新教材2023版高中数学第2章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.4直线的方向向量与法向量课件湘教版选择性必修第一册

2．2.4直线的方向向量与法向量新知初探•课前预习题型探究•课堂解透最新课程标准(1)掌握直线l的方向向量与直线l的法向量的概念．(2)会求已知直线的方向向量与法向量．(3)会利用直线的方向向量与法向量解决相关问题．新知初探•课前预习教

材

要

点要点一直线l的方向向量与直线l平行的非零向量v都称为直线l的方向向量❶.斜率为k的直线的方向向量为________的非零实数倍．要点二直线l的法向量与方程式为Ax＋By＋C＝0的直线l垂直的非零向量n＝________称为直线l的一个法向量❷.(1，k)(A，B)批注❶直线l的方向向量v→并不唯一，λv→的所有的非零实数倍都是方向向量．

批注❷直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0的一次项系数组成的向量(A，B)是直线的一个法向量．基

础

自

测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量．(

)(2)若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线l的方向向量．(

)(3)若n为直线l的一个法向量，则λn(λ≠0)也是直线l的一个法向量．(

)(4)向量(x0，y0)与(y0，－x0)是相互垂直的．(

)√√√×2．直线3x－2y－1＝0的一个方向向量为(

)A．(2，－3)B．(2，3)C．(－3，2)D．(3，2)答案：B

3．直线3x－4y＋5＝0的一个法向量是(

)A．(3，4)B．(3，－4)C．(4，3)D．(4，－3)答案：B

4．已知直线l的方向向量为(1，5)，则直线l的法向量为(

)A．(5，1)B．(－1，5)C．(5，－1)D．(－5，－1)答案：C解析：因为直线l的方向向量为(1，5)，所以直线l的法向量可以是(－5，1)或(5，－1)．5．若一条直线的斜率为k，则它的一个方向向量是________，一个法向量是________．(1，k)(k，－1)解析：因为直线的斜率为k，所以它的一个方向向量为(1，k)，设一个法向量为(x，y)，则(x，y)·(1，k)＝x＋ky＝0，不妨取x＝k，y＝－1，则它的一个法向量是(k，－1)．题型探究•课堂解透题型1求直线的方向向量和法向量例1

(1)求直线2x－3y＋5＝0的一个方向向量和法向量；

(2)求过点A(2，3)和点B(0,－2)的直线的一个方向向量和法向量．

方法归纳熟练掌握直线的斜截式(或一般式)方程对应的方向向量的坐标特征．不同形式的直线方程，可以先将方程化为斜截式或一般式，然后直接写出它的一个方向向量．直线l：y＝kx＋b的一个方向向量为v＝(1，k)；直线l：Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为v＝(B，－A)．

答案：BC解析：直线l的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线l的全体方向向量为λ(1，－1)，(λ≠0，λ∈R)检验可知B、C为直线l的方向向量．(2)若直线l经过点A(－1，4)，B(3，2)，则直线的一个法向量n为(

)A．n＝(1，－2)B．n＝(4，－2)C．n＝(4，2)D．n＝(1，2)答案：D

题型2直线方向向量的应用例2

(1)经过A(0，2)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，求k的值；(2)如果直线过点P(1，－4)，且直线的方向向量是a＝(3，9)，求直线的方程．

方法归纳已知直线的方向向量求直线方程时，可用待定系数法求得：(1)若已知直线的一个方向向量为v＝(1，k)，则可设直线l的方程为y＝kx＋b；(2)若已知直线的一个方向向量为v＝(B，－A)，则可设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0.

答案：B

(2)平行于向量(2，－3)且经过点B(1，－2)的直线方程为_______________．3x＋2y＋1＝0解析：

由条件可设直线的方程为3x＋2y＋C＝0，把点B(1，－2)代入得C＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.题型3直线法向量的应用例3

(1)已知两条直线l1：ax－2y－3＝0，l2：4x＋6y－3＝0，若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a＝____；3解析：因为直线l1：ax－2y－3＝0的一个法向量恰为l2：4x＋6y－3＝0的一个方向向量，所以l1⊥l2，所以a×4＋(－2)×6＝0，解得：a＝3.(2)如果直线过点D(6，－1)，且直线的法向量是b＝(4，－3)，求直线的方程．答案：4x－3y－27＝0

方法归纳已知直线的法向量求直线方程的方法待定系数法：若已知直线的一个法向量为n＝(A，B)，则可设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0.

答案：D

(2)垂直于向量(3，－5)且经过点A(1，2)的直线方程为

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