦点三角形F1PF2中，设∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则e＝ca＝｜F1（3）构造关于a，b，c的齐次式求离心率：由已知条件得出关于a，b，c的齐次式，然后转化为关于e的方程求解.2.求双曲线离心率的取值范围的方法（1）借助平面几何图形中的不等关系求解，如焦半径｜PF1｜∈[c－a，＋∞）或｜PF1｜∈[a＋c，＋∞）、三角形中两边之和大于第三边等；（2）考虑平面几何图形的临界位置，建立关于a，c的不等关系求解.角度3与双曲线性质有关的最值（范围）问题例5（1）[全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则A.4 B.8 C.16 D.32解析由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±bax.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE＝12×a×｜DE｜＝12×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝22时等号成立.所以c≥4，2c≥8，所以C的焦距的最小值为（2）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上（不含端点）存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝π2A.（1，5+12） B.（1，C.（0，5+12） D.（3+1解析不妨设点F为双曲线的左焦点，点B在y轴正半轴上，则F-c，0,B0，b,直线BF的方程为bx－cy＝－bc.如图所示，以O为圆心，A1A2为直径作圆O，则P由题意可知b＞a，bcb2＋c2＜a，即b＞a方法技巧求解与双曲线性质有关的最值（范围）问题的方法1.几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.2.代数法：构造函数或不等式，利用函数或不等式的性质求解.训练3（1）[2023绵阳二诊]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，A，B两点在双曲线C上且关于原点对称，若｜AB｜＝2｜OF｜（O为坐标原点），｜BF｜＝3｜AFA.6x±2y＝0 B.2x±6y＝0C.2x±3y＝